本節(jié)內(nèi)容是三角恒等變形的核心知識(shí)，兩角和與差的三角公式揭示了“同名不同角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律”，二倍角公式揭示了角的系數(shù)變化與三角式次數(shù)變化之間的“守恒”規(guī)律，應(yīng)用公式求值、化簡(jiǎn)及恒等式的證明時(shí)要善于觀察差異，尋找聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，同時(shí)注意公式的正用、逆用及變用. 不論是考查三角的選擇題、填空題還是解答題一般都會(huì)考查到這兩組公式，這是高考每年必考的內(nèi)容，特別是用和差角公式順用、逆用、變形運(yùn)用來(lái)進(jìn)行三角求值的問(wèn)題.

本節(jié)內(nèi)容包括利用三角公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的求值及三角恒等變換. 三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的一般要求：①函數(shù)名稱盡可能少；②項(xiàng)數(shù)盡可能少；③函數(shù)式盡可能簡(jiǎn)單（不含根式）；④次數(shù)盡可能低、盡可能求出值. 求值問(wèn)題的基本類型及方法：①給角求值；②給值求值；③給值求角.

三角恒等式的證明實(shí)質(zhì)是：①通過(guò)恒等變形，消除三角恒等式兩端結(jié)構(gòu)上的差異（如角的差異、函數(shù)名稱的差異等）；②證三角恒等式的基本思路是“消去差異，促成同一”，即通過(guò)觀察、分析，找出等式兩邊在角、名稱、結(jié)構(gòu)上的差異，再選用適當(dāng)?shù)墓剑ゲ町?，促進(jìn)統(tǒng)一；③證明三角恒等式的基本方法有化繁為簡(jiǎn)、左右歸一、變更問(wèn)題.

例1 已知sin（α+β）= ，sin（α-β）=- ，且α，β>0，α+β< ，則tan2α=________.

破題思路 對(duì)于三角求值中的給值求值問(wèn)題主要是找到已知角與所求角之間的聯(lián)系，然后通過(guò)三角公式變形求解，本題注意到2α=α+β+α-β即可.

答案詳解 0<α+β< ，- <α-β<0，由sin（α+β）= ，可得cos（α+β）= ，所以tan（α+β）= . 由sin（α-β）=

- ，可得cos（α-β）= ，所以tan（α-β）=- .

故tan2α=tan[（α+β）+（α-β）]= .

例2 sin410°+sin450°+sin470°的值為________.

破題思路 利用二倍角余弦公式的變形公式——降冪公式，用兩次來(lái)解決，變形方向總是朝著特殊角方向化簡(jiǎn). 解答本題除了必須熟練掌握三角公式之外，還需要一定的恒心和代數(shù)功底.

答案詳解 遇到高次函數(shù)時(shí)，一般采取降冪的策略. sin410°+sin450°+sin470°= 2+ 2+ 2= （1-2cos20°+cos220°+1-2cos100°+cos2100°+1-2cos140°+cos2140°）= [3-2（cos20°+cos100°+cos140°）+（cos220°+cos2100°+cos2140°）]，而cos20°+cos100°+cos140°=2cos60°cos40°+cos140°=cos40°+cos140°=0.

cos220°+cos2100°+cos2140°= ·（1+cos40°）+ （1+cos200°）+ （1+cos280°）= [3+（cos40°+cos200°+cos280°）]，

而cos40°+cos200°+cos280°=2cos120°cos80°+cos（100°+180°）=

-cos80°-cos100°=0，

故cos220°+cos2100°+cos2140°= ，所以sin410°+sin450°+sin470°= ×3+ = .

1. 已知sinθ+cosθ= ，則 -2（sin4θ+cos4θ）=________.

2. sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值為________.