1 等差數(shù)列與等比數(shù)列

1. （1）因?yàn)閒 ′（x）=an-an+1+an+2-an+1·sinx-an+2·cosx，對(duì)任意n∈N ， f ′ =an-an+1+an+2-an+1=0，所以2an+1=an+an+2. 又因?yàn)閍1=2，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)的等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2+a4=8，所以2a1+4d=8，解得d=1，所以an=2+（n-1）×1=n+1. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n+1（n∈N ）.

（2）由（1）知，an=n+1（n∈N ），所以bn=2n+1+ =2（n+1）+ ，所以Sn=b1+b2+…+bn=2（2+3+…+n+1）+ + +…+ =2× + =n（n+3）+1- =n2+3n+1- .

2. （1）a2=λa1+λ-2=2λ-2，a3=λa2+λ-2=2λ2-2λ+λ-2=2λ2-λ-2. 因?yàn)閍1+a3=2a2，所以1+2λ2-λ-2=2（2λ-2），得2λ2-5λ+3=0，解得λ=1或λ= ，當(dāng)λ= 時(shí)，a2=2× -1=1，a1=a2，不合題意，舍去.

λ=1時(shí)，代入an=λan-1+λ-2，可得an-an-1=-1，所以{an}構(gòu)成以a1=1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，所以an=-n+2.

（2）由λ=3可得an=3an-1+3-2？圯an=3an-1+1，所以an+ =3an-1+ ，所以an+ =3an-1+ ，即bn=3bn-1（n≥2）. 又b1=a1+ = ，所以{bn}構(gòu)成以b1= 為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以bn= ·3n-1= ，所以Sn= = （3n-1）.

3. （1）anan+1+anan-1=2an-1an+1可變形為 + = （n≥2且n∈N ），所以數(shù)列 是等差數(shù)列，d= - =3. 所以 = +（n-1）d=-2+（n-1）·3=3n-5，即an= .

又由題意有Sn=3-3· ，則Sn-1=3-3· （n≥2），兩式相減得bn= （n≥2）.

又b1= 也符合此式，所以bn= （n∈N ），即數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.

（2）由（1）代入得cn= =（3n-5） ，設(shè)xn=Tn+1-2Tn+Tn-1，則其可變形為xn=（Tn+1-Tn）-（Tn-Tn-1）=cn+1-cn= · （n≥2）.

而xn+1-xn= ，所以當(dāng)2≤n≤7時(shí)，xn+1-xn<0，即數(shù)列{xn}遞減；當(dāng)n≥8時(shí)，xn+1-xn>0，數(shù)列{xn}遞增，即x2>x3>x4>0>…>x8

2 數(shù)列與其他知識(shí)交匯

1. C 依題得AF= = =a，OF=c，BF=a+c. 因?yàn)锳F，OF，BF成等差數(shù)列，則2OF=AF+BF，所以2c=a+a+c，所以c=2a，所以e= =2.

2. 依題意得圓心（2，0）在直線x+y-d=0上，則d=2. 因?yàn)橹本€y= a1x+m與直線x+y-2=0互相垂直，所以a1=2. 所以Sn=2n+ ×2=n（n+1），所以 = = - ，所以數(shù)列 的前2015項(xiàng)和等于 - + - +…+ - + - = .

3. （1）f ′ （x）= . 令f ′ （x）>0，則x

所以f （x）在（-n，en+1-n）上遞增，在（en+1-n，+∞）上遞減.

所以當(dāng)x=en+1-n時(shí)， f （x）max=f （en+1-n）= + ，即an= + ，則Sn= + .

（2）因?yàn)閚≥1，所以en+1遞增，n（n+1）遞增，所以an= + 遞減. 所以0

令g（x）= +a，則g′（x）= ，所以g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減.

當(dāng)x→0時(shí)， →0；當(dāng)x→+∞時(shí)， >0；又g（1）=1+a，所以g（x）∈（a，1+a]，結(jié)合已知得（a，1+a]？勐0， + ，所以a≤0， + ≤1+a，所以 - ≤a≤0.

（3） +f （en）-an= + + - - = + ln - = +ln - .

令t= ，因?yàn)間（x）= （x≥1），g′（x）= ≤0，所以g（x）在[1，+∞）上遞減.

所以10，所以r（t）>r（1）=0，所以 +ln - >0，所以 +f （en）>an.

3 歸納推理

1. 2015×22012 觀察倒三角形數(shù)，可知，M是在第2014行.

第2行的第一個(gè)數(shù)是3：3=3×20；

第3行的第一個(gè)數(shù)是8：8=4×21；

第4行的第一個(gè)數(shù)是20：20=5×22；

第5行的第一個(gè)數(shù)是48：48=6×23；

第6行的第一個(gè)數(shù)是112：112=7×24；

…

可歸納，第2014行的數(shù)M是：M=2015×22012.

2. 9×101006 可以看出2位數(shù)有9個(gè)回文數(shù)，3位數(shù)有90個(gè)回文數(shù)，4位數(shù)有90個(gè)回文數(shù)，按照此數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2014位數(shù)的回文數(shù)只用看前1007位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面1006位每位有10種情況，所以個(gè)數(shù)為9×101006，因此，2014位的回文數(shù)總共有9×101006.

4 類比推理

1. n 因?yàn)門n=a1+a2·4+a3·42+…+ an·4n-1 ①，所以4Tn=a1·4+a2·42+a3·43+…+an-`1·4n-1+an·4n ②，由①+②得5Tn=a1+（a1+a2）·4+（a2+a3）·42+…+（an-`1+an）·4n-1+an·4n=1+ ·4+ ·42+…+ ·4n-1+an·4n=n+an·4n，所以5Tn-4n·an=n.

2.

5 演繹推理

B 分別畫出函數(shù)y= 的圖象與y=2sinπx （-2≤x≤4）的圖象（如圖4所示），可得“和諧點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)是4. 故選B.

圖4

6 直接證明與間接證明

（1）因?yàn)閍n+1+2= +2= ，所以 =2· .

令bn= ，則bn+1=2bn. 因?yàn)閎1= ，所以當(dāng)a=-2時(shí)，b1=0，則bn=0（舍）.？搖

當(dāng)a=-2時(shí)，數(shù)列 不是等比數(shù)列；

當(dāng)a≠-2時(shí)，b1≠0，則數(shù)列 是等比數(shù)列，且公比為2.

所以bn=b1·2n-1，即 = ·2n-1，解得an= ·2n-1-2.

（2）由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，an=（2n+1）·2n-1-2. 設(shè)cn=（2n+1）·2n-1，其前n項(xiàng)和為Tn，由錯(cuò)位相減法得Tn=（2n-1）·2n+1，所以Sn=Tn-2n=（2n-1）（2n-1）.

因?yàn)?n=C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn，

所以當(dāng)n≥3時(shí)，2n≥C0n+C1n+…+Cnn-1+Cnn=2（n+1），則2n-1≥2n+1.

所以Sn≥（2n-1）（2n+1），則 ≤ = - .

從而可得 + +…+ ≤ - + - +…+ - = - < .

綜合測(cè)試

1. B

2. B 因?yàn)?是3a與3b的等比中項(xiàng)，所以3=3a·3b，所以a+b=1，所以 + = + =2+ + ≥2+2 =4當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 時(shí)，取等號(hào)，所以 + 的最小值為4.

3. C

4. C 若f（x）=sin ，g（x）=cos ，則f（x）·g（x）= sinx，所以f（x）·g（x）為奇函數(shù)，所以 f（x）·g（x）dx=0，所以①是正交函數(shù)；若f（x）=x+1，g（x）=x-1，則f（x）·g（x）=x2-1，所以f（x）·g（x）為偶函數(shù)，所以 f（x）·g（x）dx=2 （x2-1）dx=2 x3-x10=- ≠0，所以②不是正交函數(shù)；若f（x）=x，g（x）=x2，則f（x）·g（x）=x3，所以f（x）·g（x）為奇函數(shù)，所以 f（x）·g（x）dx=0，所以③是正交函數(shù). 綜上，正交函數(shù)的組數(shù)是2.

5. A 對(duì)于①，取Ω={（x，y）x>0，y>0}，a=（1，0），則a為Ω的向量周期，但-a=（-1，0）不是Ω的向量周期，故①是假命題；易知②是真命題；對(duì)于③，取 = ，1，由 = +b= ，1+（-1，2）=- ，3，則Q？埸Ω，所以b不是Ω的一個(gè)向量周期，故③是假命題；對(duì)于④，取P ，1， = +c= ，1+ ，0=（π，1），所以Q（π，1）. 因?yàn)閟inπ-cosπ=-1≠1，所以Q？埸Ω，所以c不是Ω的一個(gè)向量周期，故④是假命題. 故選A.

6. 觀察：含有3件次品的10件產(chǎn)品，m=3，N=10. 當(dāng)n=1時(shí)，E（ξ1）= = ；當(dāng)n=2時(shí)，E（ξ2）= = ；當(dāng)n=3時(shí)，E（ξ3）= = …，可歸納，E（ξn）= .

7. n+2n 因?yàn)閑1=3=2+1，e2=6=4+2，e3=11=8+3，e4=20=16+4，e5=37=32+5，…，所以an=n，bn=2n，所以en=an+bn=n+2n.

8. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)A（-p，0）和C（p，0），頂點(diǎn)B在雙曲線 - =1（m>n>0，p= ）上，則 = （其中e為雙曲線的離心率）.

9. （1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x2+bx是偶函數(shù)，所以b=0，所以f（x）=x2.

因?yàn)辄c(diǎn)Pn（n，Sn）在函數(shù)f（x）=x2的圖象上，所以Sn=n2.

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1；當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1也符合上式，所以an=2n-1.

（2）bn=2n+2n-1，

所以Tn= + =2n+1+n2-2.

10. （1）若m=-1，則f（x）=lnx+ ，所以f ′（x）= - = .

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lnx+ 的定義域?yàn)椋?，+∞），所以當(dāng)01時(shí)， f ′（x）>0. 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）.

（2）若m=0，則f（x）=lnx. 因?yàn)楹瘮?shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以g（x）=ex，所以g（n+1）=en+1. 因?yàn)?n+1an+1=g（n+1）an（n∈N ），所以2n+1an+1=en+1an（n∈N ）. 因?yàn)閍n>0，所以 = = >1，所以數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列.

11. （1）因?yàn)門1， 為橢圓上一點(diǎn)，且TF2垂直于x軸，所以有c=1， + =1，即a2-b2=1， + =1，解得a2=4，b2=3，所以橢圓E的方程為 + =1.

（2）逆命題：“已知P是橢圓E上一點(diǎn)，直線A1P，A2P分別交直線l：x=t（t為常數(shù)）于M，N兩點(diǎn)，若Q為線段MN的中點(diǎn)，則直線PQ與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P. ”它為真命題. 證明如下：設(shè)P（x0，y0），則 + =1. 又l ：y= （x+2），l ：y= （x-2），所以Mt， ，Nt， . 設(shè)MN的中點(diǎn)為Q（x1，y1），則x1=t，y1= = . 又因?yàn)閤 -4= ，所以y1= ，即可得點(diǎn)Qt， ，所以kPQ= = = = ，則lPQ：y= （x-x0）+y ，即y=- x+ . 聯(lián)立方程 + =1，y=- x+ ，消y并化簡(jiǎn)得 x2- x+ -1=0，所以Δ=- -4 -1= =0，所以直線PQ與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P.

（3）如圖5，①任作一條直線n垂直于實(shí)軸；②作直線A1S，A2S分別交直線n于I，J兩點(diǎn)；③作線段IJ的中點(diǎn)V，則直線SV即為所求的直線m.

圖5

12. （1）由點(diǎn)P（an，an+1）在直線x-y+1=0上，即an+1-an=1，且a1=1，數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以an=n.

（2）f（n）= + +…+ ， f（n+1）= + + …+ + ， f（n+1）-f（n）= + - > - >0，所以f（n）單調(diào)遞增，故f（n）的最小值是f（2）=

（3）bn= ，可得Sn=1+ + +…+ ，Sn-Sn-1= （n≥2），nSn-（n-1）Sn-1=Sn-1+1，（n-1）Sn-1-（n-2）Sn-2=Sn-2+1，2S2-S1=S1+1，nSn-S1=S1+S2+S3+…+Sn-1+n-1，S1+S2+S3+…+Sn-1=nSn-n=n（Sn-1），n≥2，g（n）=n