黨宏濤，伊國興，李清華

（1.哈爾濱工業(yè)大學空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱150001；2.解放軍96117部隊，山東萊蕪 271100）

基于有向圖的航天器編隊飛行自適應姿態(tài)協(xié)同控制

黨宏濤1,2，伊國興1，李清華1

（1.哈爾濱工業(yè)大學空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱150001；2.解放軍96117部隊，山東萊蕪 271100）

在有向通信拓撲下研究了編隊航天器自適應姿態(tài)協(xié)同控制問題。針對航天器編隊飛行系統(tǒng)中存在外部擾動和模型不確定性的情況，通過選取包含相對姿態(tài)誤差和絕對姿態(tài)誤差的輔助變量，提出了一種魯棒自適應控制策略。提出了自適應律估計轉(zhuǎn)動慣量矩陣和擾動上界等未知參數(shù)，并且利用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。與滑?？刂频葌鹘y(tǒng)魯棒控制不同，所設計的魯棒自適應控制器是連續(xù)的，更便于航天器編隊飛行系統(tǒng)的實現(xiàn)。最后通過仿真驗證了該控制策略能夠?qū)崿F(xiàn)高精度的編隊飛行跟蹤控制。

編隊飛行；有向圖；協(xié)同控制；漸近穩(wěn)定；自適應律

0 引言

航天器編隊飛行指利用多個飛行中的航天器組成具有一定編隊構形的系統(tǒng)，各顆航天器之間通過星間通信相互聯(lián)系、進行協(xié)同工作。和傳統(tǒng)單顆航天器相比，它具有靈活性強、可靠性高、成本低等優(yōu)點，同時能完成更復雜的空間任務。進行有效的姿態(tài)協(xié)同控制是實現(xiàn)高精度的航天器編隊飛行任務的基本條件之一[1-5]，因此需要對各顆編隊航天器設計姿態(tài)協(xié)同控制策略。

Lawton等[6]研究了分布式深空干涉儀的姿態(tài)協(xié)同控制問題，基于一致性算法和行為控制的思想，在航天器跟蹤定常的外部信號進行姿態(tài)機動時，保證航天器成員的相對姿態(tài)的一致性。隨后在文獻[7]中，Lawton等進一步提出了基于系統(tǒng)無源性的姿態(tài)協(xié)同控制方法，在通信拓撲為無向環(huán)形圖的情況下證明了系統(tǒng)的局部漸近穩(wěn)定性。針對期望角速度等外部信號為時變的情形，VanDyke等[1]提出了含有絕對姿態(tài)跟蹤和相對姿態(tài)保持的分布式協(xié)同控制器，利用Barbalat引理證明了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，且航天器通信拓撲只需要為無向圖。Ren等[2,5]利用一致性算法的思想，對期望的外界姿態(tài)跟蹤參考信號全局已知、僅部分航天器已知期望參考信號的情況，分別設計了航天器姿態(tài)協(xié)同控制算法。值得指出的是，文獻[2,5]將通信拓撲從無向圖推廣到了有向圖的情況。Wu等[8]采用滑?？刂圃O計方法，在參數(shù)不確定性和外界干擾的情況下，設計了基于有向圖的姿態(tài)同步跟蹤控制算法。但是文獻[8]中的控制器需要相鄰航天器的控制力矩信息，只能適用于特殊的通信拓撲結構。張海博等[9]同樣在參數(shù)不確定性和外界干擾的情況下，基于有向圖設計了魯棒自適應姿態(tài)協(xié)同控制，但是控制器中含有符號函數(shù)，可能導致“抖振”現(xiàn)象。

但是文獻[1-7]并沒有同時考慮有向通信拓撲、外界擾動和內(nèi)部的參數(shù)不確定性。文獻[8-9]雖然考慮了有向通信拓撲、外界擾動和內(nèi)部的參數(shù)不確定性，但是對于航天器執(zhí)行機構為飛輪或控制力矩陀螺等連續(xù)輸入的情況，所設計的滑?？刂齐y以直接應用于航天器編隊飛行系統(tǒng)中。針對以上不足，本文給出了連續(xù)的分布式自適應魯棒姿態(tài)協(xié)同控制策略，同時控制器對于未知外界擾動和內(nèi)部的參數(shù)不確定性具有魯棒性。特別地，和傳統(tǒng)的非連續(xù)控制策略如滑?？刂芠8-9]相比，本文提出的連續(xù)魯棒姿態(tài)協(xié)同控制器具有更好的工程應用性。

針對航天器編隊飛行系統(tǒng)，本文提出了有向通信拓撲結構下的魯棒自適應姿態(tài)協(xié)同控制策略?？紤]到外部擾動和航天器轉(zhuǎn)動慣量不確定性的情況，利用自適應控制理論設計了自適應律，估計外部擾動的上界和航天器轉(zhuǎn)動慣量，提出了一種魯棒自適應控制器，并且分析了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。最后數(shù)值仿真驗證了所提出的魯棒自適應控制器的有效性。

1 基礎理論

1.1 編隊航天器姿態(tài)協(xié)同控制模型

本文考慮n個航天器的姿態(tài)協(xié)同控制問題，采用MRPs描述的編隊航天器i的姿態(tài)動力學和運動學方程為[9]：

其中，Ji∈R3×3表示第i個航天器的轉(zhuǎn)動慣量矩陣；ωi∈R3為體坐標系下的角速度；τi∈R3和di∈R3分別表示控制力矩和擾動力矩。σi∈R3表示航天器相對慣性坐標系的姿態(tài)在本體系下的投影。對于任意的向量ξ=[ξ1ξ2ξ3]T，ξ×表示由ξ生成的如下反對稱矩陣：

且G(σi)滿足以下性質(zhì)：

設期望的角速度為ωd∈R3，期望的姿態(tài)定義姿態(tài)誤差和角速度誤差分別為：

其中

為姿態(tài)變換的旋轉(zhuǎn)矩陣，本文中簡記為C。由式（1）、式（2）、式（7）和式（8）可得航天器姿態(tài)誤差模型為：

下面給出轉(zhuǎn)動慣量矩陣Ji和外界擾動di的假設：

假設1：航天器轉(zhuǎn)動慣量矩陣Ji為未知的正定矩陣，擾動力矩di是有界的滿足‖di‖∞≤，其中>0為未知常數(shù)。

本文的目的即為，設計控制器τi，使得當t→∞時，?→I3，→0。

1.2 代數(shù)圖論

本文主要利用有向圖描述航天器之間的信息交互。記有向圖為G=(υ,?,C)，它由節(jié)點集υ={υ1,υ2,…,υn}、邊集??υ×υ和加權鄰接矩陣C=[cij]∈Rn×n組成[2]。如果節(jié)點υi能直接獲取節(jié)點υj的信息，那么圖中就有一條邊從υi指向υj，記作(υi,υj)∈?。圖G的加權鄰接矩陣C中的元素定義為：當(υi,υj)∈?時，cij>0；否則，cij=0。一般假設節(jié)點與自身沒有連通性，即cii=0。圖的路徑為一個有限的節(jié)點序列υ1,…,υk，對于任意的1≤i≤k-1，滿足(υi,υi+1)∈?。如果有向圖中除了一個根節(jié)點外，其余每個節(jié)點有且僅有一個父節(jié)點，且存在根節(jié)點到其他任何節(jié)點的路徑，則稱此有向圖為有向樹。有向圖的有向生成樹指包含此有向圖的所有節(jié)點的有向樹。如果有向圖存在一個為有向生成樹的子圖，則稱其具有有向生成樹。對于航天器的信息交互，有如下假設：

假設2：航天器之間的通信拓撲圖G具有一個有向生成樹。

定義有向圖G的Laplacian矩陣為

引理1[10]：如果有向圖G具有有向生成樹，則L由且僅有一個特征值為零，并且其余特征值位于虛軸的右半平面。

2 控制器設計

在本節(jié)中，假設編隊中的航天器均能夠獲得期望角速度和角加速度信息，且期望的角速度ωd和角加速度ω.d是有界的?？刂颇繕藶樵诤教炱鞔嬖谵D(zhuǎn)動慣量不確定性和外界干擾的情況下，設計魯棒自適應姿態(tài)協(xié)同跟蹤控制器，使得航天器的姿態(tài)達到協(xié)同，同時跟蹤期望的姿態(tài)和角速度。首先給出下面的假設和引理。

引理2[11]：對于任意的實數(shù)χ和非零實數(shù)y，下面不等式成立

其 中 α>0 ， 其 最 小 值 α*滿 足α*=χ*(1-tanhχ*)，χ*滿足方程e-2χ*+1-2χ*=0。

受文獻[12]啟發(fā)，定義輔助誤差變量為

其中常數(shù)ki>0，ei為航天器姿態(tài)協(xié)同誤差向量，定義為

其中常數(shù)bi>0。由式（10）和式（14），可得

記第i顆航天器的轉(zhuǎn)動慣量矩陣為

則第i顆航天器的自適應參數(shù)記為

對于向量y=[y1y2y3]T，定義線性算子T1:R3×1→R3×6和T2:R3×1→R3×6為：

定理1：考慮在控制器（20）～（23）作用下的航天器編隊姿態(tài)跟蹤誤差系統(tǒng)（10）～（11），如果假設1和假設2成立，則當 t→∞時，→0，→0(i=1,…,n)。

證：引理2中的不等式（13）可以寫為

對式（26）求導，并利用式（19）～式（23），可得

把控制器（20）代入式（27）可得，

由式（25）和式（28），可得

由于ki>0，因此V.≤0，從而V是有界的，并且 si,。由式（19）和式（20）可得，∈L∞，并且從式（29）可得 si∈L2，因此利用Barbalat引理[13]可得，當t→∞時，si→0。

由于本文假設航天器之間信息交互拓撲圖具有一個有向生成樹，因此由引理1可得，L有且僅有一個特征值為零，并且其余特征值位于虛軸的右半平面，并且rank(L)=n-1。由于每一個bi均大于0，因此rank(B+L)=n，且所有特征值均大于0，同時由α是正定矩陣，可得-α((L+B)?I3)是Hurwitz矩陣。注意到s∈L2?L∞，根據(jù)定理4.9.1[14]，將s視為系統(tǒng)輸入，?為系統(tǒng)狀態(tài)，則系統(tǒng)（32）是漸近穩(wěn)定的，因此可得當t→∞時，?→0。由于已經(jīng)證得 s→0，因此由式 （31） 可得，→0。由此可得，對于任意的i=1,…,n，當t→∞時，?→0和→0成立，即證得定理1。注1：由式（23）可知，單調(diào)遞減，為了避免過小使得控制器雙曲正切函數(shù)接近符號函數(shù)產(chǎn)生系統(tǒng)抖振，可以選取較小的γd，使得較小，因此下降較慢。同時可以看出所設計的控制器是連續(xù)的，能夠同時抑制擾動和模型參數(shù)不確定性。

注2：文獻[9]利用滑模控制的思想給出了航天器編隊魯棒自適應姿態(tài)協(xié)同控制策略，然而，為了抑制擾動和模型參數(shù)不確定性，控制器含有符號函數(shù)，使得系統(tǒng)可能發(fā)生“抖振”現(xiàn)象。雖然文獻[9]的注1提出了采用飽和函數(shù)或邊界層法減弱抖振，但是在這種情況下一般無法得到系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的結論，最多只能得到系統(tǒng)是最終一致有界穩(wěn)定的。而本文中提出了一種連續(xù)的魯棒自適應姿態(tài)協(xié)同控制策略，由于控制器不含有符號函數(shù)，能夠避免“抖振”現(xiàn)象。

3 數(shù)值仿真

為了驗證控制器（20）～（23）的有效性，下面考慮4顆航天器編隊的情況，并進行仿真驗證。設4顆航天器的轉(zhuǎn)動慣量矩陣分別為：

航天器的初始姿態(tài)和角速度分別為：

期望角速度和期望姿態(tài)的初始值設定為：

航天器受到的干擾力矩設為：

控制器（20）～（23）中參數(shù)選取為：

具體仿真結果如圖1～圖4所示。

編隊航天器姿態(tài)跟蹤誤差如圖1所示。從圖1中可以看出，4顆編隊航天器姿態(tài)跟蹤誤差均在10s左右收斂到零，能夠較快跟蹤到期望姿態(tài)，實現(xiàn)姿態(tài)的協(xié)同控制。圖2給出了編隊航天器的角速度跟蹤誤差，從圖2中可以看出，航天器角速度跟蹤誤差也能夠較快收斂到期望的角速度，說明所提出的控制其能夠?qū)崿F(xiàn)角速度的協(xié)同控制。

圖1 姿態(tài)跟蹤誤差Fig.1 The errors of attitude tracking

圖2 角速度跟蹤誤差Fig.2 The errors of angular velocity tracking

圖3 自適應參數(shù)和Fig.3 The adaptive parametersand

4 結論

針對航天器編隊飛行姿態(tài)協(xié)同控制問題，在有向通信拓撲的情況下提出了一種魯棒自適應控制策略，能夠克服外部干擾和內(nèi)部參數(shù)不確定性的影響。和傳統(tǒng)的滑?？刂频确沁B續(xù)魯棒控制不同的是，本文提出的控制器是連續(xù)的，更便于航天器編隊系統(tǒng)的實現(xiàn)。同時數(shù)值仿真驗證了文中給出的控制方法的有效性，各編隊航天器穩(wěn)態(tài)誤差較小，能夠滿足航天器編隊飛行控制精度要求。在提出的魯棒自適應控制器中，任意編隊航天器均需要獲取期望信息，因此如何在僅有部分航天器獲取期望信息的情況下，設計魯棒自適應姿態(tài)協(xié)同控制策略，有待于進一步的研究。

[1]VanDyke M C,Hall C D.Decentralized coordinated attitude control within a formation of spacecraft[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2006,29(5): 1101-1109.

[2]Ren W.Distributed attitude alignment in spacecraft formation flying[J].International Journal of Adaptive Con-trol and Signal Processing,2007,21(2-3):95-113.

[3]Sarlette A,Sepulchre R,Lenoard N E.Autonomous rigid body attitude synchronization[J].Automatica,2009,45 (2):572-577.

[4]Dimarogonas D V,Tsiotras P,Kyriakopoulos K J.Leader-follower cooperative attitude control of multiple rigid bodies[J].Systems&Control Letters,2009,58(6):429-435.

[5]Ren W.Distributed cooperative attitude synchronization and tracking for multiple rigid bodies[C]//.IEEE Transactions on Control Systems Technology,2010,18(2): 383-392.

[6]Lawton J R,Beard R W,Hadaegh F Y.Elementary attitude formation maneuvers via leader-following and behavior-based Control[C]//.AIAA-2000-4442,2000.

[7]Lawton J R,Beard R W.Synchronized multiple space craft rotations[J].Automatica,2002,38(8):1359-1364.

[8]Wu B,Wang D.Decentralized robust adaptive control for attitude synchronization under directed communication topology[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2011,34(4):1276-1282.

[9]張海博,胡慶雷,馬廣富.基于有向圖的航天器編隊魯棒自適應姿態(tài)協(xié)同跟蹤控制[J].宇航學報，2012，33 (8)：1072-1079.

[10]Olfati-Saber R,Fax J A,Murray R M.Consensus and cooperation in networked multi-agent systems[C]//.Proceedings of the IEEE,2007,95(1):215-233.

[11]Wallsgrove R J,Akella M R.Globally stabilizing saturated attitude control in the presence of bounded unknown disturbances[J].Journal of Guidance,Control, and Dynamics,2005,28(5):957-963.

[12]Nuno E,Ortega R,Basanez L.Synchronization of networks of nonidentical Euler-Lagrange systems with uncertain parameters and communication delays[C]//. IEEE Transactions on Automatic Control,2011,56(4): 935-941.

[13]Khalil H K.Nonlinear systems[M].Upper Saddle River, New Jersey:Prentice-Hall,2002.

[14]Desoer C A,Vidyasagar M.Feedback system:input-output properties[M].New York:Academic Press,1975.

AdaptiveAttitude Cooperative Control for Spacecraft Formation Flying Under Directed Communication Topology

DANG Hong-tao1,2,YI Guo-xing1,LI Qing-hua1
(1.Space Control and Inertial Technology Research Center,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China; 2.96117 Troops,Laiwu 271100,China)

The adaptive attitude cooperative control problem for formation spacecraft is studied under the directed communication topology.For the case of external disturbances and model uncertainty in the spacecraft formation flying system,an auxiliary variable including relative attitude errors and absolute attitude errors is selected and a robust adaptive control strategy is proposed.The adaptive laws are presented to estimate the unknown parameters of inertia matrices and the upper bound of external disturbances,and the asymptotic stability of closed-loop system is analyzed by using Lyapunov stability theory.Different from traditional robust control such as sliding mode control,the designed robust adaptive controller is continuous,which is convenient to realize spacecraft formation flying systems.Finally,the simulation results show that the control strategy can achieve high-precision tracking control of formation flying.

Formation flying；Directed graph；Cooperative control；Asymptotic stability；Adaptive law

V448.2

A

2095-8110（2015）02-0007-06

2014-07-03；

2014-10-10。

黨宏濤（1976-），男，工程師，博士研究生，主要從事導航、制導與控制方面研究。E-mail:skydht@163.com