馬 超，蔡 軍，楊 飛，崔 彬

MA Chao,CAI Jun,YANG Fei,CUI Bin

國(guó)電南瑞科技股份有限公司，南京210061

Nari Technology Development Limited Company,Nanjing 210061,China

1 引言

粒子群算法（PSO）的基本思想是模擬鳥類的群體行為，鳥類在搜索食物過程中，首先記錄每個(gè)個(gè)體在搜索食物過程找到的最好位置，稱之為“局部最優(yōu)”，其次記錄所有成員找到的最好位置，稱為“全局最優(yōu)”。每一只鳥都會(huì)依據(jù)這兩個(gè)變量為軌跡來搜索最佳位置。粒子群算法具有原理簡(jiǎn)單，收斂效率高，收斂精度高等優(yōu)點(diǎn)，但前期易陷入局部最優(yōu)解等缺點(diǎn)。遺傳算法（GA）的基本思想是模擬生物遺傳進(jìn)化過程，是一種進(jìn)化算法，采用選擇、交叉和變異等遺傳算子，有很強(qiáng)的全局搜索能力，具有簡(jiǎn)單、通用、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，但算法效率及精度有待提高，特別是后期易陷入局部最優(yōu)解。目前，智能優(yōu)化算法已廣泛應(yīng)用在系統(tǒng)控制、計(jì)算機(jī)工程、人工智能和管理工程等工程領(lǐng)域。針對(duì)具有非線性、多極值、大規(guī)模、強(qiáng)約束等特點(diǎn)的工程問題，尋求一種適應(yīng)性強(qiáng)，具有通用作用的智能交互算法已成為有關(guān)學(xué)科的主要研究目標(biāo)和方向。

散熱器基板簡(jiǎn)稱散熱基板，常用材料有鋼、鋁、銅等，常用于電力系統(tǒng)IGBT、GTO 等功率元件的熱交換場(chǎng)合。功率元件的散熱能力受貼裝工藝、散熱器和冷卻方式等因素影響，而研究表明，材料的表面質(zhì)量會(huì)對(duì)材料的導(dǎo)熱性產(chǎn)生一定影響，比如隨著表面粗糙度增大，材料的導(dǎo)熱率下降[1]；隨著表面殘余應(yīng)力增大，材料的導(dǎo)熱率下降[2]。因此，散熱基板的表面質(zhì)量對(duì)功率元件的散熱有很大影響。散熱基板工藝參數(shù)主要包括：切削速度、進(jìn)給量和切削深度，該三要素直接影響產(chǎn)品質(zhì)量和企業(yè)效益。

當(dāng)前對(duì)于材料加工的工藝參數(shù)優(yōu)化的方法有多種，根據(jù)文獻(xiàn)[3]所述，綜合機(jī)械動(dòng)力學(xué)理論和智能優(yōu)化算法在工藝參數(shù)優(yōu)化領(lǐng)域有很明顯的優(yōu)勢(shì)，本文首先是提出一種用于求解非線性、多極值、多維度的智能優(yōu)化算法，然后給出上述工藝參數(shù)優(yōu)化理論應(yīng)用于散熱基板銑削優(yōu)化的工程實(shí)例。

2 粒子群和遺傳交互學(xué)習(xí)算法

在粒子群算法中，群體由個(gè)粒子構(gòu)成，也即種群規(guī)模。設(shè)zi=(zi1，zi2，…，ziD)，zi為第i個(gè)粒子的D維位置矢量，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)值，比較每個(gè)粒子所處位置的優(yōu)劣；vi=(vi1，vi2，…，viD)為第i個(gè)粒子的飛行速度；pi=(pi1，pi2，…，piD)為單個(gè)粒子搜索的最優(yōu)位置；pg=(pg1，pg2，…，pgD)為整個(gè)群體搜索的最優(yōu)位置。在更換搜索位置時(shí)，粒子根據(jù)式（1）和（2）更新速度和位置：

其中，w為慣性權(quán)重，j是迭代次數(shù)，r1，r2為概率隨機(jī)數(shù)。式（1）第二項(xiàng)是粒子對(duì)自身經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)，第三項(xiàng)是粒子間的協(xié)作經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)。粒子通過公式（1）、（2）來更新自身的速度和位置尋找最優(yōu)解。

粒子群算法是一種基于自身學(xué)習(xí)和社會(huì)學(xué)習(xí)的智能進(jìn)化算法，其優(yōu)點(diǎn)：群體搜索并基于經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)，具有記憶能力；通用性強(qiáng)，不依賴于問題信息；搜索效率高，原理簡(jiǎn)單，便于實(shí)現(xiàn)。當(dāng)然還有一些缺點(diǎn)，如：粒子全局學(xué)習(xí)能力弱，容易陷入局部最優(yōu)解；算法性能對(duì)參數(shù)具有一定依賴性；缺乏具體的理論指導(dǎo)等。針對(duì)上述缺點(diǎn)，不同學(xué)者都對(duì)基本PSO 算法提出改進(jìn)，主要類別有：基于位置和速度更新策略[4-6]的改進(jìn)；基于多種群的策略[7-8]的改進(jìn)；基于拓?fù)洳呗訹9-10]的改進(jìn)；基于混合粒子群和其他算法[11-14]的改進(jìn)；基于生物行為策略[15-17]的改進(jìn)。

針對(duì)PSO 算法的不足，本文提出一種基于粒子群和遺傳算法的交互學(xué)習(xí)的搜索算法，算法屬于所述混合策略中的一種。綜合遺傳算法和粒子群算，并采用交互學(xué)習(xí)的搜索策略，在搜索最優(yōu)解過程中避免算法過早陷入局部極值點(diǎn)，從而獲得全局最優(yōu)解，命名為Integrated PSO and GA，簡(jiǎn)稱“IPGA”。

2.1 基本思想

PSO 和GA 都屬于搜索算法，PSO 側(cè)重于比較過程搜索，GA 側(cè)重于自然尋優(yōu)搜索，因此，PSO 在搜索時(shí)間上有優(yōu)勢(shì)，而GA 在搜索解上有優(yōu)勢(shì)，因此，本文提出一種采用PSO 和GA 的混合搜索架構(gòu)，利用各自優(yōu)勢(shì)進(jìn)行尋優(yōu)的混合算法思想。在粒子搜索最優(yōu)位置過程中，同時(shí)探索是否有更好的位置，這一隨機(jī)探索過程將大大增加優(yōu)良粒子的機(jī)會(huì)，并獲取較優(yōu)的解。從原理可以看出，PSO 和GA 進(jìn)行共同進(jìn)化、尋優(yōu)和相互學(xué)習(xí)，基本示意圖可看圖1。

圖1 PSO 算法基本思想

2.2 IPGA 參數(shù)分析

為了滿足算法的動(dòng)態(tài)搜索性，PSO 中的參數(shù)如w，c1，c2等要具有一定的動(dòng)態(tài)特性以滿足種群特性，本文采用動(dòng)態(tài)遞減非線性慣性權(quán)重[18]，即：

式（3）中，k，wmax，wmin，j，jmax分別是控制因子，最大權(quán)重值，最小權(quán)重值，當(dāng)前迭代次數(shù)，最大迭代次數(shù)。本文采用非對(duì)稱線性變化學(xué)習(xí)因子策略：

式中，c1s，c2s表示c1和c2的迭代初值，c1e，c2e表示c1和c2的迭代終值。

算法中采用的遺傳算子有選擇、交叉和變異。為了使粒子在搜索過程中找到更多的優(yōu)良粒子，并且不過分破壞已獲取較優(yōu)粒子的優(yōu)良性，故在采用遺傳算子過程中，采用以下兩種措施：

（1）使用順序選擇的方法[19]，設(shè)置給粒子的選擇概率，并且把最好的粒子賦予最大的選擇概率，這樣一定概率選擇的父代和隨機(jī)選擇的母代經(jīng)過交叉變異[20]后將產(chǎn)生一定的隨機(jī)粒子（式（6）），便于得到較優(yōu)良的粒子。

式（6）（7）中，p表示（0，1）間的隨機(jī)數(shù)。

（2）粒子群體的聚集程度進(jìn)行分析[21]，當(dāng)粒子的聚集達(dá)到一定程度時(shí)，采用高斯變異措施使粒子強(qiáng)制分散。設(shè)個(gè)體i的適應(yīng)度為Fi，當(dāng)前種群的平均適應(yīng)度為Favg，適應(yīng)度方差σ2：

式（8）中N為種群總數(shù)，F(xiàn)為歸一化因子，限制σ2的大小，F(xiàn)由式（9）獲得：

σ值小于一定值時(shí)，認(rèn)為算法進(jìn)入后期搜索，將容易出現(xiàn)早熟收斂現(xiàn)象，可以采用式（10）進(jìn)行變異處理：

式（10）中，pb(i)為第i個(gè)粒子目前為止的最好位置，μ是服從（0，1）正態(tài)分布的隨機(jī)向量。當(dāng)種群的適應(yīng)度方差小于給定的集聚閥值C時(shí)，說明粒子過于聚集，為了避免變異對(duì)粒子解的優(yōu)良性產(chǎn)生破壞，對(duì)部分粒子采用高斯變異。粒子變異概率為q。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)當(dāng)C，q的取值分別在（5，10）和（0.2，0.4）范圍內(nèi)算法表現(xiàn)較好。

2.3 IPGA 算法流程圖及過程分析

通過對(duì)上述講解，下面給出本文算法的流程圖和實(shí)現(xiàn)步驟。

圖2 IPGA 算法流程圖

IPGA 算法實(shí)現(xiàn)步驟：

步驟1確定算法中的參數(shù)值，如變異概率、種群規(guī)模、慣性權(quán)重、學(xué)習(xí)因子、粒子維度和選擇概率等。

步驟2根據(jù)初始搜索區(qū)間，隨機(jī)初始化粒子速度和位置。

步驟3計(jì)算粒子的適應(yīng)度值，并確定最優(yōu)粒子的個(gè)體極值Pb和全局極值Pg。

步驟4增加粒子迭代次數(shù)，并判別迭代代數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)。

步驟4.1偶數(shù)代時(shí)把粒子用遺傳算子進(jìn)行位置和速度更新。

步驟4.2奇數(shù)代時(shí)用粒子群進(jìn)行速度和位置的更新。

步驟5計(jì)算粒子的聚集層度，對(duì)一定數(shù)量的粒子采用變異處理。

步驟6再次判別評(píng)價(jià)函數(shù)，確定粒子的個(gè)體和全局極值。

步驟7判定迭代次數(shù)是否滿足要求，是則轉(zhuǎn)向步驟8，否則轉(zhuǎn)向步驟4。

步驟8輸出最優(yōu)粒子的全局最優(yōu)位置和最優(yōu)解。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與分析

為了體現(xiàn)本文算法在優(yōu)化問題方面的求解性能，選取了一些常用的優(yōu)化函數(shù)[20]進(jìn)行對(duì)比測(cè)試。針對(duì)10維函數(shù)，采用的測(cè)試函數(shù)有：f1～f15（依次表示Sphere、Schwefel2.22、Schwefel1.2、Schwefel2.21、Rosenbrock、Rastrigin、Ackley、Griewank、Branin、GoldPrice、Hartman1、Hartman2、Shekel-Fam1、ShekelFam2、ShekelFam3、Schwefel2.26，下文用函數(shù)序號(hào)代表函數(shù)名稱）。對(duì)比分析中，f1～f8的數(shù)據(jù)來源參考文獻(xiàn)[21]；f9～f15的數(shù)據(jù)來源參考文獻(xiàn)[22]。本次對(duì)比過程中算法采用的參數(shù)：

最大迭代次數(shù)：jmax=1 000；種群大?。篘=40；權(quán)重w的最大最小值是：c1和c2的開始和終止值分別是（2，1）和（1.5，2.75）；0.9 和0.4；控制因子k取3.0；變異閥值和變異概率C，pm取值10 和0.25；運(yùn)行次數(shù)30 次。

3.1 收斂精度和算法執(zhí)行能力分析

基于考慮數(shù)據(jù)來源于不同參考文獻(xiàn)，分析方法有所差別，因此表1 采用求出平均最優(yōu)值結(jié)果的對(duì)比分析方法；表2 采用獨(dú)立運(yùn)行100 次，求出其成功運(yùn)行的次數(shù)和誤差[23]分析方法，本文表中黑正體表示較優(yōu)解。

表1 不同算法結(jié)果性能對(duì)比分析（10 維）

表1 中Vave表示多次測(cè)試后，算法獲取偏離最優(yōu)解的平均誤差，表2 中Psuc表示成功收斂的次數(shù)，從表1 的平均函數(shù)值以及表2 的成功搜索率和與最優(yōu)值偏差可分析得知，IPGA 算法對(duì)各測(cè)試函數(shù)表現(xiàn)出較優(yōu)的精度。采用的測(cè)試函數(shù)中f1～f5是單峰函數(shù)。f1可以測(cè)試算法的尋優(yōu)精度，f5用來測(cè)試算法的執(zhí)行能力；f6～f8是高維多峰函數(shù)，可以測(cè)試算法對(duì)復(fù)雜問題的求解能力；f9～f15低維多峰函數(shù)，用來檢驗(yàn)算法的適應(yīng)性。經(jīng)過對(duì)比分析，IPGA 在多種復(fù)雜度問題有很高的計(jì)算精度和普遍適用性。

表2 不同算法結(jié)果性能對(duì)比分析

表3 10 維度問題的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表4 30 維度問題的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)不同測(cè)試函數(shù)具有的功能，采用f5～f8來檢測(cè)IPGA 對(duì)于復(fù)雜問題的求解能力，并與不同算法進(jìn)行對(duì)比分析。引用文獻(xiàn)[24-27]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，采用誤差平均值和標(biāo)準(zhǔn)方差（獨(dú)立運(yùn)行30 次）的大小進(jìn)行評(píng)定。上述函數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果具體見表3 和表4，可以看出在10 維和30 維的測(cè)試函數(shù)上，IPGA 都表現(xiàn)出廣泛的適應(yīng)性和求解能力。

3.2 算法收斂速度分析

為進(jìn)一步說明IPGA 在收斂效率方面的優(yōu)越性。本文結(jié)合仿真圖表給出IPGA 與本文所引用比較有優(yōu)勢(shì)的AMQPSO 和DE/BBO 算法在求解高維復(fù)雜函數(shù)f6和f8（30 維）過程中搜索對(duì)比圖。

由圖3 和圖4 可知，IPGA 算法在處理高維多局部最優(yōu)點(diǎn)問題時(shí)依然具有很高的搜索效率，前30 次迭代就表現(xiàn)出很強(qiáng)的收斂性，IPGA 普遍迭代100～250 次就可以找到最終的收斂位置。在IPGA 的速度和效率方面，設(shè)置j=300，采用平均成功運(yùn)行時(shí)間At的評(píng)價(jià)方法，并根據(jù)文獻(xiàn)的數(shù)據(jù)[31]對(duì)f9～f15進(jìn)行收斂效率上的對(duì)比。由于文獻(xiàn)[22]中的GA-PSO 較CGA 和CHA 在精度和收斂性方面好，下面僅對(duì)GA-PSO 作對(duì)比，對(duì)比效果見表5?？芍?，IPGA 在收斂效率上占有很大優(yōu)勢(shì)。

圖3 f6 函數(shù)（Griewank30 維）收斂圖

圖4 f8 函數(shù)（Rastrigin30 維）收斂圖

表5 算法收斂時(shí)間

4 建立銑削參數(shù)優(yōu)化模型

銑削用量三要素是指銑削速度、進(jìn)給量、切削深度，散熱基板銑削參數(shù)即優(yōu)化模型設(shè)計(jì)變量是：銑削速度v、每齒進(jìn)給量fz和銑削深度ap。散熱基板的加工是以降低加工工時(shí)tw[28]和加工成本Cp[29]，以提高加工質(zhì)量Ra[30]和加工穩(wěn)定性St[31]為優(yōu)化目標(biāo)，同時(shí)要滿足機(jī)床的功率Pmax、銑削進(jìn)給力FHmax和銑削扭矩Mmax約束，以及銑削加工過程中刀具所能承受的最大銑削速度v、每齒進(jìn)給量fz和銑削深度ap等約束條件。其中：

式（12）中參數(shù)見文獻(xiàn)[29]，加工質(zhì)量是機(jī)床加工精度的重要評(píng)價(jià)指標(biāo)之一，工程上采用輪廓算術(shù)平均偏差Ra作為加工表面粗糙度的重要衡量指標(biāo)[32]。根據(jù)文獻(xiàn)[32]的機(jī)械動(dòng)力學(xué)理論，把銑削加工過程簡(jiǎn)化為單自由振動(dòng)過程，利用振動(dòng)力學(xué)理論，有如下數(shù)學(xué)模型：

式（13）中，x(t)為銑削刀刃與工件之間在銑削表面法線方向上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡，此運(yùn)動(dòng)軌跡形成了散熱基板的表面輪廓。式（13）中需要實(shí)驗(yàn)來獲取銑削機(jī)床的特性參數(shù)：固有頻率wn，剛度系數(shù)k，阻尼比ξ，銑削特性ks。

切削穩(wěn)定性分析預(yù)測(cè)目的是提高材料去除率和獲得高的加工質(zhì)量。切削過程越穩(wěn)定，表面質(zhì)量一般越好，在穩(wěn)定銑削的前提下，材料去除率越高越好，即轉(zhuǎn)速n=1 000v/πd0與對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定切削軸向深度極限值aplim的乘積越大越好。用不同加工過程中的最大主軸轉(zhuǎn)速附近區(qū)域是否處在穩(wěn)定區(qū)以及穩(wěn)定區(qū)域最大即St的大小來評(píng)價(jià)機(jī)床切削過程的穩(wěn)定性[31]。

式（11）至式（17）中，參數(shù)含義見文獻(xiàn)[28，31-32]及手冊(cè)[33]。相關(guān)參數(shù)可以通過實(shí)驗(yàn)、手冊(cè)及生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)獲得。

m=0.15，pv=0.1，uv=0.5，yv=0.4，xv=0.1,qv=0.2，Cv=25Kv=1.0

CF=30,xF=1.0,yF=0.65,uF=0.83,wF=0,qF=0.83,

kFc=0.4，d0=315 mm，Z=10，Ct=3 000元，tot=2 min，tct=2 min，Hc=5 元/min，D=349.98，μ=0.423，

wn=447，k=1.1×108，ξ=0.027，ks=2331 N/mm2，L=273 mm

在粒子群和遺傳相互學(xué)習(xí)算法中，每一個(gè)進(jìn)化個(gè)體z=(v，fz，ap) 的 搜 索 范 圍：160 m/min ≤v≤300 m/min，0.1 mm/z≤fz≤0.28 mm/z，0 ＜ap≤4 mm。IPGA 中 的參數(shù) 設(shè) 置：N=20，j=100，0.9 ≥w≥0.4，2.5 ≥c1≥1.0，1.5 ≤c2≤2.75，p=0.5，q=0.25，C=5。

根據(jù)優(yōu)化模型中的需要，本實(shí)例中采用個(gè)體粒子與最優(yōu)粒子之間的間距作為目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)：

式（21）中，tw0、Cp0、Ra0、St0分別表示加工工時(shí)、加工成本、表面質(zhì)量、加工穩(wěn)定性各自最優(yōu)時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值。w1、w2、w3、w4 表示每一目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重值。優(yōu)化結(jié)果見表6，表中單目標(biāo)優(yōu)化是只考慮單個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)的優(yōu)化結(jié)果，多目標(biāo)優(yōu)化是同時(shí)考慮每一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的結(jié)果，散熱基板表面要有很高的加工質(zhì)量，所以表面粗糙度和加工穩(wěn)定性在多目標(biāo)優(yōu)化中應(yīng)占有相當(dāng)重的權(quán)重，表6 中只列出一種符合散熱基板加工的組合優(yōu)化結(jié)果。

表6 IPGA 算法求解銑削工藝參數(shù)優(yōu)化模型的結(jié)果

5 結(jié)語

本文從不同方面來闡述IPGA 算法的計(jì)算精度、執(zhí)行能力和效率。實(shí)驗(yàn)證明，在IPGA 中通過引入遺傳算子，并通過交叉搜索交互學(xué)習(xí)的方法使粒子盡快搜索到最優(yōu)解的思路是正確的，該算法在克服粒子群算法易陷入局部最優(yōu)和遺傳算法收斂精度不高的缺點(diǎn)方面有明顯優(yōu)越性。比較適用于簡(jiǎn)單問題的精度求解和復(fù)雜問題的普遍適用能力方面具有優(yōu)勢(shì)。在工程應(yīng)用中，一般并不知道問題的復(fù)雜度，而采用IPGA 這樣在適用性較強(qiáng)的算法，求解工程問題是有優(yōu)勢(shì)的，通過實(shí)例也證明了算法在散熱基板銑削工藝參數(shù)優(yōu)化中的成功應(yīng)用。

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