李紹銘，徐龍淞，楊帆

(安徽工業(yè)大學電氣信息學院，安徽馬鞍山243000)

高精度軋制是現(xiàn)在軋制領(lǐng)域的重要發(fā)展方向，厚度精度是高精度板帶材軋件的關(guān)鍵質(zhì)量指標之一，液壓AGC 系統(tǒng)是直接參與厚度控制的核心系統(tǒng)。因此，建立一個完善的系統(tǒng)數(shù)學模型，選擇恰當?shù)目刂撇呗?，對液壓AGC 系統(tǒng)進行全面的仿真研究具有十分重要的意義。

1 液壓AGC 系統(tǒng)數(shù)學模型

液壓APC 系統(tǒng)是AGC 系統(tǒng)的核心，它由測厚儀測量帶材的厚度構(gòu)成反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)。作為AGC系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)，APC 是一個高響應、高精度的電液位置伺服閉環(huán)系統(tǒng)，其任務(wù)是接受外環(huán)厚控AGC 的指令，進行壓下缸的位置閉環(huán)控制，使壓下缸能夠?qū)崟r準確地定位在所要求的位置。APC 系統(tǒng)的組成如圖1所示。

液壓控制元件(液壓控制閥或伺服變量泵)、液壓執(zhí)行元件(液壓缸或液壓伺服馬達)和負載三者組合成為液壓動力機構(gòu)。構(gòu)成一個完善液壓AGC 系統(tǒng)的主要動態(tài)元件為液壓缸、伺服閥、供油管道、回油管道、軋機、傳感器和控制調(diào)節(jié)器，它們合稱為液壓動力元件。通過分析動力元件的基本方程和液壓AGC 系統(tǒng)工作原理可得到5 階的液壓AGC 控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(工藝參數(shù)從梅鋼冷軋機組獲得):

圖1 APC 系統(tǒng)框圖

2 模糊PID 控制器的設(shè)計

液壓AGC 控制器一般設(shè)計思路為:利用現(xiàn)代控制理論和反饋線性化方法建立精確的數(shù)學模型(如傳遞函數(shù)、微分方程和狀態(tài)方程)，再根據(jù)數(shù)學模型和分析結(jié)果設(shè)計出合適的控制器。在實際應用中，因為軋制過程的復雜性，其數(shù)學模型隨時間和工作環(huán)境的改變而改變，其變化規(guī)律往往事先未知，難以建立起精確的數(shù)學模型。

常規(guī)PID 控制依賴系統(tǒng)的精確數(shù)學模型可以整定出PID 參數(shù)，但是一旦模型發(fā)生改變，PID 控制效果就會變差，系統(tǒng)就不能穩(wěn)定工作。模糊控制和PID 相結(jié)合形成模糊PID 控制器已經(jīng)成為控制領(lǐng)域里比較熱門的研究課題，它能夠彌補單純PID 控制器的不足，增強系統(tǒng)的魯棒性及對干擾的抑制能力，使整個系統(tǒng)具有響應快、超調(diào)小、穩(wěn)態(tài)性能好等優(yōu)點。

液壓AGC 系統(tǒng)模糊PID 控制器結(jié)構(gòu)如圖2 所示，該控制器是用模糊推理算法來實現(xiàn)對PID 三個參數(shù)的自整定功能。

圖2 模糊PID 控制器結(jié)構(gòu)圖

2.1 模糊控制規(guī)則的確定

由人工控制經(jīng)驗可知:當帶材厚度的偏差較大時，主要任務(wù)是減小厚度差;當帶材厚度的偏差較小時，控制的主要目標是預防超調(diào)量的產(chǎn)生，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。被控量E 和EC 越小，系統(tǒng)的不確定量就越小，控制精度就越高。由此可總結(jié)出表1—3 所示的模糊控制規(guī)則。

表1 ΔKp 的模糊控制規(guī)則

表2 ΔKi 的模糊控制規(guī)則

表3 ΔKd 的模糊控制規(guī)則

2.2 隸屬度函數(shù)的確定

隸屬度函數(shù)的選擇合適程度直接影響系統(tǒng)控制性能，遺憾的是，目前還沒有成熟的方法來指導怎樣確定隸屬度函數(shù)。三角形隸屬度函數(shù)是目前工程上使用比較多的隸屬度函數(shù)，此控制器將采用此隸屬度函數(shù)，偏差如圖3 所示，偏差變化率EC 的隸屬度函數(shù)與圖3 類似。

圖3 偏差E 隸屬度函數(shù)

3 遺傳算法分析及其改進

3.1 遺傳算法簡介

遺傳算法是一種概率尋優(yōu)算法，依據(jù)生物遺傳進化和優(yōu)勝劣汰的原理，以個體適應度為基礎(chǔ)，對個體進行選擇、交叉、變異，搜索參數(shù)最優(yōu)解的智能算法。遺傳算法可以用于對系統(tǒng)的一個或多個參數(shù)進行智能優(yōu)化，優(yōu)化控制器的控制效果?；镜倪z傳算法包含初始化、適應度計算、選擇、交叉、變異、終止判斷等操作。

3.2 遺傳算法的數(shù)學分析

由遺傳算法的模式定理可知，若低階、高適應度的某種模式中包含了最優(yōu)解，則遺傳算法就可能把它找出來，但是若低階、高適應度的所有模式中均沒有包含最優(yōu)值，則遺傳算法就不能找到最優(yōu)解，通常只能給出次優(yōu)解。

若在模式H 和H'中，不確定位基因的具體位置是一致的，但在任一確定位上的基因編碼均完全不同，就稱H 和H'互為競爭模式。例如，10＊＊＊與01＊＊＊屬于競爭模式;10＊＊＊與11＊＊＊則不屬于競爭模式。

假定f(x)的最大值對應的未知量x 的集合為x'，H 為包含x'的m 階模式，H 的競爭模式為H'，若f(H)＜f(H')，則f 為m 階欺騙。例如，對于一個三位二進制編碼的模式，若f(111)為最大值，則下列任意一個不等式的成立都將說明其中存在欺騙性。

當模式階數(shù)為1 時:

f (＊＊1) ＜f (＊＊0)

f (* 1* ) ＜f (* 0* )

f (1＊＊) ＜f (0＊＊)

當模式階數(shù)為2 時:

f (* 11) ＜f (* 00)

f (1* 1) ＜f (0* 0)

f (11* ) ＜f (00* )

f (* 11) ＜f (* 01)

f (1* 1) ＜f (0* 1)

f (11* ) ＜f (01* )

f (* 11) ＜f (* 01)

f (1* 1) ＜f (1* 0)

f (11* ) ＜f (10* )

種群個體的編碼位數(shù)越多，模式階越高，計算復雜性越高，遺傳算法產(chǎn)生欺騙性問題的可能性就越大，找到全局最優(yōu)解的難度也就越大。

造成上述欺騙問題的主要原因有兩個:編碼不當或適應度函數(shù)選擇不當。若它們均為單調(diào)關(guān)系，就不會存在欺騙性問題，但對于非線性問題，難以實現(xiàn)其單調(diào)性。

3.3 遺傳算法的改進

文中對算法進行了改進，在尋優(yōu)過程中插入種群精簡算法，將種群中相同或者相似度很高的部分個體予以精簡，種群空位以新個體補足，可以有效地保持種群多樣性，同時采用二進制編碼方法，可有效避免算法欺騙性問題的產(chǎn)生，使得算法更有可能找到全局最優(yōu)解。

由積木塊假設(shè)可知，遺傳算法能夠最終找到最優(yōu)解的條件為:表現(xiàn)型相近的個體基因型類似且遺傳因子間相關(guān)性較低。若種群中個體的相關(guān)性較高，則不符合此條件，即算法很難找到最優(yōu)解，因此必須對種群進行精簡，降低個體間的相關(guān)性。此處以種群個體間的相似度來表征其相關(guān)性。

首先，若種群為非初代種群，則對其個體按適應度由高到低的原則排序，之后比較個體之間的相似度。相似度的計算方法為:

將染色體解碼后的c 個參數(shù)作為某高維空間中某些點的向量坐標，每個染色體個體都與空間中的一點對應，用兩點間距的倒數(shù)表征j、k 兩染色體的相似度，相似度計算如式(2)所示:

其中:Djc和Dkc分別代表染色體j、k 的第c 個參數(shù)值。

設(shè)排序后的種群染色體分別為A1、A2、…、AN，N 為種群個體數(shù)。具體相似度比較方法為:首先以A1作為基準，從A2開始逐個比較其與A1的相似度，直至某個體Am與A1的相似度小于設(shè)定的閥值1。精簡過程為:若m－1 大于L=x·T·2/3，則保留A1～AL的個體，將A(L+1)～A(m－1)個體淘汰，并以新的隨機格雷碼將種群空位補足，否則不作改動。其中T 為代數(shù)，x 為預設(shè)值;之后以Am為基準，從Am+1開始逐個檢測其與Am的相似度，比較和精簡方法同前。通過從前到后的比較和精簡，遍歷整個種群。圖4 為遺傳算法的工作原理流程圖。

圖4 遺傳算法工作流程圖

4 模糊PID 參數(shù)優(yōu)化設(shè)計

第2 節(jié)針對液壓AGC 系統(tǒng)設(shè)計了模糊PID 控制器，但是在設(shè)計的過程中，控制器的量化因子和比例因子、控制規(guī)則和隸屬度函數(shù)的確定都是憑借經(jīng)驗設(shè)計的，而這3 方面的因素對控制器的性能有很大的影響，這也是目前模糊控制器設(shè)計的瓶頸問題，因此針對此類問題的模糊PID 參數(shù)優(yōu)化策略的研究就顯得很有意義。

隸屬度函數(shù)與比例因子和量化因子有較大關(guān)聯(lián)，如果隸屬度函數(shù)動態(tài)更改橫坐標的值，那么實際上就不需要再對比例因子和量化因子進行優(yōu)化，因此可以說隸屬度函數(shù)的優(yōu)化一舉兩得。提出一種基于遺傳算法優(yōu)化模糊控制器隸屬度函數(shù)的液壓AGC 系統(tǒng)模糊PID 控制系統(tǒng)，其框圖如圖5 所示。

圖5 基于遺傳模糊PID 的AGC 控制框圖

4.1 隸屬度函數(shù)選擇

在NB (誤差為負大)處選Z 形的隸屬度函數(shù)，在PB (誤差為正大)處選S 形的隸屬度函數(shù)，其他模糊子集均采用三角形隸屬度函數(shù)。

4.2 優(yōu)化參數(shù)個數(shù)確定

模糊PID 有5 個參數(shù)的隸屬度函數(shù)需要優(yōu)化:E、EC、ΔKp、ΔKi、ΔKd，每一個參數(shù)都被劃分為7個模糊子集，每個三角形形狀需要3 個參數(shù)才能表示，S 形和Z 形函數(shù)形狀需要2 個參數(shù)才能確定，那么一共需要優(yōu)化的參數(shù)有95 個。這是一個多參數(shù)優(yōu)化問題，遺傳算法需要搜索的空間龐大，會極大地影響優(yōu)化速度，必須進行分析簡化。一般選取的隸屬度函數(shù)都是關(guān)于x=0 對稱，那么只相差一個符號的參數(shù)可以用程序?qū)崿F(xiàn)，可以減少一半的參數(shù)數(shù)量。如圖3 所示，一般隸屬度函數(shù)在x 軸上可以選取為有共同交點的布局，所以最少需要7 個參數(shù)就可以表示出一個參數(shù)的隸屬度函數(shù)，而x =0 為已知，對稱的部分可以在程序里加負號來實現(xiàn)，因此，遺傳算法需要優(yōu)化的參數(shù)個數(shù)為15 (3 ×5)個。

4.3 編碼算法

格雷碼能夠有效提高遺傳算法的局部尋優(yōu)能力，因此這里采用格雷碼編碼方式，每個參數(shù)采用10 位格雷碼表示，將15 個編碼后的參數(shù)從左到右連接成150 位的格雷碼染色體。

4.4 解碼算法

將位串個體從位串空間轉(zhuǎn)化成問題參數(shù)空間的解碼函數(shù)Γ，得到15 個十進制的實數(shù)。具體的解碼算法為:

其中:c 為轉(zhuǎn)化為十進制的待尋優(yōu)的參數(shù)個數(shù)，此處c=10;j 為種群的染色體個數(shù)，即j =Size;i 為染色體的序位。

解碼后的位串包含的c 個數(shù)即為待尋優(yōu)參數(shù)的十進制表示形式，為后續(xù)的種群精簡及控制效果評價過程做準備。

4.5 適應度函數(shù)的確定

這里選用ITAE 最佳性能指標作為遺傳算法優(yōu)化液壓AGC 系統(tǒng)模糊PID 控制的適應度函數(shù)，因為遺傳算法是求最大值問題，所以這里的適應度函數(shù)fitness 作如下變換:

ITAE 性能指標:

目標函數(shù):

4.6 控制參數(shù)的選擇

遺傳算法的控制參數(shù)主要是指種群的規(guī)模、算法終止的最大計算代數(shù)、交叉概率、變異概率等。這里選擇:種群大小Size =50，最大終止代數(shù)G =100，交叉概率Pc=0.9，變異概率Pm=0.1。

在遺傳算法解碼后，利用種群精簡算法對種群進行精簡，降低個體間的相關(guān)性;在選擇操作時，應采用與高斯函數(shù)相結(jié)合的改進選擇算法，以避免遺傳算法過早收斂。

5 仿真研究

根據(jù)第4 節(jié)設(shè)定的參數(shù)，以液壓AGC 系統(tǒng)為被控對象，采用改進的遺傳模糊PID 控制策略進行MATLAB 仿真。

圖6 是遺傳算法優(yōu)化后的隸屬度函數(shù)，可看出:優(yōu)化后的三角函數(shù)、Z 函數(shù)和S 函數(shù)的分布變化很大，總體呈現(xiàn)誤差較小的地方隸屬度函數(shù)密集(分辨率高)，誤差較大的地方隸屬度函數(shù)分散(平緩性好)，跟前面分析的一致。

圖6 隸屬度函數(shù)優(yōu)化結(jié)果

由橫坐標的取值可以看出每一個物理量的論域劃分不再是人為劃分，這里都是由遺傳算法計算所得，顯得更加合理準確。

圖7 是液壓AGC 系統(tǒng)在不同控制器作用下的階躍信號響應曲線。圖中傳統(tǒng)PID 三參數(shù)是通過Z-N參數(shù)整定后得到:Kp=21.3，Ki=0.05，Kd=0.3。為了便于比較3 個控制器的性能，將模糊PID 和遺傳模糊PID 初始參數(shù)取值為:Kp=20.0，Ki=0.01，Kd=1.0，模糊PID 的模糊算法參數(shù)設(shè)置同第2 節(jié)。

由圖7 可知:模糊PID 控制效果優(yōu)于傳統(tǒng)PID 控制，傳統(tǒng)PID 控制存在一定的超調(diào)量，調(diào)節(jié)速度也較模糊PID 時間長;遺傳算法優(yōu)化的模糊PID 控制性能優(yōu)于模糊PID 控制，響應速度極快，t =0.013 s就能達到設(shè)定值，而且沒有超調(diào)量，同時也具備模糊PID 的抗干擾能力。

第3 節(jié)中針對遺傳算法存在的問題提出了改進，為了驗證其有效性，作者將兩種算法分別運行了5次，如圖8 所示。可知:傳統(tǒng)遺傳算法優(yōu)化到20 代左右便過早地收斂，改進后的遺傳算法則避免了這一問題，且最終收斂尋得的目標函數(shù)的值更優(yōu)，證明了改進遺傳算法的有效性和優(yōu)越性。

圖7 單位階躍響應對比曲線

圖8 目標函數(shù)J 優(yōu)化過程比較曲線

6 總結(jié)

以液壓AGC 為研究對象，先設(shè)計了模糊PID 控制器，通過分析得知模糊PID 在設(shè)計過程中存在憑借經(jīng)驗設(shè)定參數(shù)的環(huán)節(jié)，而且這些參數(shù)不能動態(tài)改變，極大影響了控制器的控制效果。遺傳算法是一種有效的參數(shù)尋優(yōu)算法，可以對模糊控制存在的問題進行優(yōu)化，但是它也存在過早陷入局部極小值的問題。文中給出了改進的遺傳算法，通過仿真比較得知:基于改進遺傳算法優(yōu)化的模糊控制器的性能最好。只優(yōu)化了隸屬度函數(shù)，而控制規(guī)則也存在人為設(shè)定和設(shè)定后不能動態(tài)自適應變化的問題，其需要優(yōu)化的對象更多，選擇怎樣的最佳尋優(yōu)算法來解決此類問題有待進一步深入的研究。

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