張立琛 王英民 郭 拓

（西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院 西安 710072）

0 引 言

電磁場在半空間或分層媒質(zhì)中是如何輻射和傳播的，一直受到人們極大的關(guān)注，這是因?yàn)樗趯?shí)際工程領(lǐng)域甚至軍事應(yīng)用方面有著重要的意義和廣泛的前景.水下通信［1－3］、地球物理勘探［4］、潛艇探測和通信［5］等領(lǐng)域都會(huì)遇到類似的問題.對于實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)學(xué)模型的建立，何種形式的偶極子模型更加接近實(shí)際情況，一直是研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)［6］.

海底通信在人類活動(dòng)中早已存在，很多情況下人們利用環(huán)天線進(jìn)行海水中的通信聯(lián)絡(luò)，因此研究海水中環(huán)天線的輻射電磁場是非常重要的.Moore［7］在假定海水是無限深的情況下討論了2層導(dǎo)電媒質(zhì)（空氣、海水）中環(huán)天線的輻射問題，這在海水較深或電磁波頻率較高時(shí)是適宜的.盧新城［8］推導(dǎo)出極低頻時(shí)諧水平電偶極子在海水中（2層導(dǎo)電媒質(zhì)）所產(chǎn)生電磁場的近似解析表達(dá)式，這在海水較深情況下（不用考慮海底影響）較為適宜.當(dāng)研究淺海環(huán)境中極低頻偶極子天線的輻射問題時(shí)，需要考慮海底的影響，這時(shí)偶極子天線位于3層導(dǎo)電媒質(zhì)（空氣、海水、海底）中.最早是由Arutaki［9］推導(dǎo)出了3層導(dǎo)電媒質(zhì)中環(huán)天線在海水中的遠(yuǎn)區(qū)場強(qiáng)公式，該方法涉及到數(shù)次積分變換和積分路徑的變換，而且積分的最速下降路徑越過了支割線，必須計(jì)算支點(diǎn)對總場的貢獻(xiàn)，公式推導(dǎo)繁雜、冗長.龍?jiān)屏粒?0］在 Chew［11］的基礎(chǔ)上用一種新的遠(yuǎn)場近似方法得到了垂直磁偶極子在海水和空氣中的電磁場表達(dá)式，但其研究是基于無窮遠(yuǎn)的條件下，對于極低頻電磁波，由于其波長很大，在無窮遠(yuǎn)情況下電磁波信號很難被接收到，同時(shí)其認(rèn)為海底反射影響很小，直接忽略海底部分，對于靠近海面情況下，可以近似忽略，對于淺海環(huán)境中，當(dāng)靠近海底情況時(shí)，海底影響不能被忽略.

鏡像法是根據(jù)惟一性原理求解某些具有導(dǎo)體邊界的電磁場邊值問題的一種經(jīng)典方法［12］.本文將其用于3層導(dǎo)電媒質(zhì)中，對空氣－海水－海床3層媒質(zhì)組成的環(huán)境下海水中的極低頻垂直磁偶極子在海水中產(chǎn)生的電磁場進(jìn)行了推導(dǎo)，由此得到海水中極低頻電磁場分布的解析表達(dá)式，該方法推導(dǎo)得到的解析表達(dá)式能夠清晰的表達(dá)出電磁波在海水中的傳播路徑，通過仿真計(jì)算和分析，表明遠(yuǎn)場情況下，海面和海底之間的多次反射波對總場場強(qiáng)的貢獻(xiàn)很小，可忽略不計(jì)；對總場場強(qiáng)起主要作用的傳播路徑為：從場源發(fā)出以最小距離到達(dá)最近分界面經(jīng)一次反射直接到達(dá)接收點(diǎn).

1 三層媒質(zhì)模型

所研究問題的物理模型見圖1.

圖1 3層媒質(zhì)中的垂直磁偶極子

全空間被z＝0和z＝D2個(gè)平面分成3個(gè)部分，其中z＝0為空氣和海水分界面；z＝D為海底平面.分成的3個(gè)區(qū)域分別為：1－空氣；2－海水；3－海床，對應(yīng)媒質(zhì)的電容率、磁導(dǎo)率及電導(dǎo)率分別為（εi，μi，σi），i＝1，2，3.建立直角坐標(biāo)系，以垂直于海平面向下為z軸正向，可設(shè)磁偶極子Imdl位于（x0，y0，z0）處，0＜z0＜D，即磁偶極子源位于海水區(qū)域中，場點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z），0≤z≤D，則表示場點(diǎn)也位于海水區(qū)域中.垂直磁偶極子Imdl平行于z軸，圖1中所示為3層媒質(zhì)中的垂直磁偶極子，下文以垂直磁偶極子為例進(jìn)行推導(dǎo).

2 三層模型中鏡像法的應(yīng)用

推導(dǎo)偶極子模型產(chǎn)生的電磁場公式，既可以通過矢量位方法求得，也可以用傅里葉變換方法推導(dǎo)，也可以通過波動(dòng)方程方法求得.但是，用矢量位方法求電磁場，物理意義更明顯，公式推導(dǎo)更方便.所以，越來越多的學(xué)者采用該方法推導(dǎo)電磁場解析表達(dá)式，本文也采用該方法推導(dǎo)垂直磁偶極子在3層媒質(zhì)中的電磁場的解析表達(dá)式.

2.1 2層媒質(zhì)（空氣、海水）

如圖2所示，只考慮存在空氣、海水2層媒質(zhì)，由于垂直磁偶極子源位于區(qū)域2（海水媒質(zhì)中）內(nèi)，因此，垂直矢量電位滿足非齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程［13］，即

若場點(diǎn)位于海水中，即z≥0，則由鏡像法可設(shè)像I′mdl位于（x0，y0，－z0），全空間視為充滿海水，式即為源和像共同在場點(diǎn)產(chǎn)生的矢量電位.第二項(xiàng)是非齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程的特解，代表電磁場源發(fā)射的球面波，即為源在場點(diǎn)產(chǎn)生的矢量電位；第一項(xiàng)是齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程的通解，可用分離變量法求出，即為像在場點(diǎn)產(chǎn)生的矢量電位.由于垂直偶極子的旋轉(zhuǎn)對稱性，通解與方位角無關(guān).通解實(shí)際上代表的是邊界的反射波，它表示為無窮多不均勻平面波的合成.在區(qū)域1內(nèi)，不存在任何場源，所以垂直矢量電位滿足齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程，即

把式（2），（4）代入式（5）得到區(qū)域2內(nèi)源和像共同在場點(diǎn)產(chǎn)生的矢量電位的表達(dá)式為

式中：M＝γ1＋γ2；P＝（γ1－γ2）／M.第一項(xiàng)是場源（垂直磁偶極子）產(chǎn)生的矢量電位，第二項(xiàng)是像（即界面反射）產(chǎn)生的矢量電位.－P可以看作是界面（空氣－海水）對不均勻平面波譜的反射系數(shù).

圖2 鏡像法求2層媒質(zhì)（空氣－海水）時(shí)海水中的場

2.2 三層媒質(zhì)（海水、海床）

只考慮存在海水、海床2層媒質(zhì)，同理，2.1中的分析可知，區(qū)域2內(nèi)源和像共同在場點(diǎn)產(chǎn)生的矢量電位的表達(dá)式為

式中：N＝γ2＋γ3；Q＝（γ3－γ2）／N.第一項(xiàng)是場源（垂直磁偶極子）產(chǎn)生的矢量電位，第二項(xiàng)是界面反射引起的矢量電位.－Q可以看作是界面（海水－海底）對不均勻平面波譜的反射系數(shù).

2.3 三層媒質(zhì)（空氣、海水、海床）

當(dāng)存在2個(gè)平行分界面時(shí)，磁偶極子在2個(gè)界面之間不斷“鏡像”，因此在圖1所示的海水模型中，位于海水中一個(gè)垂直磁偶極子在海水中的場點(diǎn)處產(chǎn)生的場可以用圖3所示的無窮多個(gè)鏡像垂直磁偶極子在無限大的海水空間分別產(chǎn)生的場的疊加來替代.

通過上面分析可知，P和Q分別是2個(gè)分界面的反射系數(shù)，那么對于圖中場源和所有鏡像源，相對應(yīng)的矢量電位表達(dá)式為

1）場源，位置 （x0，y0，z0）；傳播路徑：場源直接到場點(diǎn)；矢量電位表達(dá)式：e－jγ2｜z－z0｜.

2）鏡像1，位置 （x0，y0，－z0）；傳播路徑：從場源經(jīng)z＝0界面反射后到達(dá)場點(diǎn)；矢量電位表達(dá)式：－.

3）鏡像2，位置 （x0，y0，2D－z0）；傳播路徑：從場源經(jīng)z＝D界面反射后到達(dá)場點(diǎn)；矢量電位表達(dá)式：－.

4）鏡像3，位置 （x0，y0，－2D＋z0）；傳播路徑：從場源先經(jīng)z＝D界面反射，再經(jīng)z＝0界面反射后到達(dá)場點(diǎn)； 矢量電位表達(dá)式：.

5）鏡像4，位置 （x0，y0，2D＋z0）；傳播路徑：從場源先經(jīng)z＝0界面反射，再經(jīng)z＝D界面反射后到達(dá)場點(diǎn)；矢量電位表達(dá)式：.

6）鏡像5，位置 （x0，y0，－2D－z0）；傳播路徑：從場源先經(jīng)z＝0界面反射，再經(jīng)z＝D界面反射，再經(jīng)z＝0界面反射后到達(dá)場點(diǎn)；矢量電位表達(dá)式：－.

上面只是給出了場源和5個(gè)鏡像的具體分析，通過觀察規(guī)律，對比分析，可將磁偶極子及其所有的鏡像劃分為以下4類.

1）位置 （x0，y0，－2mD＋z0） 矢量電位表達(dá)式：（PQ

2）位置 （x0，y0，－2mD－z0） 矢量電位表達(dá)式：（－P）m＋1（－Q

圖3 3層媒質(zhì)時(shí)的垂直磁偶極子的鏡像

3）位置 （x0，y0，2nD ＋z0） 矢量電位表達(dá)式：

4）位置 （x0，y0，2nD －z0） 矢量電位表達(dá)式：（

式中：m ＝0，1，2，…；n＝1，2，… .

因此，3層媒質(zhì)中，區(qū)域2內(nèi)的垂直矢量電位的表達(dá)式為

3 仿真實(shí)驗(yàn)

由于各個(gè)分量有其明確的物理意義，即分別代表不同的傳播路徑，因此可以通過仿真分析各個(gè)傳播路徑對總場強(qiáng)度的影響.本文對式（11）～（13）中的積分采用高斯勒讓德數(shù)值積分的方法來求解，在不追求算法速度的條件下，該方法計(jì)算過程簡單且結(jié)果足夠精確.

仿真條件：垂直磁偶極子的磁偶極矩Imdl＝10A·m2，頻率為3Hz，海水的深度為a，場源深度為d1，接收點(diǎn)深度為z，垂直磁偶極子在水下姿態(tài)如圖1所示.空氣電導(dǎo)率σ1＝0，海水電導(dǎo)率σ2＝4Ω／m，海底電導(dǎo)率σ3＝4×10－2Ω／m，空氣介電常數(shù)ε1＝8.85×10－12F／m，海水介電常數(shù)ε2＝81ε1，海底介電常數(shù)ε2＝8ε1，各層媒質(zhì)的磁導(dǎo)率均為真空磁導(dǎo)率.數(shù)值計(jì)算結(jié)果見圖4～7.

圖4 3個(gè)總場隨水平距離變化

圖4 是場源深度200m、接收點(diǎn)深度10m、海水深度500m時(shí)對電磁場（垂直磁偶極子）3個(gè)總場的場強(qiáng)強(qiáng)度對比，顯而易見，3個(gè)總場的場強(qiáng)衰減趨勢大體一致，近距離時(shí)衰減很快，隨著距離的增加，衰減速度慢慢變緩，當(dāng)水平距離為2 000m時(shí)，Eφ分量的電場強(qiáng)度為－122dBmV／m，Hρ分量和Hz分量的磁場強(qiáng)度一樣，都為－69.83 dBmA／m.

由于3個(gè)總場的規(guī)律相似，鑒于篇幅限制，這里僅以Eφ電場分析對比，給出變化規(guī)律.下面幾幅仿真圖驗(yàn)證不同傳播路徑對總長場強(qiáng)的影響.在圖中海面即為電磁波經(jīng)過z＝0分界面（空氣－海水）反射，海底即為電磁波經(jīng)過z＝D分界面（海水－海床）反射，括號里面的數(shù)值代表經(jīng)過幾次反射.例如鏡像5的傳播路徑為從場源先經(jīng)z＝0界面反射，再經(jīng)z＝D界面反射，再經(jīng)z＝0界面反射后到達(dá)場點(diǎn)，其表達(dá)形式為海面（2）、海底（1）.

圖5是場源深度200m、接收點(diǎn)深度10m、海水深度500m時(shí)對電場Eφ分量的多次反射傳播路徑的仿真對比.從圖中可以看出，同一種顏色表達(dá)的兩種傳播路徑的差別在于相差一次海面反射和海底反射，對比可知，在遠(yuǎn)場情況下，增加一次海面海底之間反射，到達(dá)接收點(diǎn)的場強(qiáng)相比要小很多.其原因是由于電磁波在導(dǎo)電的海水中傳播時(shí)激起了傳導(dǎo)電流，致使電磁波的部分能量轉(zhuǎn)化為熱能被海水吸收，從而使得傳播途中出現(xiàn)能量衰減，且傳播越遠(yuǎn)，衰減越大，頻率越高，衰減越快，界面間一次反射已經(jīng)很小，對場強(qiáng)貢獻(xiàn)可忽略不計(jì)，因此，多次反射的傳播路徑會(huì)更小，可忽略不計(jì).下面幾幅圖將分析場源和場點(diǎn)位置不同時(shí)，不同傳播路徑對總場場強(qiáng)的貢獻(xiàn).

圖5 多次反射對Eφ場場強(qiáng)的貢獻(xiàn)

圖6 和圖7是海深500m時(shí)場源和接收點(diǎn)分別靠近海面（場源深度20m、接收點(diǎn)深度5m）和靠近海底（場源深度480m、接收點(diǎn)深度495m）時(shí)不同傳播路徑對E（場場強(qiáng)的貢獻(xiàn).由前面仿真分析已知，海面海底間多次反射對于總場場強(qiáng)貢獻(xiàn)可忽略不計(jì)，因此，這里仿真直接忽略了海面海底之間的相互作用（海面海底之間反射次數(shù)大于1），直接給出只經(jīng)海面或海底1次反射的傳播路徑.可以看出，在遠(yuǎn)場情況下，離海面近時(shí)，經(jīng)海面反射直接到達(dá)接收點(diǎn)的傳播路徑的場強(qiáng)曲線與總場場強(qiáng)曲線重合，其他幾條傳播路徑對總場場強(qiáng)貢獻(xiàn)可忽略不計(jì)；離海底近時(shí)，經(jīng)海底反射直接到達(dá)接收點(diǎn)的傳播路徑的場強(qiáng)曲線與總場場強(qiáng)曲線重合，其他幾條傳播路徑貢獻(xiàn)可忽略不計(jì).

圖6 場源和場點(diǎn)靠近海面時(shí)不同傳播路徑對Eφ場場強(qiáng)的貢獻(xiàn)

圖7 場源和場點(diǎn)靠近海底時(shí)不同傳播路徑對Eφ場場強(qiáng)的貢獻(xiàn)

上述仿真結(jié)果表明，在遠(yuǎn)場情況下，對總場場強(qiáng)起主要作用的傳播路徑為：從場源發(fā)出以最小距離到達(dá)最近分界面經(jīng)一次反射直接到達(dá)接收點(diǎn).

4 結(jié) 論

本文利用鏡像法，在空氣－海水－海床三層模型下，在電磁場惟一性原理的基礎(chǔ)上，通過矢量電位方法推導(dǎo)了垂直磁偶極子在海水中產(chǎn)生的電磁場的解析表達(dá)式.通過該方法推導(dǎo)出的電磁波表達(dá)式各個(gè)分量有明確的物理意義，且推導(dǎo)過程更加簡單.通過對各個(gè)分量仿真的結(jié)果可以得出以下幾個(gè)結(jié)論.

1）通過該方法推導(dǎo)得到的電磁波表達(dá)式能夠清晰的表達(dá)電磁波在海水中的各個(gè)傳播路徑，這樣，可以分別對每個(gè)傳播路徑進(jìn)行仿真，分析其對總場場強(qiáng)的影響；

2）在遠(yuǎn)場情況下，由于電磁波在導(dǎo)電的海水中傳播時(shí)激起了傳導(dǎo)電流，致使電磁波的部分能量轉(zhuǎn)化為熱能被海水吸收，因此，海面和海底之間的多次反射波對總場場強(qiáng)的貢獻(xiàn)可忽略不計(jì)；

3）在遠(yuǎn)場情況下，對總場場強(qiáng)起主要作用的傳播路徑為：從場源發(fā)出以最小距離到達(dá)最近分界面經(jīng)一次反射直接到達(dá)接收點(diǎn).

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