丁生虎, 李 星, 楊 娟,2

(1.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,寧夏 銀川 750021; 2.寧夏大學(xué) 民族預(yù)科教育學(xué)院,寧夏 銀川 750002)

正交各向異性功能梯度材料周期裂紋問題研究*

丁生虎1*, 李 星1, 楊 娟1,2

(1.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,寧夏 銀川 750021; 2.寧夏大學(xué) 民族預(yù)科教育學(xué)院,寧夏 銀川 750002)

研究了正交各向異性功能梯度材料含平行周期裂紋的平面 I 型和 II 型斷裂問題. 考慮正交各向異性的主軸方向分別為平行和垂直于帶的邊界, 運(yùn)用 Fourier 變換, 將混合邊值問題的求解轉(zhuǎn)化為求解第一類 Cauchy 奇異積分方程, 獲得了周期裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng). 結(jié)果顯示了非均勻材料參數(shù), 材料力學(xué)性質(zhì)和裂紋間距對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，對(duì)功能梯度材料的設(shè)計(jì)及應(yīng)用有參考價(jià)值.

正交各向異性；功能梯度材料；周期裂紋；奇異積分方程

功能梯度材料(FGMs)設(shè)計(jì)的顯著特點(diǎn)是通過調(diào)整材料組分的變化規(guī)律, 最大限度地降低熱/殘余應(yīng)力對(duì)其性能的影響[1]. 功能梯度材料斷裂力學(xué)研究對(duì)于功能梯度材料的設(shè)計(jì)、制造及應(yīng)用具有十分重要的指導(dǎo)意義. 戴耀等[2]從裂紋尖端漸近場(chǎng)、應(yīng)力強(qiáng)度因子、 斷裂失效準(zhǔn)則和動(dòng)態(tài)斷裂問題等方面闡述了功能梯度材料彈性斷裂分析的研究方法、進(jìn)展和主要結(jié)論. 目前已經(jīng)有很多學(xué)者對(duì)功能梯度材料斷裂力學(xué)進(jìn)行了研究[3～9]. 由于數(shù)學(xué)處理上的困難, 目前大多數(shù)有關(guān)功能梯度材料裂紋問題的理論分析均假設(shè)材料為各向同性彈性體, 但實(shí)際制備工藝的特點(diǎn)決定了功能梯度材料將很少是各向同性的. 由于問題的復(fù)雜性, 研究各向異性功能梯度材料斷裂行為的文獻(xiàn)不多. Ozturk 和 Erdogan[10]研究了無限大正交各向異性功能梯度材料受靜態(tài)機(jī)械載荷作用下的裂紋方向平行于材料屬性梯度方向的 I 型斷裂問題. 李春雨等[11]采用積分變換-對(duì)偶積分方程方法, 研究了正交各向異性功能梯度材料反平面裂紋問題. 假設(shè)裂紋方向和材料的梯度方向平行, Guo 等[12]研究了正交各向異性功能梯度條的內(nèi)嵌裂紋和邊裂紋問題. Chen 等[13]假設(shè)材料的物性參數(shù)按指數(shù)形式變化, 研究了含平行于邊界的有限厚度正交各向異性功能梯度板條的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)問題. Ding 和 Li[14]研究了一正交各向異性功能梯涂層粘結(jié)到一均勻基底含共線裂紋的平面 I 型斷裂問題.

以上研究的都是單裂紋和共線裂紋, Dag等[15]用解析和數(shù)值方法分別研究了非均勻正交各向異性功能梯度材料界面裂紋和周期界面裂紋問題. 本文研究了正交各向異性功能梯度材料的周期裂紋問題, 采用積分變換技術(shù), 所求的問題轉(zhuǎn)化為第一類 Cauchy 奇異積分方程, 獲得了周期裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng). 所獲得的結(jié)果對(duì)工程結(jié)構(gòu)裂紋止裂具有理論意義和實(shí)用價(jià)值.

1 問題的提法

如圖 1 所示, 一正交各向異性功能梯度材料里有長(zhǎng)度為 2a0的一列平行于x軸的周期裂紋, 周期為 2c,x和y坐標(biāo)軸為正交主軸. 假設(shè)正交各向異性介質(zhì)的梯度方向沿著x軸變化

(1)

其中β是正或負(fù)的非均勻參數(shù).

對(duì)圖 1 中的混合邊值問題, 受I型載荷的邊界和連續(xù)性條件為

σyy(x,0)=δ(x),a

(2)

v(x,0)=0,xb,

(3)

τxy(x,0)=0,τxy(x,c)=0, -∞

(4)

v(x,c)=0, -∞

(5)

受II型載荷的邊界和連續(xù)性條件為

τxy(x,0)=τ(x),a

(6)

u(x,0)=0,xb,

(7)

σyy(x,0)=0,σyy(x,c)=0, -∞

(8)

u(x,c)=0, -∞

(9)

2 問題求解

由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱, 我們只考慮上半平面, 運(yùn)用 Fourier 變換, 位移可以表示為

(10)

這里Aj(s) 是未知函數(shù),mj和Bj(s) 是已知函數(shù).

我們引入兩個(gè)新的函數(shù)

(11)

由邊界條件 (2)～(9), 經(jīng)過推導(dǎo), 有

(12)

其中

Hj(r,u)=Hj(x,t)(b-a)/2,gj(u)=gj(x),δ(r)=δ(x)e-βx,τ(r)=τ(x)e-βx,

(13)

這里Hj(j=1,2)為已知函數(shù).

方程 (12) 的解可以表示為[16]

(14)

這里G1(u) 和G2(u) 為有界函數(shù),依據(jù)Chebyshev正交多項(xiàng)式將它們展開為

(15)

其中Tn是Chebyshev第一類多項(xiàng)式,An,Bn是未知常數(shù).

An和Bn可以通過求解線性方程組得到, 裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子 (SIFs) 定義為

(16)

(17)

(18)

(19)

3 數(shù)值算例和分析

表1 正交各向異性功能梯度材料的力學(xué)性質(zhì)

表2 均勻材料裂紋間距對(duì)正則化 I, II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

圖2和3給出了非均勻參數(shù)βa0變化時(shí)正交各向異性功能梯度材料的力學(xué)性質(zhì)和裂紋間距對(duì)I型應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響. 結(jié)果表明三種材料中材料III即各向同性材料給出的應(yīng)力強(qiáng)度因子最小, 裂紋尖端x=a處應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著非均勻參數(shù)βa0的增加而減小, 裂紋尖端x=b處應(yīng)力集中表現(xiàn)得更強(qiáng)烈, 并隨著非均勻參數(shù)βa0的增加而變大. 隨著裂紋間距的變大，非均勻參數(shù)βa0對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響逐漸變得顯著；當(dāng)裂紋間距逐漸變小時(shí)，裂紋之間的相互影響導(dǎo)致了應(yīng)力強(qiáng)度因子的大幅減小，這種趨勢(shì)在非均勻參數(shù)βa0=1.0時(shí)最為明顯. 在工程中適當(dāng)控制非均勻參數(shù)的變化有利于提高材料的抗斷裂能力.

圖4和5給出了非均勻參數(shù)βa0變化時(shí)正交各向異性功能梯度材料的力學(xué)性質(zhì)對(duì)II型應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響. 結(jié)果表明三種材料中材料III即各向同性材料給出的應(yīng)力強(qiáng)度因子最小, 裂紋尖端x=a處應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著非均勻參數(shù)βa0的增加而減小, 裂紋尖端x=b處應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著非均勻參數(shù)βa0的增加而變大. 非均勻參數(shù)βa0對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響隨著裂紋間距的減小而變得逐漸明顯，當(dāng)裂紋間距逐漸變小時(shí)，不管非均勻參數(shù)βa0如何變化，裂紋之間的相互影響導(dǎo)致了此時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子的值超過了相同長(zhǎng)度單裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的值. 工程中裂紋間距和非均勻參數(shù)的變化可降低或增加裂紋尖端應(yīng)力集中的程度, 可通過參數(shù)控制預(yù)報(bào)因裂紋擴(kuò)展造成的工件失效問題.

4 結(jié) 論

研究了正交各向異性功能梯度材料的周期裂紋問題, 采用積分變換技術(shù), 所求的問題轉(zhuǎn)化為第一類 Cauchy 奇異積分方程, 獲得了周期裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng). 結(jié)果表明: 對(duì)三種材料而言, 材料 III 即各向同性材料給出的應(yīng)力強(qiáng)度因子最小. 對(duì)于 I 型應(yīng)力強(qiáng)度因子, 當(dāng)裂紋間距變大時(shí)，非均勻參數(shù)βa0對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響逐漸變得顯著.II型應(yīng)力強(qiáng)度因子有著I型應(yīng)力強(qiáng)度因子類似的性質(zhì), 但是非均勻參數(shù)βa0對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響隨著裂紋間距的減小而變得逐漸明顯. 從研究結(jié)果來看, 在材料較硬側(cè)的裂紋相對(duì)比在另一側(cè)更不穩(wěn)定.

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責(zé)任編輯：羅 聯(lián)

Research of Periodic Cracks Problem for Functionally Graded Orthotropic Material

DINGSheng-hu1*,LIXing1,YANGJuan1，2

(1.School of Mathematics and Computer Science, Ningxia University, Yinchuan 750021;2.Institute of Ethnic Preparatory Education, Ningxia University, Yinchuan 750002 China)

This paper investigates the mode I and mode II crack problem of a periodic array of parallel cracks in a functionally graded orthotropic material. The principal axes of orthotropy are assumed to be parallel and perpendicular to the crack plane. By using Fourier transforms, the mixed boundary value problem was reduced as a system of Cauchy singular integral equations of the first kind. The local stress field around the periodic cracks tip was obtained. The influences of parameters such as nonhomogeneous parameter, the material mechanics properties and crack spacing on the stress intensity factors (SIFs) are studied. The results obtained have the reference value in the design and application of functionally graded materials.

orthotropic；functionally graded materials； periodic cracks； singular integral equations

2014-12-04

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11362018,11261045,11202112)

丁生虎(1980— ),男，寧夏 同心縣人,博士，副教授.E-mail:dshsjtu2009@163.com

O346

A

1000-5900(2015)01-0004-05