余樹寶

由于概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)與生產(chǎn)生活實(shí)際有著非常密切的聯(lián)系，并在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用廣泛，加之高中階段開設(shè)此部分內(nèi)容對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著承上啟下的作用，所以近年來概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容一直是高中教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容. 尤其是新課程改革之后，高考對(duì)此部分內(nèi)容的考查都不低于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，因此應(yīng)引起廣大考生的重視.

從高考分值比例來看，理科更注重對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的考查；從考查內(nèi)容上來看，理科注重的是概率內(nèi)容，文科注重的是統(tǒng)計(jì)內(nèi)容；從題型上來看，選擇題或填空題至少一題，解答題或有一題（由于各省、市自主命題，如2014年江蘇卷、浙江卷中的解答題就沒有考查概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容）；從難度上來看，小題容易大題稍難，尤其是理科.

高考中，新課標(biāo)卷更注重考查概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的考查基本上都是聯(lián)系當(dāng)前生活實(shí)際，具有鮮明的時(shí)代性，這反映了概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容貼近生活，也反映了在眾多的高考考點(diǎn)中概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的具有突出的應(yīng)用性.

高考中，常見的抽樣問題一般包含兩種題型：一是給定某一總體，選擇適宜的抽樣方法；二是采用某一抽樣方法，如何實(shí)施抽樣過程，抽樣的結(jié)果如何. 這些問題主要考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等三種抽樣方法，其中又以考查分層抽樣為主. 本知識(shí)點(diǎn)一般在選擇題或填空題中進(jìn)行考查，難度屬于中等偏易.

（1）理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性.

（2）會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣的方法.

掌握三種抽樣方法適用的總體類型及各抽樣方法的特點(diǎn)對(duì)此類問題的解決非常關(guān)鍵.

（1）當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較少時(shí)，適用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法.

①用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本時(shí)，每次抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)任一個(gè)體被抽到的概率為 ；在整個(gè)抽樣過程中各個(gè)個(gè)體被抽到的概率均為 ；

②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)是：逐個(gè)抽取，且各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等；

③簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性，是其他更復(fù)雜抽樣方法的基礎(chǔ).

（2）當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，適用系統(tǒng)抽樣方法.

①系統(tǒng)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的聯(lián)系在于將總體均分后的每一部分進(jìn)行抽樣時(shí)，采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；

②與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的；

③總體中的個(gè)體數(shù)恰好能被樣本容量整除時(shí)，可用它們的比值作為系統(tǒng)抽樣的間隔；當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣先從總體中剔除少量個(gè)體，使剩下的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除再進(jìn)行系統(tǒng)抽樣.

（3）當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，適用分層抽樣方法.

①分層抽樣是等概率抽樣，它也是客觀的、公平的；

②分層抽樣是建立在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的基礎(chǔ)上的，由于它充分利用了已知信息，使樣本具有較好的代表性，而且在各層抽樣時(shí)可以根據(jù)具體情況采用不同的抽樣方法，因此在實(shí)踐中有著非常廣泛的應(yīng)用；

③在各層抽樣時(shí)要按照各部分所占的比例進(jìn)行抽樣.

例1 某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名. 現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

破解思路 題設(shè)中明確要求用分層抽樣的方法，因此我們要依據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)，在各層抽樣時(shí)要按照各部分所占的比例進(jìn)行抽樣.

答案詳解 設(shè)從高二應(yīng)抽取x人，則有30∶40=6∶x，解得x=8，選C.

例2 采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)査，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1，2，…，960，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為9，抽到的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[1，450]的人做問卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[451，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為（ ）

A. 7 B. 9 C. 10 D. 15

破解思路 此題考查的是系統(tǒng)抽樣方法. 在解決的過程中，一是在分組或分段時(shí)要注意需不需要剔除少量個(gè)體，二是要注意抽取多少個(gè)體就要分成多少組，三是要注意間隔是多少.

答案詳解 要分為32組，每組有30個(gè)個(gè)體，由于第一組抽取的號(hào)碼是9，所以各組的號(hào)碼應(yīng)該是9+（k-1）·30，k=1，2，…，32. 由451≤9+（k-1）·30≤750得16≤k≤25，因此做問卷B的人數(shù)為10，故選C.

1. 某課題組進(jìn)行城市空氣質(zhì)量調(diào)查，按地域把24個(gè)城市分成甲、乙、丙三組，對(duì)應(yīng)城市數(shù)分別為4，12，8. 若用分層抽樣的方法抽取6個(gè)城市，則甲組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為______.

2. 某高中有學(xué)生270人，其中高一年級(jí)108人，高二、高三年級(jí)各81人，現(xiàn)要利用某抽樣方法取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按高一、高二、高三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1，2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號(hào)1，2， …，270，并將整個(gè)編號(hào)依次分為10段. 如果抽得號(hào)碼有下列四種情況：

①7，34，61，88，115，142，169， 196，223，250；

②5，9，100，107，111，121，180， 195，200，265；

③11，38，65，92，119，146，173， 200，227，254；

④30，57，84，111，138，165，192， 219，246，270.

關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（ ）

A. ②③都不能為系統(tǒng)抽樣

B. ②④都不能為分層抽樣

C. ①④都可能為系統(tǒng)抽樣

D. ①③都可能為分層抽樣endprint