曹玉健， 趙宇峰， 涂世龍， 戴旭初

(1中國科學(xué)院無線光電通信重點(diǎn)實驗室中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 合肥 230026 2盲信號處理重點(diǎn)實驗室 成都 610041)

引 言

通信信號的特征參數(shù)估計是非協(xié)作通信中很重要的研究課題，參數(shù)估計的準(zhǔn)確與否對于后續(xù)的信號解調(diào)和分析有著至關(guān)重要的作用。成對載波多址(PCMA)是一種能夠節(jié)省傳輸帶寬的衛(wèi)星通信信號多址方式［1］。對于單通道非協(xié)作接收到的PCMA信號來說，能否從時頻混疊的信號中獲得信號參數(shù)的準(zhǔn)確估計是PCMA信號分離和解調(diào)的關(guān)鍵。

對于PCMA信號，需要估計的參數(shù)有符號率、頻偏、載波相位、信號延時、信號功率等。目前，已有一些研究者從不同的角度，提出了一些PCMA信號或同頻混合信號的參數(shù)估計方法。例如，文獻(xiàn)［2］在假設(shè)其它參數(shù)已知和發(fā)送端的符號序列已知的情況下，對PCMA系統(tǒng)中的干擾信號幅度進(jìn)行了估計;文獻(xiàn)［3］利用PCMA信號包絡(luò)的差分信息來估計信號的符號率;文獻(xiàn)［4］則利用最大似然方法估計同頻混合信號的時延;文獻(xiàn)［5］研究了相位調(diào)制PCMA信號的譜線特征，并給出了時延的估計方法;文獻(xiàn)［6］基于循環(huán)延遲自相關(guān)方法，提出了同頻混合數(shù)字調(diào)制信號時延的閉式估計方法?？傮w而言，現(xiàn)有的關(guān)于PCMA參數(shù)估計的研究基本上都針對低階調(diào)制的PCMA信號(如BPSK、QPSK等)，而且其估計方法和算法都要求部分參數(shù)已知，且僅對個別的參數(shù)進(jìn)行估計。而高階調(diào)制PCMA信號(如8PSK、16QAM等)的參數(shù)估計，仍未得到深入研究。

本文首先介紹循環(huán)矩的定義及其性質(zhì)，并分析高階調(diào)制PCMA信號參數(shù)與二階、四階和八階循環(huán)矩譜的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計了高階調(diào)制PCMA信號所有特征參數(shù)的估計方法，包括符號率、殘留頻偏、傳輸信道衰落系數(shù)、初始相位和定時誤差估計。然后，根據(jù)本文提出的參數(shù)估計方法的特點(diǎn)，針對工程應(yīng)用給出了循環(huán)矩的實用化估計方法。最后，通過仿真實驗驗證本文提出的高階PCMA信號參數(shù)估計方法的有效性。

1 信號模型和問題描述

一個單通道接收機(jī)接收到下行PCMA信號，對其作放大、變頻等處理后，基帶信號y(t)可表示為

其中，T為發(fā)送符號的周期，si(n)為發(fā)送端傳輸?shù)姆栃蛄校襰1(n)、s2(n)具有相同的調(diào)制星座圖，因本文考慮的是高階調(diào)制，故為等效的傳輸衰落系數(shù)，通常在一個數(shù)據(jù)幀內(nèi)，hi是恒定不變的;Δfi表示數(shù)字調(diào)制信號經(jīng)過下變頻后殘留的頻偏，θi為初始相位，εi為定時誤差，且表示等效的基帶成形濾波器，本文采用滾降系數(shù)為βi的升余弦滾降濾波器為零均值、功率為σ2v的平穩(wěn)復(fù)高斯白噪聲，且獨(dú)立于s1(n)、s2(n)。

在式(1)和式(2)表示的PCMA信號模型中，殘留頻偏Δfi比較小，通常Δfi·T在10-5～10-2量級，且Δf1≠Δf2。另外，由于s1(n)、s2(n)的符號率相同、調(diào)制方式相同，因此y1(t)和y2(t)在時域上完全重疊，頻域上也幾乎完全重疊。但是，數(shù)字調(diào)制信號具有循環(huán)平穩(wěn)特性，其循環(huán)頻率(循環(huán)平穩(wěn)周期)與Δfi和T有關(guān)。

本文要研究的問題是:基于上述信號模型和循環(huán)平穩(wěn)理論，探討只利用接收到的單通道混合信號y(t)來估計高階調(diào)制PCMA信號參數(shù)的方法和實現(xiàn)算法，需要估計的參數(shù)包括T、Δfi、hi、θi、εi。

2 高階調(diào)制PCMA信號的循環(huán)矩(譜)特性

2.1 循環(huán)平穩(wěn)信號的時變矩和循環(huán)矩

循環(huán)平穩(wěn)信號x(t)的k階時變矩［7］定義如下

其中，(*)j表示是否對第j個因子取共軛，m表示k階矩中取共軛的數(shù)目。它的傅里葉變換

稱為x(t)在循環(huán)頻率α的k階循環(huán)矩，式中［*］t表示時間平均。通常，將k＞2的循環(huán)矩稱為高階循環(huán)矩。

由時變矩和循環(huán)矩的定義，可以得到循環(huán)矩譜具有下列三個性質(zhì)

性質(zhì)1:如果x(t)是k階平穩(wěn)信號，則當(dāng)α≠0時，有Mαx(k，m)=0;

性質(zhì)2:如果x(t)是k階循環(huán)平穩(wěn)信號，時變矩是周期為T的周期函數(shù)，即k，m)，p為任意整數(shù)，則有

性質(zhì)3:在k和m給定的情況下，是循環(huán)頻率α的函數(shù)，此時也稱為循環(huán)矩譜。如果循環(huán)矩譜存在離散譜線，則x(t)一定是k階循環(huán)平穩(wěn)信號。

由于MQAM的循環(huán)矩(譜)具有類似的特性，后續(xù)分析將以16QAM和8PSK信號為例，具體研究這兩類數(shù)字調(diào)制信號的循環(huán)矩特征。

2.2 16QAM數(shù)字調(diào)制信號的循環(huán)矩譜特征

16QAM數(shù)字調(diào)制信號可表達(dá)為

2.2.1 二階時變矩mx(t，2，1)和二階循環(huán)矩譜

根據(jù)式(3)的定義和式(6)，可以得到x(t)的二階時變矩mx(t，2，1)為

很明顯，mx(t，2，1)是周期為T的周期函數(shù)，其傅里葉變換為

其中B2(f)是g2(t)的傅里葉變換，即B2(f)=G(f)*G(f)，G(f)是滾降系數(shù)為β的升余弦濾波器g(t)的傅里葉變換，*表示線性卷積，δ(f)是沖激函數(shù)。

可見，16QAM數(shù)字調(diào)制信號具有二階循環(huán)平穩(wěn)性，其非零的循環(huán)頻率為α=±1/T，且與Δf無關(guān)。

2.2.2 四階時變矩mx(t，4，0)和四階循環(huán)矩譜

16QAM數(shù)字調(diào)制信號x(t)的四階時變矩mx(t，4，0)為

其中C是與調(diào)制星座圖有關(guān)的常量，對于16QAM數(shù)字調(diào)制信號，C=-68。

由式(10)可知，mx(t，4，0)是周期函數(shù)，其周期為T。利用傅里葉變換性質(zhì)，可得到其四階循環(huán)矩譜為

式(11)中的B4(f)是g4(t)的傅里葉變換。

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因此，16QAM數(shù)字調(diào)制信號具有四階循環(huán)平穩(wěn)性，其非零的循環(huán)頻率為α=4Δf，4Δf±1/T，4Δf±2/T。由于B4(f)隨著f增大而減小，所以有

2.3 8PSK數(shù)字調(diào)制信號的循環(huán)矩譜特征

8PSK數(shù)字調(diào)制信號可表示為

與16QAM數(shù)字調(diào)制信號類似，8PSK數(shù)字調(diào)制信號的二階時變矩為

比較式(7)和式(15)可知，8PSK數(shù)字調(diào)制信號的二階時變矩也是周期為T的周期函數(shù)，其二階循環(huán)矩譜非零的循環(huán)頻率為

根據(jù)時變矩的定義，易知8PSK數(shù)字調(diào)制信號的四階時變矩均為0，但八階時變矩不為零，有

經(jīng)過推導(dǎo)，其八階循環(huán)矩譜為

其中B8(f)是g8(t)的傅里葉變換。由式(17)可知，8PSK數(shù)字調(diào)制信號具有八階循環(huán)平穩(wěn)性，由于B8(f)的帶限特性和隨著f增加的衰減特性，其非零的循環(huán)頻率為通常取n≤2，且循環(huán)頻率越大，其對應(yīng)的譜線幅度越小，即

2.4 高階調(diào)制PCMA信號的循環(huán)矩(譜)特征

對于式(1)和式(2)表示的PCMA信號，利用噪聲v(t)的平穩(wěn)性，以及s1(n)、s2(n)和v(t)之間的相互獨(dú)立性，可以很容易得到下列結(jié)論。

①對于8PSK和16QAM PCMA信號，有

即對于PCMA信號，Mfy(2，1)只在處有離散譜線。

②對于16QAM PCMA信號，有

③對于8PSK PCMA信號，有

3 參數(shù)估計方法

根據(jù)第2節(jié)的分析可知，對于高階調(diào)制PCMA信號，其二階、四階或八階循環(huán)矩譜存在離散譜線，而譜線包含了PCMA信號中的特征參數(shù)信息，本小節(jié)將討論利用循環(huán)矩譜中離散譜線的位置、幅度和相位信息來估計PCMA信號中兩個分量信號參數(shù)的方法。

3.1 符號率和殘留頻偏的估計

PCMA信號的循環(huán)頻率中含有符號率和殘留頻偏信息，因此只要通過循環(huán)矩譜確定離散譜線位置，即可獲得循環(huán)頻率，從而得到符號率和殘留頻偏的估計。

3.1.1 符號率的估計

由式(19)可知，不論是8PSK還是16QAM PCMA信號，其在0，處都有離散譜線，因此可將在f≠0處的最大值所對應(yīng)的頻率點(diǎn)作為符號率的估計，即

3.1.2 殘留頻偏的估計

①16QAM PCMA信號的殘留頻偏估計

其次，在集合Ω1中找到的最大值所對應(yīng)的循環(huán)頻率，便可獲得一個殘留頻偏的估計，不失一般性，假設(shè)此時得到的是Δf1的估計，即

最后，去掉Ω1中與Δf1有關(guān)的元素，即4Δf1±n/T，得到子集Ω2:{4Δf2±n/T;n=0，1，2}，進(jìn)而獲得Δf2的估計，即

②8PSK PCMA信號的殘留頻偏估計

對8PSK PCMA信號，由式(21)易知其八階循環(huán)頻率集合結(jié)合式(18)可知，8PSK八階循環(huán)矩譜的離散譜線結(jié)構(gòu)和特征與16QAM的四階循環(huán)矩譜類似，故8PSK PCMA信號的殘留頻偏估計方法與16QAM的相同，即

3.2 傳輸衰落系數(shù)的估計

根據(jù)式(12)、(17)、(20)、(21)，可得到循環(huán)矩與傳輸衰落系數(shù)hi的關(guān)系。對于16QAM PCMA信號，有

同理，對于8PSK PCMA信號，有

應(yīng)該注意到，hi、B4(0)、B8(0)、C和T都是實數(shù)，因此，hi的估計為

對于16QAM PCMA信號

對于8PSK PCMA信號

由于滾降系數(shù)βi∈［1/3，1/2］，且通過數(shù)值計算可知，B4(0)、B8(0)隨不同βi值的變化不大，因此在實際應(yīng)用中，取B4(0)≈0.64、B8(0)≈0.46即可。

3.3 初始相位和定時誤差估計

初始相位θi和定時誤差εi包含在離散譜線的相位信息中，根據(jù)式(12)、(17)、(20)、(21)，并注意到B4(f)和B8(f)是實偶對稱的，則可以利用循環(huán)矩譜中離散譜線的相位估計εi和θi。

對于16QAM PCMA信號

式中arg(z)表示對復(fù)數(shù)z求相角。

對于8PSK PCMA信號

3.4 循環(huán)矩譜的估計

由前文的討論和分析可知，參數(shù)估計是通過y(t)的二階、四階或八階循環(huán)矩譜來獲得。在實際應(yīng)用中，二階、四階或八階循環(huán)矩譜是利用有限長的接收數(shù)據(jù)來估計的。

不失一般性，假設(shè)以采樣頻率fs對接收信號y(t)進(jìn)行采樣，得到接收信號的數(shù)據(jù)序列y(n)=y(t)|t=nTs，其中Ts=1/fs。為了防止頻譜混疊，同時降低帶外噪聲的影響，通常選取fs≥Pfb，fb=1/T，P≥4。若用長度為N的數(shù)據(jù)y(n)來估計循環(huán)矩譜，則y(t)的二階、四階或八階循環(huán)矩譜的估計為其中DFT［·］表示對序列進(jìn)行離散傅里葉變換，通常用FFT算法來實現(xiàn)。

根據(jù)統(tǒng)計估計理論可知，循環(huán)矩譜的估計誤差主要與數(shù)字信號的調(diào)制階數(shù)、循環(huán)矩譜的階數(shù)、信噪比、數(shù)據(jù)長度等諸多因素有關(guān)，在相同的估計誤差條件下，調(diào)制階數(shù)越高、循環(huán)矩譜的階數(shù)越高、信噪比越低，所需要的數(shù)據(jù)長度越大。通過仿真實驗，我們看到，為獲得穩(wěn)定可靠的估計，估計(2，1)、(4，0)和(8，0)所需要的數(shù)據(jù)長度分別不小于P·103、P·105和P·107，直接計算如此大長度的DFT，給實際的工程應(yīng)用帶來了很大的困難。下面根據(jù)本文參數(shù)估計方法的特點(diǎn)，給出有利于工程實現(xiàn)的循環(huán)矩(譜)的估計方法。

3.4.1 基于分段疊加的循環(huán)矩譜估計

符號率和殘留頻偏的估計只需要利用循環(huán)矩譜中離散譜線的位置信息，不要求幅度和相位的準(zhǔn)確性，因此可考慮將長的數(shù)據(jù)序列分成若干段較短的序列，分段計算每段數(shù)據(jù)的時變矩。然后將分段數(shù)據(jù)的時變矩進(jìn)行疊加平均后計算DFT，以獲得離散譜線的位置。最后利用修正技術(shù)對離散譜線的位置進(jìn)行修正，從而獲得較為準(zhǔn)確的循環(huán)頻率估計。

不失一般性，假設(shè)將長度為N的數(shù)據(jù)分成K段，每段長度為Q，即N=KQ。以8階循環(huán)矩譜的估計為例，令yk(q)=y8(q+kQ)，q=0，…，Q-1，k=0，…，K-1，則8階循環(huán)矩譜分段疊加估計為

當(dāng)用FFT來計算式(39)時，由于FFT的長度為Q，故循環(huán)矩譜的頻率分辨率為由于數(shù)據(jù)長度Q較短，F(xiàn)FT估計的頻譜存在柵欄效應(yīng)，離散譜線對應(yīng)的頻率值可能不等于理論上的循環(huán)頻率。此時直接提取譜線位置來估計符號率和殘留頻偏存在誤差，最大估計誤差為因此有必要對直接估計結(jié)果進(jìn)行修正，具體修正方法見文獻(xiàn)［8］。該方法具有計算量小、修正效果明顯的優(yōu)點(diǎn)，受篇幅限制，這里不再贅述。仿真實驗表明，采用修正技術(shù)后，循環(huán)頻率的估計精度能夠提高1～2個數(shù)量級。

3.4.2 基于遞推計算的特定循環(huán)頻率的循環(huán)矩估計

與符號率和殘留頻偏的估計不同，傳輸衰落系數(shù)、初始相位和定時誤差的估計利用的是“特定循環(huán)頻率點(diǎn)”上循環(huán)矩的幅度和相位信息。為了降低運(yùn)算量，同時保證估計精度，可以采用隨時間遞推的方法估計特定循環(huán)頻率的循環(huán)矩。

由此可得M(n)隨時間遞推的估計關(guān)系式

利用式(41)對特定循環(huán)頻率的循環(huán)矩進(jìn)行估計，由于在每個時刻的計算量非常小，因此該方法非常適合于工程應(yīng)用。另外，隨著n的不斷增加，M(n)能夠逐漸地逼近理論值。

4 仿真實驗及分析

本小節(jié)將通過MATLAB仿真實驗，驗證本文提出的參數(shù)估計方法的有效性，并考察其性能特點(diǎn)。

仿真實驗中，符號率、殘留頻偏、采樣率都采用相對于符號率歸一化的參數(shù)，即T=1，采樣率fs=4，Δf1和Δf2分別在范圍內(nèi)隨機(jī)選取。其它參數(shù)設(shè)置為初始相位θi隨機(jī)選取;接收信噪比SNR定義為y1(t)和y2(t)的平均帶內(nèi)信噪比。另外，在估計二階、四階和八階循環(huán)矩時，所用的符號數(shù)分別是107個，分段疊加法估計循環(huán)矩譜時，每個分段的長度是5×103個符號。所有的性能曲線都是通過對100次蒙特卡羅實驗的結(jié)果進(jìn)行平均獲得的。

圖1是PCMA信號符號率、殘留頻偏估計的相對誤差與信噪比關(guān)系的仿真曲線，其中符號率估計的相對誤差定義為為符號率的估計值;殘留頻偏估計的相對誤差定義為兩個殘留頻偏估計的相對誤差的平均值，即和分別是兩個殘留頻偏的估計值。從圖1可以看出，當(dāng)信噪比大于12dB時，不管是16QAM或者是8PSK PCMA信號，其符號率和殘留頻偏估計的相對誤差都在10-7～10-6量級;但是當(dāng)信噪比小于12dB時，8PSK PCMA信號的殘留頻偏估計性能隨信噪比降低迅速惡化，這主要是因為八階循環(huán)矩的估計對噪聲比較敏感，而二階和四階循環(huán)矩的估計對噪聲不敏感。

圖2是PCMA信號傳輸衰落系數(shù)估計的相對誤差與信噪比關(guān)系的仿真曲線，這里相對誤差定義為由圖2可知，當(dāng)信噪比大于16dB時，16QAM PCMA信號和8PSK PCMA信號傳輸衰落系數(shù)的估計性能接近，相對誤差大約在當(dāng)信噪比小于14dB時，16QAM PCMA信號傳輸衰落系數(shù)的估計性能要優(yōu)于8PSK PCMA信號，其原因也是八階循環(huán)矩的估計對噪聲比較敏感。

圖1 符號率、殘留頻偏的估計性能與信噪比的關(guān)系Fig.1 The estimation performances of symbol-rate and frequency offsetwith SNR

圖3和圖4分別是PCMA信號初始相位和定時誤差的估計性能與信噪比的關(guān)系曲線?？梢钥闯觯?dāng)信噪比大于16dB時，初始相位、定時誤差估計的絕對誤差都在10-3量級，而且16QAM和8PSK PCMA信號的估計性能非常接近，但是當(dāng)信噪比小于14dB時，16QAM PCMA信號的估計性能要優(yōu)于8PSK PCMA信號，與傳輸衰落系數(shù)估計性能的特點(diǎn)一致。

圖2 傳輸衰落系數(shù)的估計性能與信噪比的關(guān)系Fig.2 The estimation performances of channel fading coefficientswith SNR

綜合上述仿真結(jié)果，可以看出:①由于符號率和殘留頻偏估計只利用了離散譜線的位置信息，而傳輸衰落系數(shù)、初始相位和定時誤差估計利用的是離散譜線的幅度或相位信息，因此符號率和殘留頻偏的可靠估計對信噪比的要求比其它參數(shù)的可靠估計大約低2～3dB;②在相同的信噪比條件下，8PSK PCMA信號參數(shù)估計的總體性能比16QAM PCMA信號略差;③高階調(diào)制PCMA信號參數(shù)估計性能主要與使用的數(shù)據(jù)長度、信噪比、兩個分量信號的功率差等因素密切相關(guān)，進(jìn)一步的仿真實驗表明，當(dāng)兩個信號的功率差大于3dB時，小功率信號參數(shù)的估計性能將明顯下降，特別是對8PSK PCMA信號，受篇幅限制，這里不再展開討論，將另文闡述。

圖3 初始相位的估計性能與信噪比的關(guān)系Fig.3 The estimation performances of initial phases with SNR

圖4 定時誤差的估計性能與信噪比的關(guān)系Fig.4 The estimation performances of timing errors with SNR

5 結(jié)束語

本文以非協(xié)作接收PCMA信號為背景，以循環(huán)統(tǒng)計量為工具，對高階調(diào)制PCMA信號的參數(shù)估計問題進(jìn)行深入分析研究。通過對8PSK和16QAM PCMA信號循環(huán)矩的細(xì)致分析，獲得了其二階、四階和八階循環(huán)矩(譜)與信號諸多參數(shù)關(guān)系的解析表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，針對高階循環(huán)矩計算需要很長數(shù)據(jù)的問題，我們根據(jù)估計算法的特點(diǎn)，給出了高階循環(huán)矩(譜)的實用化估計方法，即基于分段疊加的循環(huán)矩譜估計和基于遞推計算的循環(huán)矩估計，為本文提出的參數(shù)估計算法的工程實現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)。仿真實驗結(jié)果表明，利用高階循環(huán)矩可以對高階調(diào)制PCMA信號參數(shù)進(jìn)行有效估計，且估計精度能夠滿足工程應(yīng)用要求。

需要指出的是，本文給出的16QAM PCMA信號的參數(shù)估計方法同樣適用于32QAM、64QAM等高階QAM PCMA信號。另外，當(dāng)8PSK PCMA信號中的兩個分量信號的功率差大于3dB時，本文算法對較小功率分量信號的參數(shù)估計性能將明顯下降，需要采用一些新的方法或措施改進(jìn)本文算法，目前該項研究工作正在進(jìn)展中。

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