直線與圓錐曲線的位置關系是高考中的熱點，往往與一元二次方程以及弦長、面積等知識相結合.此類問題難度較大，對學生的能力要求較高.

（1）直線和圓錐曲線的位置關系.

（2）直線和圓錐曲線的交點問題.

（3）弦長問題.

常用方法：（1）聯(lián)立方程求交點，運用根與系數(shù)的關系求弦長，利用根的分布找范圍，曲線定義不能忘.（2）“點差法”的常見題型：求中點弦的方程，求弦（過定點、平行弦）中點的軌跡，垂直平分線問題.需要提醒的是，“點差法”具有不等價性，即要考慮判別式Δ>0是否成立.

例1 已知點A（1，0），橢圓C： + =1，過點A作直線交橢圓C于P，Q兩點，若 =2 ，則直線PQ的斜率為（ ）

A. B.

C. ± D. ±

破解思路 （1）解答直線與橢圓的題目時，通常把它們的方程聯(lián)立，消去x（或y）后建立一個關于y（或x）的一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系.

（2）當涉及直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略了直線斜率為0或不存在等特殊情形.

答案詳解 設點P，Q的坐標分別為P（x ，y ），Q（x ，y ），則 =（x1-1，y1）， =（1-x2，-y2）.

因為 =2 ，所以x1-1=2（1-x2），整理得x1+2x2=3 ①.

設直線PQ的斜率為k，則其方程為y=k（x-1），代入橢圓方程得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0. 于是可得x1+x2= ②，x1x2= ③. 從而聯(lián)立①②③，解得k=± . 故選D.

例2 已知橢圓 + =1（a>b>0）的一個頂點為B（0，4），離心率e= ，直線l交橢圓于M，N兩點.？搖

（1）若直線l的方程為y=x-4，求弦MN的長.

（2）如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.

破解思路 直線與圓錐曲線的關系問題，一般可以直接聯(lián)立方程，“設而不求”，把方程組轉化成關于x或y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系及弦長公式求解.

答案詳解 （1）由已知得b=4，且 = ，即 = ，所以 = ，解得a2=20，所以橢圓的方程為 + =1. 將4x2+5y2=80與y=x-4聯(lián)立，消去y得9x2-40x=0，所以x1=0，x2= ，所以所求弦長MN= ·x2-x1= .

（2）橢圓右焦點F的坐標為（2，0），設線段MN的中點為Q（x0，y0），由三角形重心的性質知 =2 .又B（0，4），所以（2，-4）=2（x0-2，y0），得x0=3，y0=-2，即得點Q的坐標為（3，-2）. 設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=6，y1+y2=-4，且 + =1， + =1，將以上兩式相減可得 + =0，所以kMN= = - · =- × = ，故直線MN的方程為y+2= （x-3），即6x-5y-28=0.

例3 在平面直角坐標系xOy中，已知點M（2，2），P是動點，且△POM的三邊所在直線的斜率滿足kOM+kOP=kPM.

（1）求點P的軌跡C的方程；

（2）點N在直線y=4x-1上，過N作（1）中軌跡C的兩切線，切點分別為A，B，若△ABN是直角三角形，求點N的坐標.

破解思路 （1）直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；（2）有關直線與拋物線的相切問題，若拋物線的開口方向向上或者向下時，往往可以借助導數(shù)來求相應切線的斜率.

答案詳解 （1）設P（x，y），則由kOM+kOP=kPM得1+ = ，即x2=2y，所以點P的軌跡C的方程是x2=2y（x≠0，且x≠2）.

（2）因為y= x2，所以y′=x. 設Ax1， x21，Bx2， x22，N（a，b），則kAN=x1，kBN=x2. 由于AN是曲線的切線，所以 =x1，即x21-2ax1+2b=0，同理x22-2ax2+2b=0. 兩式相減可得（x1+x2）（x1-x2）-2a（x1-x2）=0，又x1≠x2，故x1+x2=2a.

①若AN⊥BN，則kAN·kBN=-1，所以x1x2=-1，由x21-2ax1+2b=0，x22-2ax2+2b=0，x1x2=-1，得2b= -1，b=- ，此時N ，- .

②若AN⊥AB，則kAN·kAB=-1，即 ·x1=-1，化簡得（x1+x2）x1+2=0，即2ax1+2=0，x1=- . 又x21-2ax1+2b=0，即 +2+2b=0. 由 +2+2b=0，b=4a-1可得a=- ，b=-3，所以N- ，-3.

③若BN⊥AB，同理得N- ，-3.

綜上所述，所求的點N共有兩個： ，- 和- ，-3.

如圖5，圓O與離心率為 的橢圓T： + =1（a>b>0）相切于點M（0，1）.

（1）求橢圓T與圓O的方程；

（2）過點M引兩條互相垂直的直線l1，l2與兩曲線分別交于點A，C與點B，D（均不重合）.

（i）若P為橢圓上任一點，記點P到兩直線的距離分別為d1，d2，求d +d 的最大值；

（ii）若3 · =4 · ，求l1與l2的方程.