朱 峰 ，林 莉

(西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川成都 610031)

0 引言

標(biāo)量磁位是建立靜態(tài)磁場(chǎng)有限元及差分?jǐn)?shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)［1］。標(biāo)量磁位的拉普拉斯方程+邊界條件方法在數(shù)值分析中廣為運(yùn)用，對(duì)標(biāo)量磁位方法的深入研究和推廣能夠進(jìn)一步擴(kuò)展其應(yīng)用［2］。

現(xiàn)有本科強(qiáng)電類工程電磁場(chǎng)教材中，在無(wú)電流區(qū)域，類比于靜電場(chǎng)，盡管都給出了拉普拉斯方程和邊界形式，但都沒(méi)有相應(yīng)的一維例題和作業(yè)題，只有文獻(xiàn)［3］提供了一個(gè)關(guān)于二維標(biāo)量磁位的例題，但因目前學(xué)生基礎(chǔ)以及課程量等原因，國(guó)內(nèi)幾乎絕大部分高校二維以上求解均沒(méi)有涉及［3-5］。這里就存在著一個(gè)問(wèn)題，本科基礎(chǔ)教學(xué)“電磁場(chǎng)”課程與實(shí)際電磁場(chǎng)工程相脫節(jié)，造成了實(shí)際應(yīng)用與理論學(xué)習(xí)不連貫，對(duì)學(xué)生理解標(biāo)量磁位及進(jìn)一步應(yīng)用不利。因此，如何正確使用標(biāo)量磁位拉普拉斯方程，結(jié)合場(chǎng)域邊界條件求解磁場(chǎng)問(wèn)題是值得研究的。

本文給出一則采用標(biāo)量磁位的拉普拉斯方程+邊界條件方法求解空間場(chǎng)分布的典型例題，其物理思想是采用了極限概念，將多連通區(qū)域轉(zhuǎn)化為單連通區(qū)域。該研究不僅填補(bǔ)了現(xiàn)有教材空白，同時(shí)對(duì)學(xué)生提高運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問(wèn)題的能力以及加深對(duì)標(biāo)量磁位方法的理解均大有裨益。

1 典型例題分析

如圖1所示，截面為圓環(huán)形的中空長(zhǎng)直導(dǎo)線，沿軸向流過(guò)的電流為I，環(huán)導(dǎo)線的內(nèi)外半徑分別為R1、R2，試?yán)梦⒎址匠?邊界的方法求導(dǎo)線以外的空間各處的磁場(chǎng)強(qiáng)度。

圖1 截面為圓環(huán)形的中空長(zhǎng)直導(dǎo)線

需要著重說(shuō)明的是，對(duì)于本例的磁場(chǎng)分析，盡管文獻(xiàn)［6］采用了矢量磁位的方法，給出了三個(gè)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布，但由于標(biāo)量磁位只在無(wú)電流源區(qū)域有定義，所以本文求解區(qū)域?yàn)棣选躌1區(qū)域和ρ≥R2區(qū)域。

采用柱坐標(biāo)，內(nèi)外區(qū)域的標(biāo)量磁位應(yīng)當(dāng)滿足的拉普拉斯方程為

圖2 標(biāo)量磁位分布

積分路徑為單連通區(qū)域，邊界條件為

這里存在一個(gè)問(wèn)題，為什么φm2(2π)=-I?按照φ=0與φ=2π在同一位置，磁位應(yīng)該相同，即φm2(2π)=φm2(0)=0。

其實(shí)從物理的本質(zhì)看，當(dāng)初定義φm的時(shí)候就已經(jīng)決定了積分路徑只能為無(wú)電流分布的區(qū)域，積分路徑必須留一個(gè)縫，φm才有定義。因而在ρ≥R2區(qū)域，如果從2π～0進(jìn)行積分，則越過(guò)了物理意義上存在的“火線”，屬于積分路徑選擇錯(cuò)誤。為解決這一問(wèn)題，本文采用極限思想將復(fù)連通區(qū)域轉(zhuǎn)化為單連通區(qū)域進(jìn)行求解。積分路徑為(2π－ε)～0的單連通區(qū)域(ε無(wú)窮小)，繞行方向與 方向恰好相反，因而電流取為-I。如圖3所示。

圖3 ρ≥R2區(qū)域積分路徑

對(duì)單連通區(qū)域任一點(diǎn)P，標(biāo)量磁位為

在ε→0的條件下，對(duì)上式取極限，得

由上式可以看出，φ=0與φ=2π對(duì)應(yīng)的φm2并不相等，原因是由于物理意義上存在“火線”，積分路徑只能選為(2π－ε)～0的單連通區(qū)域，ε趨近于0而不能等于零。

帶入通解，解得

求解結(jié)果與標(biāo)量磁位+邊界條件法結(jié)果一致。

但本文重在探究運(yùn)用標(biāo)量磁位法求解恒定磁場(chǎng)問(wèn)題，可以預(yù)期，深入研究和推廣將使標(biāo)量磁位法在電磁場(chǎng)學(xué)術(shù)界和工程界有更廣泛的應(yīng)用。

2 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)一則典型例題的求解，分析了標(biāo)量磁位的拉普拉斯方程+邊界條件方法在求解恒定磁場(chǎng)問(wèn)題中的應(yīng)用。同時(shí)，對(duì)該方法中的邊界條件，采用極限思想將復(fù)連通區(qū)域轉(zhuǎn)化為單連通區(qū)域進(jìn)行求解。在采用標(biāo)量磁位法求解恒定磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，需注意不能越過(guò)物理意義上存在的“火線”，而應(yīng)轉(zhuǎn)化為單連通區(qū)域，從而得出其邊界條件，進(jìn)行求解。最后，采用安培環(huán)路定理方法驗(yàn)證了該方法的正確性。該研究不僅填補(bǔ)了現(xiàn)有本科教材關(guān)于標(biāo)量磁位例題的空白，同時(shí)對(duì)學(xué)生提高運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問(wèn)題的能力以及加深對(duì)標(biāo)量磁位方法的理解均大有裨益。

［1］倪光正.工程電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

［2］錢金根，倪光正，程衛(wèi)英.單標(biāo)量磁位法在靜態(tài)磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用［J］.北京:中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，1995.15(4):228-233.

［3］馮慈璋，馬西奎.工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論［M］.北京:高等教育出版社，1980:106-117.

［4］倪光正.工程電磁場(chǎng)原理［M］.北京:高等教育出版社，2009:162-163.

［5］雷銀照.電磁場(chǎng)［M］.北京:高等教育出版社，2008:146-147.

［6］朱峰，薛誠(chéng).平行平面場(chǎng)中磁矢位邊界方程的推證［J］.南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2014，6(3):22-25.