張亞龍 ， 馬炫 ， 蔣曉丹

（1.衢州學(xué)院 電氣與信息工程學(xué)院，衢州 324000；2.西安理工大學(xué) 自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，西安 710048；3.西澳大學(xué) 電氣電子與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，澳大利亞 珀斯 00126G）

0引 言

金屬幕墻作為大型建筑外墻裝飾材料近年來(lái)被廣泛采用，具有保護(hù)建筑物、防腐蝕、隔噪聲及美觀的作用。曲面造型的金屬幕墻其生產(chǎn)工藝比較復(fù)雜，首先是將三維曲面按照一定美觀需求分割成若干個(gè)較小的曲面塊，每個(gè)曲面塊再由平面金屬板材經(jīng)過(guò)塑性沖壓而成。拋物面、橢球面、球面等二次曲面是常用的基本曲面形式，復(fù)雜造型的曲面基本也由這幾類曲面相貫或拼合而成。

二次曲面屬于不可展曲面，也就是說(shuō)由平面沖壓成曲面時(shí)，褶皺的產(chǎn)生不可避免。而錐面和柱面可以由平面在不產(chǎn)生褶皺的情況下經(jīng)過(guò)彎曲而成。國(guó)內(nèi)外對(duì)不可展曲面成型的方法和工藝有一定研究［1-7］。解決了曲面處理相關(guān)工程的部分問(wèn)題。

曲面金屬幕墻由于美觀裝飾的需求，要求裝配于建筑外表面后曲面塊之間的接縫整齊均勻，對(duì)生產(chǎn)工藝特別是展開(kāi)方法要求較高。通用展開(kāi)算法［3］專門針對(duì)金屬曲面幕墻，沒(méi)有考慮邊心距相等的要求，不適合用于曲面金屬幕墻。等邊心距展開(kāi)方法［8］考慮了曲面展開(kāi)后邊界點(diǎn)到中心距離不變的要求，但是沒(méi)有考慮褶皺分布問(wèn)題，使得曲面在沖壓成型過(guò)程中由于褶皺的密度不同，徑向（縱向）褶皺向橫向擠壓，在處理曲率不對(duì)稱曲面塊時(shí)，邊界點(diǎn)發(fā)生漂移，對(duì)裝配的形狀要求產(chǎn)生影響。

本文以文獻(xiàn)［8］為研究基礎(chǔ)，提出一種邊界點(diǎn)的橫向推位算法，計(jì)算曲面沖壓時(shí)產(chǎn)生的褶皺橫向移位量，給出邊界點(diǎn)在褶皺移位之后的橫向位置，根據(jù)橫向位置可以調(diào)整縱向位置微弱變化以滿足整體形狀要求，使得經(jīng)過(guò)沖壓移位之后的形狀剛好滿足裝配時(shí)的形狀要求。

1 橫向推位算法

1.1 問(wèn)題描述

曲面幕墻展開(kāi)要解決的問(wèn)題是，給定曲面塊計(jì)算對(duì)應(yīng)的平面形狀，使得平面形狀經(jīng)過(guò)沖壓成型后的曲面，剛好滿足曲面裝配要求的接縫平滑整齊要求，從而解決目前所用的手工模胎方法帶來(lái)的形狀不準(zhǔn)確需要多次返修的不便。

計(jì)算曲面對(duì)應(yīng)的平面形狀，首先確定曲面塊的大致中心位置，以作為平面塊對(duì)應(yīng)的中心位置，然后計(jì)算平面形狀的邊界點(diǎn)相對(duì)于中心點(diǎn)的位置即可確定平面形狀。因?yàn)轳薨櫨€是徑向的，我們把邊界點(diǎn)作為褶皺線的終點(diǎn)，其位置分為縱向（徑向）位置與橫向位置。這里的縱向與橫向是相對(duì)于褶皺線的縱向與橫向，不是直角坐標(biāo)系里的縱向與橫向。文獻(xiàn)［8］解決了邊界點(diǎn)縱向位置，也就是邊界點(diǎn)離中心點(diǎn)之間的距離。但是沒(méi)有考慮邊界點(diǎn)在橫向上需要優(yōu)化。本文解決第二個(gè)問(wèn)題，即邊界點(diǎn)在橫向的優(yōu)化位置。

1.2 邊界點(diǎn)的縱向與橫向初步位置

曲面中心點(diǎn)的確定比較簡(jiǎn)單。實(shí)驗(yàn)表明，曲面中心點(diǎn)無(wú)論采用幾何中心的近點(diǎn)還是重心的近點(diǎn)，對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響微乎其微，這里不做敘述。為了上下文便于理解，首先介紹等邊心距展開(kāi)方法［8］對(duì)邊界點(diǎn)縱向位置的計(jì)算方法，以及橫向位置的確定方式。然后介紹本文提出的橫向推位算法。

1.2.1 縱向位置計(jì)算

如圖1所示，曲面ABCD為給定曲面塊，中心點(diǎn)為P。過(guò)P點(diǎn)做曲面的法線PQ，過(guò)PQ做平面PQME與ABCD相交于P（E，E點(diǎn)為曲面塊的其中一個(gè)邊界點(diǎn)。計(jì)算P（E的曲線長(zhǎng)度，在PQ的法平面與PQME平面的相交線上取點(diǎn)E′，使直線距離PE′=P（E作為E點(diǎn)在平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。以PQ為軸旋轉(zhuǎn)平面PQME，依此與給定曲面邊界點(diǎn)相交，計(jì)算相交線的曲線長(zhǎng)度，即邊界點(diǎn)與中心點(diǎn)P的曲線長(zhǎng)度作為平面上邊心距，可得其他邊界點(diǎn)在平面上的縱向位置。

圖1 曲面展開(kāi)示意圖

設(shè)給定曲面在三維空間的曲面方程為 F（ x，y，z）=0，方程在三維坐標(biāo)系的偏導(dǎo)數(shù)（為曲面塊法線 PQ 的方向。由于P點(diǎn)的坐標(biāo)已知，得出直線PQ的點(diǎn)法式方程：

則平面PQME的點(diǎn)法式方程為

在設(shè)定邊界點(diǎn)步長(zhǎng)為固定值的基礎(chǔ)上，同樣的道理可以確定每個(gè)邊界點(diǎn)在平（面上的位（置。如圖1中平面PQNA 與曲面相交于曲線曲線的長(zhǎng)度 PA′可以確定A點(diǎn)在展開(kāi)平面的縱向位置。以此類推可以確定B點(diǎn)、C點(diǎn)以及D點(diǎn)的位置。然后形成如圖1中曲面ABCD的展開(kāi)平面形狀 A′B′C′D′。

1.2.2 橫向位置初步計(jì)算

以E點(diǎn)為基準(zhǔn)，由式（4）得出的二面角作為展開(kāi)平面中各邊界點(diǎn)與E點(diǎn)的夾角，如圖1中∠EPA′、∠EPB′、∠EPC′等與作為基準(zhǔn)點(diǎn)E點(diǎn)的夾角確定了在平面上A′點(diǎn)、B′點(diǎn)、C′點(diǎn)的初步橫向位置。展開(kāi)過(guò)程中，計(jì)算曲面與平面相交的曲線長(zhǎng)度時(shí)，如的長(zhǎng)度，由于沒(méi)有通用的數(shù)學(xué)公式，計(jì)算較為復(fù)雜。可采用曲線分段擬合的方法求解，思路為：把曲線分為若干個(gè)小段，每一段用經(jīng)過(guò)兩端和中點(diǎn)的拋物線的長(zhǎng)度擬合代替，各小段的擬合長(zhǎng)度累加之和即為曲線長(zhǎng)度。

1.3 邊界點(diǎn)的橫向推位算法

上述的展開(kāi)過(guò)程實(shí)際上已經(jīng)確定了邊界點(diǎn)在平面中的橫向位置，但是沒(méi)有考慮褶皺均勻化之后邊界點(diǎn)在橫向的移位。在得出橫向移位的量度之后，可以根據(jù)曲面裝配時(shí)的邊心距要求，適當(dāng)調(diào)整縱向長(zhǎng)度以滿足曲面裝配形狀要求，縱向長(zhǎng)度的調(diào)整不是本文的研究問(wèn)題，這里不做敘述。下面給出邊界點(diǎn)橫向移位量的計(jì)算方法。

如圖2給定曲面塊ABCD，以邊界點(diǎn)E的橫向推位計(jì)算為例，其他邊界點(diǎn)的計(jì)算以此類推。

圖2 橫向推位算法示意圖

計(jì)算DX在空間曲線上的積分，兩積分之差即為E點(diǎn)橫向移位量，即E點(diǎn)的橫向移位量為

移位的方向?yàn)檠貓A周的曲線方向，而不是切線方向。SE值的正負(fù)決定了移位朝E點(diǎn)的左邊還是右邊。褶皺均勻化使得邊界點(diǎn)由褶皺密度大的地方向褶皺密度小的方向移位。

2 計(jì)算實(shí)例

給定拋物面如圖3，已知拋物面方程為

其中：a=100，b=100，p=0.01，h=100。 經(jīng)緯線分割后取 3 塊曲面如圖中陰影部分。3塊曲面的參數(shù)如表1。其中曲面塊1的展開(kāi)圖如圖4。

圖3 拋物面曲面塊

表1 曲面塊參數(shù)

圖4顯示的曲面塊1的平面展開(kāi)形狀似乎與曲面塊的三維視圖變化不大，這是由于所取的曲面塊相對(duì)于整個(gè)曲面相對(duì)較小，曲率表現(xiàn)不明顯。但在64位的計(jì)算機(jī)中計(jì)算精度非常高，可以滿足剛性金屬鈑金裝配時(shí)，接縫之間的精確預(yù)留距離，達(dá)到美觀精致的效果。實(shí)際工程的曲面塊劃分的相對(duì)大小有可能更大或更小，當(dāng)更大時(shí)曲率表現(xiàn)明顯，展開(kāi)結(jié)果與曲面的三維輪廓區(qū)別較大。

圖5（a）為曲面塊1展開(kāi)的褶皺分布示意圖，其中徑向陰影線為褶皺線；圖5（b）為經(jīng)過(guò)褶皺橫向推位后的褶皺分布對(duì)照?qǐng)D。可以看出褶皺經(jīng)過(guò)橫向推位后分布均勻，為曲面塊的沖壓成型過(guò)程帶來(lái)了方便，可以直接沖壓，經(jīng)過(guò)自然延展后形成裝配所需的形狀及尺寸。

圖4 曲面塊1展開(kāi)圖

圖5 褶皺優(yōu)化對(duì)照?qǐng)D

3結(jié) 語(yǔ)

二次曲面幕墻平面展開(kāi)的褶皺橫向推位算法考慮了金屬板材在沖壓時(shí)，褶皺向密度小的方向橫向推擠的形變因素；以及給出了移位量的計(jì)算方法，使得曲面在沖壓成型時(shí)，褶皺可以均勻分布，簡(jiǎn)化了對(duì)沖壓工藝的要求。結(jié)合等邊心距展開(kāi)方法［8］，橫向推位算法已經(jīng)開(kāi)發(fā)成計(jì)算機(jī)應(yīng)用系統(tǒng)，在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用效果良好。一方面代替了以前的手工模胎方法，使得生產(chǎn)效率大大提高。另一方面在解決精確計(jì)算的基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)化了沖壓工藝，極大地提高了產(chǎn)品質(zhì)量。

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