王正元

（中國(guó)石油天然氣股份有限公司，北京 100007）

等值幻方砌塊型完美幻方的構(gòu)造

王正元

（中國(guó)石油天然氣股份有限公司，北京 100007）

證明了當(dāng)使用等值幻方砌塊時(shí)，若砌塊編號(hào)構(gòu)成等泛對(duì)角線和的方陣，則所構(gòu)成的幻方為完美幻方，并給出了構(gòu)造等值幻方砌塊模板的簡(jiǎn)便方法.

等值幻方;完美幻方

等值幻方砌塊型完美幻方是一類特殊的完美幻方，其中每一個(gè)砌塊都是一個(gè)低階的完美幻方，而且它們的幻和也全都相同.文[1-5]報(bào)道了這類完美幻方的構(gòu)造方法：砌塊的階數(shù)為4階，具有統(tǒng)一的計(jì)算公式；依次取j=1，2，…，k2(k∈N )計(jì)算出編號(hào)為j的砌塊，并將它們按照1～k2的自然方陣的順序排列起來(lái)，就可得到4k階完美幻方.

等值幻方砌塊的計(jì)算公式稱為砌塊模板.文[1-5]共報(bào)道了4個(gè)砌塊模板，圖1即是其中的一個(gè)[1].

圖1 等值幻方砌塊模板示例Fig.1Example of equivalent magic square block template

仔細(xì)研究這4個(gè)砌塊模板，可以發(fā)現(xiàn)，砌塊模板有如下特點(diǎn)：（1）當(dāng)j依次歷遍1～k2時(shí)，所有砌塊所包含的數(shù)恰好歷遍1～m2k2（m為砌塊的階數(shù).對(duì)文[1-5]，m= 4）；（2）每一個(gè)砌塊都是幻和相等的完美幻方（對(duì)于文[1]～[5]所涉及的4階等值砌塊，這個(gè)幻和為32k2+ 2）；（3）每一個(gè)數(shù)的計(jì)算公式都是編號(hào)j的一次函數(shù).（1）和（2）是對(duì)砌塊模板的基本要求，也可視為其定義.而本文將基于對(duì)第（3）個(gè)特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，得出新的結(jié)論，并將砌塊模板推廣到任意4t階.

1 關(guān)于構(gòu)造法

基于砌塊模板中每一個(gè)數(shù)的計(jì)算公式均為j的一次函數(shù)這一前提，本文將證明如下結(jié)論：

定理 若存在m階等值幻方砌塊模板，則當(dāng)砌塊編號(hào)構(gòu)成k×k的等泛對(duì)角線和的方陣時(shí)，所構(gòu)成的幻方為mk階完美幻方.

證明 記m階等值幻方砌塊為

并稱砌塊編號(hào)構(gòu)成的k×k方陣為幻方的安裝模板.

因?yàn)橛?jì)算公式fxy為j的一次函數(shù)，當(dāng)k取定時(shí)，可寫作

由于砌塊為等值幻方，每一個(gè)砌塊的行列和均相等，記為σ，則顯然mk階數(shù)字方陣的行列和均等于kσ.

考察mk階數(shù)字方陣的泛對(duì)角線.由等值幻方砌塊的定義易知，那些由砌塊的主、副對(duì)角線連接而成的泛對(duì)角線上數(shù)字之和也都等于kσ.其他的泛對(duì)角線穿越2k個(gè)砌塊，砌塊編號(hào)形成安裝模板兩條平行且相鄰的泛對(duì)角線.設(shè)安裝模板一條泛對(duì)角線的編號(hào)為j1，j2，…，jk，另一條泛對(duì)角線的編號(hào)為易知，對(duì)所有的jr，mk階數(shù)字方陣的泛對(duì)角線所穿過(guò)的fxy，其位置xy均對(duì)應(yīng)相同.對(duì)編號(hào)為的砌塊有同樣的結(jié)論.并且，砌塊中的 fx′y′正好與jr砌塊中的那些fxy構(gòu)成m階方陣中的一條泛對(duì)角線.舉個(gè)例來(lái)說(shuō)，若該泛對(duì)角線穿過(guò)j1的f21，f32，…，fm，m-1，則它也穿過(guò)j2，…，jk這些砌塊中的j21，j32，…，fm，m-1.而在所有砌塊中，它則穿過(guò)f1m.而f21，f32，…，fm，m-1和f1m構(gòu)成了m階等值幻方砌塊的一條完整的泛對(duì)角線.

對(duì)任意指定的xy，

mk階數(shù)字方陣整條泛對(duì)角線的數(shù)字之和為：

又由于m階砌塊由等值幻方砌塊模板得來(lái)，根據(jù)對(duì)砌塊模板的要求，它本身應(yīng)滿足“當(dāng)j依次歷遍1～k2時(shí)，所有砌塊所包含的數(shù)恰好歷遍1～m2k2”這一要求，故知mk階數(shù)字方陣為完美幻方.證畢.

自然方陣是等泛對(duì)角線和的，完美幻方也是等泛對(duì)角線和的，故而都可以作為安裝模板.特別的，對(duì)于圖2的安裝模板，它雖然既不是自然方陣，也不是完美幻方，但也是等泛對(duì)角線和的，采用圖1的砌塊模板，同樣可以成功構(gòu)造完美幻方.如令k=4，即可得圖3的16階完美幻方.

圖2 安裝模板Fig.2Assembly template

圖3 16階等值幻方砌塊型完美幻方Fig.3 16-order perfect magic square constructed by using equivalent magic square blocks

2 4k階砌塊模板的構(gòu)造

在上面的定理中，首先假設(shè)了m階等值幻方砌塊模板存在，而我們確知，當(dāng)m=4時(shí)，這樣的砌塊模板確實(shí)是存在的.對(duì)于任意的m=4t，可以用下面的方法構(gòu)造出滿足要求的砌塊模板.

砌塊模板構(gòu)造法：任取一個(gè)4t階完美幻方（稱其為砌塊模板的“源幻方”），將其中的各數(shù)分別標(biāo)記以A、B，要求任意行、任意列和任意一條泛對(duì)角線上，均各有2t個(gè)A和2t個(gè)B.

若源幻方中標(biāo)記為A的數(shù)為a，則將其置換為（a-1）*k2+j；

若源幻方中標(biāo)記為B的數(shù)為b，則將其置換為b*k2-j+1.

經(jīng)過(guò)這樣的置換后，得到的就是4t階等值幻方砌塊模板.

證明 記4t階源幻方的幻和為σ.由構(gòu)造法易知，經(jīng)置換后，所得4t階方陣任意行、任意列和任意一條泛對(duì)角線各項(xiàng)之和均為（σ-2t）*k2+2t，因此4t階方陣具有完美幻方的性質(zhì)，且是等值的，與編號(hào)j無(wú)關(guān).

顯然，計(jì)算公式的所有得數(shù)均大于0.但還需要證明當(dāng)j遍歷1～k2時(shí)，由砌塊模板計(jì)算出的所有數(shù)恰好遍歷1～m2k2.

首先，在同一個(gè)編號(hào)為j的砌塊內(nèi)，其各數(shù)均不相同.這是因?yàn)槿我鈽?biāo)記為A的兩數(shù)a1，a2，其得數(shù)之差為（a1-a2）*k2≠0；任意標(biāo)記為B的兩數(shù)b1，b2，其得數(shù)之差為（b1-b2）*k2≠0.而對(duì)于任意的a1和b1，其得數(shù)之差為（a1-b1-1）*k2+2j-1.由于1≤j≤k2，所以1≤2j-1≤2k2-1.而若a1>b1，則有

若a1

這表明，總有（a1-b1-1）*k2+2j-1≠0.因此，在同一個(gè)編號(hào)為j的砌塊內(nèi)，其各數(shù)均不相同.

其次，對(duì)于編號(hào)j1，j2兩個(gè)不同的砌塊，相同位置上（無(wú)論被標(biāo)記為A或B）兩個(gè)得數(shù)之差的絕對(duì)值總是等于|j1-j2|.而不同位置上的兩數(shù)，若j1砌塊中標(biāo)記的為a1，j2砌塊中標(biāo)記的為a2，則得數(shù)之差為（a1-a2）*k2+j1-j2；若j1砌塊中標(biāo)記的為b1，j2砌塊中標(biāo)記的為b2，則得數(shù)之差為（b1-b2）*k2+j2-j1；若j1砌塊中標(biāo)記的為a1，j2砌塊中標(biāo)記的為b2，則得數(shù)之差為（a1-b2-1）*k2+（j1+j2）-1.注意到1-k2≤j1-j2≤k2-1，1

又，源幻方中的1若被標(biāo)記為A，即a=1，則當(dāng)j=1時(shí)取得最小數(shù)為1；若被標(biāo)記為B，即b=1，則當(dāng)j=k2時(shí)取得最小數(shù)為1.總之，得數(shù)1總是可以得到的，且為所有數(shù)中的最小數(shù).

另一方面，源幻方中的m2若被標(biāo)記為A，即a=m2，則當(dāng)j=k2時(shí)取得最大數(shù)為m2k2；若被標(biāo)記為B，即b=m2，則當(dāng)j=1時(shí)取得最大數(shù)為m2k2.總之，得數(shù)m2k2總是可以得到的，且易知其為所有數(shù)中的最大數(shù).

綜合上述，則知當(dāng)j遍歷1～k2時(shí)，由砌塊模板計(jì)算出的所有數(shù)恰好遍歷1～m2k2.因此，按本文給出的構(gòu)造方法所得到的m=4t階方陣滿足對(duì)等值幻方砌塊模板的要求，確為所求的砌塊模板.證畢.

以一個(gè)8階完美幻方為例.可將它標(biāo)記如圖4，而圖5即是由圖4得到的8階等值幻方砌塊模板.同樣用圖2的安裝模板，令k=4，則可得圖6的32階完美幻方.經(jīng)驗(yàn)證，它的每一個(gè)砌塊均是幻和為4100的等值幻方砌塊.

圖4 8階完美幻方及其AB分布Fig.4 An 8-orderperfect magic square andits AB pattern

圖5 由圖4導(dǎo)出的8階等值幻方砌塊模板Fig.5 An 8-order equivalent magic square block template derived fromFig.4

如果改變圖4中8階源幻方的分布，如圖7，可立即得到另一個(gè)不同的8階等值幻方砌塊模板（見(jiàn)圖8）.由于m=4t階完美幻方的這種分布模式有很多，因此任意4t階等值幻方砌塊模板都可以被批量地制造出來(lái).

需要說(shuō)明的是，文[1-5]的4個(gè)砌塊模板中，只有文[2]的砌塊模板可用本文的方法直接導(dǎo)出，包括本文圖1在內(nèi)的其他幾個(gè)砌塊模板另有其構(gòu)造方法.本文只是提供了一種簡(jiǎn)便的構(gòu)造，至于能囊括文[1-5]的4個(gè)砌塊模板的更一般的方法，作者將另文專論.

圖6 由圖5得出的32階完美幻方（k=4;安裝模板采用圖2）Fig.6 32-order perfect magic square derived from Fig.5（k=4;assembly template as Fig.2）

圖7 圖4中8階完美幻方的另一種AB分布Fig.7 Another AB pattern of the 8-order perfect magic square in Fig.4

圖8 由圖7導(dǎo)出的8階等值幻方砌塊模板Fig.8 An 8-order equivalent magic square block template derived from Fig.7

[1]李立.用第4類4階等值全對(duì)稱幻方砌塊構(gòu)成的4n階全對(duì)稱幻方[J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào),1985,16(4):501-506.

[2]李立.用第1類4階等值全對(duì)稱幻方砌塊構(gòu)成的4n階全對(duì)稱幻方[J].數(shù)學(xué)季刊,1987,2(3):76-81.

[3]李立.用第2類4階等值全對(duì)稱幻方砌塊構(gòu)成的4n階全對(duì)稱幻方[J].北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào),1989,3(1):73-78.

[4]張世德,王際昭.數(shù)集構(gòu)成4n階泛對(duì)角線幻方的充分條件[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1990,3:70-73.

[5]姬春秋,孫愛(ài)國(guó).4n階全對(duì)稱幻方的一種構(gòu)造方法[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1998,2:6-7,3.

責(zé)任編輯：畢和平

On the Perfect Magic Squares Constructed by Using Equivalent Magic Square Blocks

WANG Zhengyuan
（Petro China Company Limited，Beijing100007，China）

In this paper,if the equivalent magic square blocks’sequence numbers construct a square with equivalent pandiagonal sum,a perfect magic square can be obtained,and proved.Furthermore,a convenient method for constructing the templates of equivalent magic square block was given.

equivalent magic square；perfect magic square

O 157.2

：A

：1674-4942（2015）01-0025-05

2014-11-11