鮑忠奎，楊善林

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，合肥 230009；2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601）

0 引言

波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak提出的粗糙集理論[1]，是一種處理含糊和不確定信息的新型數(shù)學(xué)工具，近年來引起了人們的極大關(guān)注，已在機器學(xué)習(xí)、歸納推理、模式識別、決策分析等方面取得非常成功的應(yīng)用。Greco等利用序決策系統(tǒng)中屬性值之間遞增或遞減的序關(guān)系，用優(yōu)勢關(guān)系代替經(jīng)典粗糙集中的等價關(guān)系，提出基于優(yōu)勢關(guān)系的粗糙集理論[2-4]]，為經(jīng)濟、管理等領(lǐng)域中大量存在的多屬性決策問題提供了一個新的研究思路。然而，序決策系統(tǒng)中的很多屬性值在獲取過程中往往因為種種原因，丟失或無法獲得。因此如何在不完備序決策系統(tǒng)中進行優(yōu)勢關(guān)系的粗糙集拓展成為研究的熱點。

目前，已有文獻(xiàn)[5-9]對不完備序決策系統(tǒng)中優(yōu)勢關(guān)系的拓展主要是基于對未知屬性值的兩種不同語義解釋：（1）所有的未知屬性值僅僅是被遺漏的，但又是確實存在的，是一種遺漏型的未知屬性值；（2）所有的未知屬性值被認(rèn)為是缺席的，是不允許被比較的，是一種缺席型的未知屬性值。文獻(xiàn)[5～8]從遺漏型未知屬性值角度出發(fā)，分別提出了基于擴展優(yōu)勢關(guān)系、廣義擴展優(yōu)勢關(guān)系、限制擴展優(yōu)勢關(guān)系的拓展粗糙決策分析模型，對目標(biāo)對象的分類更加準(zhǔn)確，符合實際；文獻(xiàn)[9]從缺席型未知屬性值的角度出發(fā)，綜合相似關(guān)系與優(yōu)勢關(guān)系的優(yōu)點，提出了基于相似優(yōu)勢關(guān)系的粗糙決策分析模型，并利用拓展的相似優(yōu)勢關(guān)系解決了不完備序決策系統(tǒng)中的屬性約簡等問題。然而，以上文獻(xiàn)均假定不完備序決策系統(tǒng)中的未知屬性值僅有一種可能的語義解釋，即遺漏型或缺席型的，但在現(xiàn)實信息系統(tǒng)中，未知屬性值往往既有遺漏型也有缺席型的，針對同時具有缺席和遺漏型未知屬性值的廣義不完備序決策系統(tǒng)，如何拓展粗糙集模型進行決策分析呢。

文獻(xiàn)[10]在同時具有缺席和遺漏型未知屬性值的廣義不完備序決策系統(tǒng)中提出了特征優(yōu)勢關(guān)系的概念，并給出了基于特征優(yōu)勢關(guān)系的屬性約簡方法。文獻(xiàn)[11]在廣義不完備序決策系統(tǒng)中給出擴展的優(yōu)勢特征關(guān)系，集中討論了屬性值粗化細(xì)化時，上下累積集的增量更新規(guī)律及其算法。但兩文在處理遺漏型未知屬性值時，為討論方便，均認(rèn)為其可以等于任意值，既優(yōu)于任意值又劣于任意值，顯然這對未知屬性值的要求太過寬松，容易將不屬于同一類的對象誤分到同一類中，影響粗糙集模型的應(yīng)用效果。本文針對這一問題，深入分析屬性值域的偏序關(guān)系，在廣義不完備序決策系統(tǒng)中提出一種新特征優(yōu)勢關(guān)系，并依據(jù)定義的新特征優(yōu)勢關(guān)系給出累積集的近似集和邊界，從而獲取分類決策規(guī)則。同時與已有的基于特征優(yōu)勢關(guān)系的粗糙決策模型進行了對比分析，理論和實例均驗證了基于新特征優(yōu)勢關(guān)系的粗糙決策模型的有效性和實用性。

1 基本概念

1.1 廣義不完備序決策系統(tǒng)

1.2 向上累積集和向下累積集

假設(shè)決策屬性集D把論域U分成有限的決策類，CL={Clt，t∈T}，T={1，2，…，n}，每個對象屬于一個且僅屬于一個決策類Clt，并且假定這種分類是有序的，即對于所有的r，s∈T，若r＞s，則Clr中的對象優(yōu)于Cls中的對象。為了處理多屬性的偏好信息，定義兩種累積集。

定義1設(shè)Clt是一決策類，定義向上累積集和向下累積集分別為：

1.3 特征優(yōu)勢關(guān)系

定義2給定廣義不完備序決策系統(tǒng)S′=＜U，AT∪D，V，f＞ ，集合 P?AT ，P 上的特征優(yōu)勢關(guān)系CD(P)定義為：

2 基于新特征優(yōu)勢關(guān)系的粗糙決策分析模型

2.1 新特征優(yōu)勢關(guān)系

新特征優(yōu)勢關(guān)系充分利用優(yōu)勢關(guān)系中屬性值域的偏好次序，既保留了缺席型未知屬性值不允許被比較的特點，又對確實存在且僅是被遺漏的遺漏型未知屬性值進行了有效的約束。當(dāng)決策系統(tǒng)S′中的所有未知屬性值都被看作是遺漏型時，特征優(yōu)勢關(guān)系則退化為限制擴展優(yōu)勢關(guān)系[8]；當(dāng)S′中的所有未知屬性值都被看作是缺席型時，特征優(yōu)勢關(guān)系則退化為相似優(yōu)勢關(guān)系[9]，所以新特征優(yōu)勢關(guān)系是限制擴展優(yōu)勢關(guān)系和相似優(yōu)勢關(guān)系的進一步推廣，對于信息不完全樣本對象的分類更加符合實際。

由定義知，新特征優(yōu)勢關(guān)系具有下列性質(zhì)：

性質(zhì)1新特征優(yōu)勢關(guān)系滿足自反性和傳遞性，對稱性不一定滿足。

（2）證明同（1）。

定理1表明了P的特征優(yōu)勢集與P的特征劣勢集之間的關(guān)系。

2.2 基于新特征優(yōu)勢關(guān)系的粗糙近似

2.3 基于新特征優(yōu)勢關(guān)系的決策規(guī)則

（1）根據(jù)式（6）可得以下決策規(guī)則：

3 與已有特征優(yōu)勢關(guān)系下的粗糙決策模型的對比

3.1 與已有特征優(yōu)勢關(guān)系的比較

3.2 近似分類性能的對比

證明由定義6、7和定理2及其推論1易得。

定理3表明，基于新特征優(yōu)勢關(guān)系的粗糙決策模型的近似分類精度和近似分類質(zhì)量都要高于已有的特征優(yōu)勢關(guān)系下的粗糙決策模型的近似分類精度和近似分類質(zhì)量，即本文提出的拓展粗糙集決策分析模型要優(yōu)于已有的決策分析模型。

4 應(yīng)用舉例

表1為某班級教師對部分學(xué)生的一個綜合評價表（表中的“？”表示該生沒有選修相應(yīng)的課程，“*”表示該生選修了相應(yīng)課程，但成績弄丟了）。

表1 某學(xué)校教學(xué)管理信息系統(tǒng)中的一個信息表

在表1中，對象全集U={1，2，…，8}；c1，c2和c3是條件屬性，分別表示課程1，2和3；總評d是決策屬性。令P={c1，c2，c3}，VP={優(yōu)，良，中，差}，優(yōu)＞良＞中＞差；Vd={優(yōu)秀，良好，合格}，優(yōu)秀＞良好＞合格；Cl1={x∈U|f(x，d)=合格}={1，5} ，Cl2={x∈U|f(x，d)=良好}={2，3，6，7，8}，Cl3={x∈U|f(x，d)=優(yōu)秀}={4}。

利用已有特征優(yōu)勢關(guān)系下的粗糙決策分析方法計算結(jié)果如下：

（1）c1≤中∧c2≤中∧c3≤中→d∈Cl1，即學(xué)生三門課程的成績至多為中，則學(xué)生的綜合評價為合格；

（2）c1≤中∧c2≤差∧c3=？→d∈Cl1，即學(xué)生課程1的成績之多為中，課程2的成績?yōu)椴?，課程3的成績?yōu)槿毕臀粗?，則學(xué)生的綜合評價為合格；

（5）c1=優(yōu)∧c2=優(yōu)∧c3≥良→d∈Cl3，即學(xué)生課程1和課程2的成績?yōu)閮?yōu)，課程3的成績至少為良，則學(xué)生的綜合評價為優(yōu)秀。

5 結(jié)束語

應(yīng)用粗糙集方法直接在不完備信息系統(tǒng)中獲取決策規(guī)則，避免了因完備化信息系統(tǒng)而造成信息丟失的影響，可以較好地解決不完備信息下的多屬性決策問題。本文在同時具有缺席和遺漏型未知屬性值的廣義不完備序決策系統(tǒng)中，提出一種基于新特征優(yōu)勢關(guān)系的粗糙決策分析方法，克服了已有方法在粒度劃分上過于寬松的不足，是已有粗糙決策分析方法的進一步推廣。同時，本模型較好的處理了廣義不完備序決策系統(tǒng)的規(guī)則獲取問題，對系統(tǒng)的決策分析提供了一定的決策支持。

[1]Pawlak Z.Rough Sets：Theoretical Aspect s of Reasoning about Data[M].Norwell,Mass,USA：Klumer Acadimic Publishers,1991.

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[4]Greco S,Matarazzo B,Slowinski R.Generalizing Rough Set theory Through Dominance-based Rough Set Approach[C].Heidelberg：Springer-Verlag,2005.

[5]何亞群,胡壽松.不完全信息的多屬性粗糙決策分析方法[J].系統(tǒng)工程學(xué)報,2004,19(2).

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[10]楊習(xí)貝,竇慧莉,宋曉寧等.廣義不完備序值系統(tǒng)中的優(yōu)勢關(guān)系粗糙集[J].江蘇科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,25(3).

[11]Chen H M,Li T R,Ruan D.Maintenance of Approximations in Incomplete Ordered Decision Systems while Attribute Values Coarsening or Refining[J].Knowledge-Based Systems,2012,31.