殷峰麗

極限是研究數(shù)列和函數(shù)性質(zhì)的重要工具,和式極限的求解是極限運(yùn)算的一個(gè)重要組成部分.利用定積分的定義將所求的和式極限直接化成某個(gè)函數(shù)的積分和,是計(jì)算和式極限的一種有效方法,但是有些題目并不能直接轉(zhuǎn)化為某個(gè)函數(shù)的積分和.為此,本文利用無(wú)窮小分析法,從理論上說(shuō)明可將所給題目中的被加項(xiàng)用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替,然后再化為某個(gè)函數(shù)的積分和,進(jìn)而有效地解決問(wèn)題.

定理 設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上可積,g(x)≠0,x∈(a,b),若,則

證 令

于是

因?yàn)閒(x),g(x)在[a,b]上可積,所以f(x),g(x)在[a,b]上有界,不妨設(shè)|g(x)|≤M,G=,則由式(1)、(2)可得

參考文獻(xiàn):

[1]陳守信.數(shù)學(xué)分析選講[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2009,8:21-24.