1 誘導(dǎo)公式與同角三角關(guān)系式

1. 法一：由已知， = = = =-3. 故選D.

法二：本題是二次齊次式，故得 = ，分子、分母同除以cos2α，故原式= = =-3. 故選D.

2. tan- =-tan = -tan13π- =tan =1.

2 和差角公式與二倍角公式

1. sinθ+cosθ= ，兩邊平方有sinθcosθ=- .

sin3θ+cos3θ=（sinθ+cosθ）（sin2θ-sinθcosθ+cos2θ）= 1-- = ；

sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2（sinθcosθ）2=1-2×- 2= ；

sin5θ+cos5θ=（sin2θ+cos2θ）（sin3θ+cos3θ）-（sinθcosθ）2（sinθ+cosθ）=1× -- 2× = ，故原式=5× ÷ -2× =3.

2. 原式= + + [sin（20°+50°）+sin（20°-50°）]=1- （cos40°+cos80°）+ sin70°- sin30°=1- （2cos60°cos20°）+ sin70°- = - cos20°+ sin70°= .

3 三角函數(shù)的圖象

1. （1）f（x）=m·n= Asinxcosx+ cos2x= Asin2x+ cos2x=Asin2x+ . 因?yàn)锳>0，由題意知A=6.

（2）由（1）得f（x）=6sin2x+ ，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移 個(gè)單位后得到y(tǒng)=6sin2x+ + =6sin2x+ 的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 ，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=6sin4x+ 的圖象. 因此g（x）=6sin4x+ ，因?yàn)閤∈0， ，所以可知4x+ ∈ ， ，故g（x）在x∈0， 上的值域?yàn)閇-3，6].

2. （1）由題意，A=1，T= =8，得ω= ，所以f（x）=sin x+φ. 又f（1）=sin +φ=1且- <φ< ，所以 +φ= ，得φ= ，所以f（x）=sin x+ .

（2）因?yàn)閒（-1）=0， f（1）=1， f（5）=

-1，所以M（-1，0），N（1，1），P（5，-1），故MN= MP= ，NP=2 . 由余弦定理得cos∠MNP=- ，而∠MNP∈（0，π），故sin∠MNP= .

4 三角函數(shù)的性質(zhì)

1. 對(duì)于選項(xiàng)A，y=sinx+1；對(duì)于選項(xiàng)C，y=2sinx，其單調(diào)性都與y=sinx一致，故A、C同真同假，因選項(xiàng)唯一，故排除A、C. 對(duì)于選B，y=sinx+cosx= sinx+ ，因x∈- ， ，所以x+ ∈[0，π]，y=sinx+ 非單調(diào)遞增，對(duì)于選項(xiàng)D，y=sinx-cosx= sinx- ，x- ∈- ， ，所以y=sinx-cosx在x∈- ， 上單調(diào)遞增. 故選D.

2. y=sinx- cosx=2sinx- ，平移后圖象所對(duì)應(yīng)的解析式為y=2sinx-a- （a>0），其關(guān)于y軸對(duì)稱，所以-a- =± +kπ（k∈Z），故a= - -kπ或 -kπ，則a的最小值為 . 故選C.

3. （1）x∈- ， ，A=2， =

- -- ，T=2π，ω=1，且f（x）=2sin（x+φ）過- ，2.

因?yàn)?<φ<π，所以- +φ= ，φ= ， f（x）=2sinx+ .

當(dāng) ≤x≤π時(shí)- ≤ -x≤ ， f（x）=2sin -x+ =2sin（π-x）=2sinx.

而函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱，則f（x）=f -x，所以f（x）=2sinx+ ，x∈- ， ，2sinx，x∈ ，π .

（2）當(dāng)- ≤x≤ 時(shí)， f（x）=2sinx+ = ，sinx+ = ，所以x+ = 或 ， 即x=- 或 ；

當(dāng) ≤x≤π時(shí)， f（x）=2sinx= ，sinx= ，所以x= 或 .

所以方程f（x）= 的解集是- ， ， ， .

（3）存在假設(shè)存在，由條件得：m-2m-2，[f（x）] max2，所以0

5 解三角形

1. 由S△ABC= bcsinA= ×5b× =5 ，得b=4. 據(jù)余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA=42+52-2×4×5cos =61，得a= .

2. 設(shè)在△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.

（1）因?yàn)?· =2，所以bccosA=2，又S△ABC=2，所以 bcsinA=2.

所以tanA=2.

（2）因?yàn)閠anA=2，所以cosA= ，由于sinB=2cosAsinC，所以sin（A+C）=2cosAsinC，即sinAcosC+cosAsinC=2cosAsinC，得sinAcosC=cosAsinC，所以A=C，即a=c，故bccosA= = =2，b=2，2c× =2，c= ，所以a= ，即BC= .

綜合測(cè)試

1. B

2. 已知等式可變化為 tanB= ，則cosB· = ，得sinB= ，B∈（0，π），所以B= 或 . 故選D.

3. 由tan x- =0，得 x- =kπ（k∈Z），x=4k+2（k∈Z），結(jié)合圖形可知A（2，0）. 由tan x- =1，得 x- = +kπ（k∈Z），所以x=3+4k（k∈Z），結(jié)合圖形可知B（3，1）. 所以（ + ）· =（5，1）·（1，1）=6.

4. 把P0， 代入f（x）=3sin（2x+θ），得sinθ= ，故θ= .

所以g（x）=3sin2x+ -2φ，把P0， 代入得sin2φ- =- ，φ=kπ或φ=kπ- （k∈Z），觀察選項(xiàng)，故選C.

5. 由命題p：不等式lg[x（1-x）+1]>0，可知lg[x（1-x）+1]>lg1. 所以x（1-x）+1>1，所以0sinB，所以在三角形中有∠A>∠B；反之，在三角形中若∠A>∠B，則必有sinA>sinB，即cos2 +

6. f（x）=1-cos +2x- cos2x-1=sin2x- cos2x=2sin2x- ，h（x）=f（x+α）=2sin2x+2α- . 因?yàn)閔- =0，所以2×- +2α- =kπ（k∈Z），故α= + （k∈Z）. 又因?yàn)棣痢剩?，π），所以α= .

7. 由余弦定理可得cosB= = = ≥ = ，當(dāng)且僅當(dāng)a2=c2，即a=c時(shí)等號(hào)成立. 最小值為 .

8. 對(duì)于①，假設(shè)f（-x）=-msinx+ncosx=f（x）=msinx+ncosx，則msinx=0，因?yàn)閙≠0，所以msinx=0不恒成立，故f（x）不是偶函數(shù)，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，令x=0， f（0）=n，所以只有當(dāng)n=0時(shí)，函數(shù)f（x）圖象才過坐標(biāo)原點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③， f（x）=msinx+ncosx= sin（x+φ）tanφ= ，所以函數(shù)f（x）任意兩零點(diǎn)之間的距離為nπ（n∈N？鄢），故③正確；對(duì)于④，因?yàn)槿我鈞∈R，f（x）≥f ，所以f =0，可得m=n，故④正確；對(duì)于⑤， f（x）=msinx+ncosx= sin（x+φ），其中sinφ= ，cosφ= ，所以tanα= = ，可得cos（α+φ）=0，α+φ=kπ+ ，k∈Z，即α=-φ+ +kπ，k∈Z 時(shí)， f（α）=± ，故⑤正確. 填③④⑤.

9. f（x）=a（1+cosx+sinx）+b= asinx+ +a+b.

（1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=- ·sinx+ +b-1，由2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ （k∈Z），得2kπ+ ≤x≤2kπ+ （k∈Z），所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為2kπ+ ，2kπ+ （k∈Z）.

（2）因?yàn)?≤x≤π，所以 ≤x+ ≤ ，所以- ≤sinx+ ≤1，由題意知a≠0.當(dāng)a>0時(shí)，可得 a+a+b=8，b=5，解得a=3 -3，b=5；當(dāng)a<0時(shí)，可得b=8， a+a+b=5，解得a=3-3 ，b=8.

綜上所述，a=3 -3，b=5或a=3-3 ，b=8.

10. （1）因?yàn)閏osB= = = ≥0，所以B≤90°（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取得等號(hào)）.

（2）因?yàn)?· =-2，所以accosB=2. 因?yàn)閎2=a2+c2-2accosB=12，所以a2+c2=16. 又a+c= b=2 ，所以ac=4，所以cosB= ，所以sinB= ，所以S△ABC= acsinB= .

11. （1）由題設(shè)條件知f（x）的周期T=π，即 =π，解得ω=2. 因f（x）在x= 處取得最大值2，所以A=2，從而sin2× +φ=1，所以2× +φ= +2kπ，k∈Z. 又由-π<φ<π得φ= . 故f（x）=2sin2x+ .

（2）由已知，g（x）= = = = cos2x+1cos2x≠ . 因cos2x∈[0，1]，且cos2x≠ ，故g（x）的值域?yàn)?， ∪ ， .

12. （1）因?yàn)閙=（sinA，sinC），n=（cosC，cosA），所以m·n=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB. 又已知m·n=sin2B，所以sin2B=sinB，所以2sinBcosB=sinB，顯然sinB≠0，所以cosB= ，所以B= .

（2）因?yàn)?·（ - ）= · =c·acosB= ac=8，所以ac=16. 因?yàn)槿卆，b，c成等差數(shù)列，所以a+c=2b，所以b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=4b2-48，所以3b2=48，b=4.