明 超，孫瑞勝，白宏陽(yáng)，孫傳杰

(1.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院 ,南京 210094;2.工程物理研究院總體工程研究所，綿陽(yáng) 621900)

?

基于hp自適應(yīng)偽譜法的多脈沖導(dǎo)彈彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)①

明 超1，孫瑞勝1，白宏陽(yáng)1，孫傳杰2

(1.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院 ,南京 210094;2.工程物理研究院總體工程研究所，綿陽(yáng) 621900)

針對(duì)多脈沖導(dǎo)彈非連續(xù)助推的特點(diǎn)，基于hp自適應(yīng)偽譜法研究了多約束多階段的彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。結(jié)合多脈沖導(dǎo)彈的工作過程，給出了彈道的分段準(zhǔn)則, 在考慮過載、動(dòng)壓及終端彈道參數(shù)等約束條件下，建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型以及多約束多階段全彈道優(yōu)化模型。為解決Radau偽譜法處理復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)存在的局限性，提出了一種基于hp自適應(yīng)偽譜法的求解策略，對(duì)其最大射程的彈道進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，并與傳統(tǒng)的最大升阻比方案所得的結(jié)果進(jìn)行了比較分析。仿真結(jié)果表明，該方法能有效解決多脈沖導(dǎo)彈彈道優(yōu)化問題，射程比最大升阻比方案提高了7.8%，研究結(jié)果可為多脈沖導(dǎo)彈的彈道總體設(shè)計(jì)提供參考。

多脈沖導(dǎo)彈；彈道優(yōu)化；最大射程；hp自適應(yīng)偽譜法

0 引言

在未來戰(zhàn)爭(zhēng)中，隨著作戰(zhàn)范圍和作戰(zhàn)空間的逐漸擴(kuò)大,對(duì)導(dǎo)彈的飛行性能提出了更高的要求。多脈沖導(dǎo)彈通過調(diào)節(jié)各脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)之間的間隔時(shí)間，來減少導(dǎo)彈空氣阻力消耗，改善導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)性能，增加導(dǎo)彈的射程，提高導(dǎo)彈的生存能力。其中，具有代表性的是德國(guó)近距離內(nèi)防空導(dǎo)彈LFK-NG和美國(guó)防區(qū)外發(fā)射的近程攻擊導(dǎo)彈SRAM-A[1-2]。為了充分發(fā)揮多脈沖彈飛行性能的優(yōu)勢(shì)，對(duì)多脈沖導(dǎo)彈進(jìn)行彈道優(yōu)化具有重要的理論研究意義和工程應(yīng)用價(jià)值。

多脈沖導(dǎo)彈彈道優(yōu)化問題是一個(gè)始端固定、終端時(shí)刻自由且含有路徑約束和終端約束的多階段最優(yōu)控制問題[3]。一般軌跡優(yōu)化數(shù)值方法，主要包括直接法和間接法[4]。由于間接法在求解過程中還存在諸多不足，近年來直接法廣泛用于各種軌跡優(yōu)化問題[5-6]。偽譜法為直接法最活躍的分支，由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、精度高及收斂速度快的特點(diǎn)，且使得非線性規(guī)劃(NLP)的解滿足傳統(tǒng)間接法的一階最優(yōu)性必要條件，而備受關(guān)注[7-9]。但在處理一些復(fù)雜問題時(shí)也呈現(xiàn)出一定的局限性。hp自適應(yīng)偽譜法[10]是將偽譜法與hp型有限元法結(jié)合，在計(jì)算過程中對(duì)配點(diǎn)數(shù)和插值多項(xiàng)式的階次進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，以滿足計(jì)算精度的要求。

本文以雙脈沖導(dǎo)彈作為研究對(duì)象，以脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)二次點(diǎn)火時(shí)間和飛行攻角為優(yōu)化變量，考慮優(yōu)化變量約束，并對(duì)終端速度和落角進(jìn)行一定的限制，采用hp自適應(yīng)偽譜法，對(duì)雙脈沖導(dǎo)彈最大射程進(jìn)行彈道優(yōu)化研究，并與最大升阻比方案所得的結(jié)果進(jìn)行比較分析。

1 彈道優(yōu)化問題描述

1.1 雙脈沖導(dǎo)彈工作過程

雙脈沖導(dǎo)彈的飛行過程可分以下4個(gè)階段：第一階段，脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)第一次工作，將導(dǎo)彈加速到一定的速度后關(guān)機(jī)；第二階段，導(dǎo)彈無(wú)動(dòng)力飛行，此時(shí)導(dǎo)彈速度不大，阻力所消耗的能量?。坏谌A段，導(dǎo)彈到達(dá)高空后，發(fā)動(dòng)機(jī)第二次工作，速度增加到末段機(jī)動(dòng)飛行所需值；第四階段，導(dǎo)彈無(wú)動(dòng)力滑翔直至目標(biāo)。其工作過程示意圖如圖1所示。

圖1 雙脈沖導(dǎo)彈工作過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of double-pulse missile working process

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

為了便于研究問題，本文只考慮多脈沖導(dǎo)彈縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，假設(shè)地球表面為平面且忽略地球自轉(zhuǎn)的影響。多脈沖導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)模型為

(1)

式中m為導(dǎo)彈質(zhì)量；P為發(fā)動(dòng)機(jī)推力；X=qSCx、Y=qsCy分別為阻力和升力，由動(dòng)壓q和氣動(dòng)特性決定，其中Cx和Cy是Ma和α的函數(shù)，可由吹風(fēng)試驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算獲得；θ為彈道傾角；其他符號(hào)及具體表達(dá)式詳見文獻(xiàn)[11]。

1.3 約束條件

(1)邊界條件

雙脈沖導(dǎo)彈的初始狀態(tài)：

v(0)=v0,θ(0)=θ0,x(0)=x0

y(0)=y0,m(0)=m0

為了保證雙脈沖導(dǎo)彈的攻擊效果，終端彈道參數(shù)應(yīng)滿足一定的約束，包括終端位置、速度和落角約束，即

vfmin≤v(tf)≤vfmax

θf(wàn)min≤θ(tf)≤θf(wàn)max

y(tf)=yf

(2)連接點(diǎn)約束

為使雙脈沖導(dǎo)彈飛行的4個(gè)階段間平滑過渡，保證上一階段結(jié)束時(shí)刻的狀態(tài)量、控制量與下一階段開始時(shí)刻的對(duì)應(yīng)相等[12]，約束條件為

t0(i+1)=tf(i),s0(i+1)=sf(i),

u0(i+1)=uf(i),(i=1,2,3)

式中i為雙脈沖導(dǎo)彈飛行的第i階段；t為時(shí)間；s為狀態(tài)量；u為控制量；下標(biāo)0、f表示開始、結(jié)束。

(3)控制約束

雙脈沖導(dǎo)彈的脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)二次點(diǎn)火時(shí)間t02和飛行攻角α的約束條件為

(4)路徑約束

1.4 目標(biāo)函數(shù)

對(duì)于雙脈沖導(dǎo)彈總體設(shè)計(jì)初步階段，一個(gè)重要的目標(biāo)就是雙脈沖導(dǎo)彈按照預(yù)定的方案飛行的射程最遠(yuǎn)。因此，彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為

minJ=-x(tf)

(2)

2 hp自適應(yīng)偽譜法

本文所采用的hp自適應(yīng)偽譜法是將Radau偽譜法[13]與hp型有限元法進(jìn)行融合，在一系列離散點(diǎn)上，利用全局多項(xiàng)式近似微分方程約束，從而將最優(yōu)控制問題的求解轉(zhuǎn)化為對(duì)NLP問題的求解，其離散過程與Radau偽譜法相似。當(dāng)某一離散區(qū)間的計(jì)算精度不滿足要求時(shí)，由hp自適應(yīng)方法對(duì)該區(qū)間內(nèi)的配點(diǎn)數(shù)h和全局插值多項(xiàng)式的階次p進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。當(dāng)然，hp自適應(yīng)偽譜法也可使用其他偽譜法(如Legendre偽譜法，Gauss偽譜法等)離散最優(yōu)控制問題，Radau偽譜法的優(yōu)點(diǎn)是容易滿足網(wǎng)格點(diǎn)的連續(xù)條件[13]。

2.1 最優(yōu)控制問題離散

Radau偽譜法對(duì)多脈沖導(dǎo)彈彈道優(yōu)化最優(yōu)控制問題的離散過程如下。

將最優(yōu)控制問題的為t∈[t0,tf]劃分為K個(gè)網(wǎng)格，且將時(shí)間區(qū)間轉(zhuǎn)換至τ∈[-1,1]，做映射變換有

(3)

式中 ?t∈[tk-1,tk],k=1，…,K,t0<…

狀態(tài)量在第k(k∈[1,…,K])個(gè)網(wǎng)格近似表示為

(4)

(5)

將X(k)(τ)對(duì)τ求導(dǎo)，代入動(dòng)力學(xué)微分方程式，并在LGR點(diǎn)上進(jìn)行離散，可得

(6)

目標(biāo)函數(shù)可近似表示為

(7)

不等式約束在第k個(gè)網(wǎng)格上用Nk個(gè)LGR點(diǎn)離散化處理，有

(8)

邊界約束條件可近似表示為

(9)

為了保證網(wǎng)格的連續(xù)性，需滿足：

(10)

基于上述的離散過程，Radau偽譜法將多脈沖導(dǎo)彈彈道優(yōu)化最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，可以利用求解NLP問題的SNOPT[14]等軟件包，對(duì)其進(jìn)行求解。

2.2 hp自適應(yīng)更新判定準(zhǔn)則

2.3 hp自適應(yīng)更新方式判定準(zhǔn)則

(11)

(12)

如果rkrkmax，則增加網(wǎng)格的配點(diǎn)數(shù)目h。其中，rkmax>0為用戶自定義參數(shù)。

2.4 hp自適應(yīng)更新變量計(jì)算公式

(1)更新后插值多項(xiàng)式的階次Dnew

(13)

(2)更新后配點(diǎn)數(shù)Mnew

(14)

式中Mnew為更新后網(wǎng)格內(nèi)的配點(diǎn)數(shù);B為用戶自定義參數(shù)。

2.5 hp自適應(yīng)偽譜法計(jì)算流程

hp自適應(yīng)偽譜法計(jì)算步驟如下所示，其流程圖如圖2所示。

(1)按照劃分好的網(wǎng)格，利用Radau偽譜法將最優(yōu)控制問題離散，轉(zhuǎn)化為NLP問題，并采用序二次規(guī)劃法對(duì)NLP問題進(jìn)行求解；

Begin：fork=1,2,…,K

(3)如果rkrkmax，則網(wǎng)格的配點(diǎn)數(shù)目增加為Mnew；

End：fork=1,2,…,K

(4)如果狀態(tài)量和路徑約束的相對(duì)誤差滿足允許的相對(duì)誤差，則優(yōu)化結(jié)束；不滿足，則返回步驟(1)。

圖2 hp自適應(yīng)偽譜法流程圖Fig.2 Flow chart of hp-adaptive pseudo-spectralmethod

3 仿真分析

表1 優(yōu)化結(jié)果比較Table1 Comparison of optimization results

由仿真結(jié)果可看出，在給定的仿真條件下，采用hp自適應(yīng)偽譜法優(yōu)化后，雙脈沖導(dǎo)彈的發(fā)動(dòng)機(jī)二次點(diǎn)火時(shí)間為26 s，攻角曲線平滑，所有的設(shè)計(jì)約束條件均能滿足，最大射程較傳統(tǒng)的最大升阻比滑翔方案提高了7.8%，說明該方法能夠獲得較優(yōu)的彈道。在普通的PC機(jī)上，hp自適應(yīng)偽譜法優(yōu)化計(jì)算的時(shí)間為30 s左右，表明該方法具有較高的計(jì)算效率。仿真驗(yàn)證了該方法處理多脈沖導(dǎo)彈飛行過程中狀態(tài)量以及控制量不連續(xù)問題的可行性。

圖3 彈道曲線Fig.3 Curves of ballistic

圖4 速度變化曲線Fig.4 Change curves of velocity

圖5 彈道傾角變化曲線Fig.5 Change curves of trajectory inclination angle

圖6 攻角變化曲線Fig.6 Change curves of angle of attack

圖7 法向過載變化曲線Fig.7 Change curves of normal acceleration

圖8 動(dòng)壓變化曲線Fig.8 Change curves of dynamic pressure

4 結(jié)論

(1)針對(duì)多脈沖導(dǎo)彈彈道優(yōu)化問題，建立了多階段、多約束的彈道優(yōu)化模型，引入連接點(diǎn)約束條件處理各階段狀態(tài)量、控制量的不連續(xù)問題，方法簡(jiǎn)單，且效果好。仿真結(jié)果表明，所建立的優(yōu)化模型是合理的。

(2)為解決Radau偽譜法在處理復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)存在的局限性，提出了一種基于hp自適應(yīng)偽譜法的求解策略，并以射程最大為性能指標(biāo)，對(duì)多脈沖導(dǎo)彈多階段多約束彈道進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果表明，hp自適應(yīng)偽譜法能有效解決多脈沖導(dǎo)彈彈道優(yōu)化問題，具有較高的計(jì)算效率，優(yōu)化方案的射程比傳統(tǒng)的最大升阻比飛行方案提高了7.8%，在提高射程方面具有明顯優(yōu)勢(shì)。

(3)研究結(jié)果能提供近實(shí)時(shí)最優(yōu)解，可為多脈沖導(dǎo)彈制導(dǎo)律的優(yōu)化設(shè)計(jì)和軌跡的在線生成提供一定的參考。

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(編輯：呂耀輝)

Optimizing design of trajectory for multiple-pulse missiles based on hp-adaptive pseudo-spectral method

MING Chao1,SUN Rui-sheng1,BAI Hong-yang1,SUN Chuan-jie2

(1.School of Energy and Power Engineering, NUST,Nanjing 210094, China;2.Institute of Systems Engineering,CAEP,Mianyang 621900,China)

According to the characteristics of the discontinuous boost for multiple-pulse missiles, the multi-constraints and multi-phase trajectory optimization problem based on hp-adaptive pseudo-spectral method was researched.The trajectory segment criterion was presented combining with the missile working process.The dynamic model and multi-constraints multi-phases trajectory optimization model were established concerning the constraints of overload,dynamic pressure,and terminal trajectory parameters.A maximum range optimization calculation case based on hp-adaptive pseudo-spectral method solving strategy was given,so as to tackle the constraints when using Radau,pseudo spectral method to deal with complicated optimization problem.Moreover,the results were compared with that of the traditional maximum lift-to-drag ratio method.The simulation results show that the algorithm can efficiently solve the problem of multiple-pulse missile trajectory optimization and improve the maximum range by 7.8% in comparison to the maximum lift-to-drag ratio method. The results can provide a reference to the overall design of multiple-pulse missiles.

multiple-pulse missiles;trajectory optimization;maximum range;hp-adaptive pseudo-spectral method

2014-04-03；

：2014-05-16。

國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)和中國(guó)工程物理研究院聯(lián)合基金(11176012)；航天一院高校聯(lián)合創(chuàng)新基金(CALT201302)。

明超(1989—)，男，博士，研究方向?yàn)橄冗M(jìn)彈道優(yōu)化理論與控制技術(shù)。E-mail：mcnust@126.com

孫瑞勝(1976—)，男，副教授，研究方向?yàn)樾滦蛷椉茖?dǎo)與控制技術(shù)。E-mail：srscom@163.com

V412.4

A

1006-2793(2015)02-0151-05

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.02.001