湯小偉，羅伯特·霍爾

(德國福特王根應(yīng)用科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，德國福特王根 78120)

磁懸浮系統(tǒng)的本質(zhì)是通過產(chǎn)生與重力方向相反的電磁力，以控制磁性物質(zhì)懸浮在空中的零重力現(xiàn)象。隨著現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展，磁懸浮控制技術(shù)已經(jīng)得到了較為廣泛的應(yīng)用，如磁懸浮列車、磁懸浮玩具、工廠的磁懸浮導(dǎo)軌等。磁懸浮控制技術(shù)的出現(xiàn)，不僅給人們的生活帶來了許多便利和樂趣，也在這個(gè)資源緊張的時(shí)代，提供了更加穩(wěn)定、更低功耗、更低成本的磁懸浮系統(tǒng)，讓這個(gè)領(lǐng)域的研究變得更具有深遠(yuǎn)的實(shí)際意義，同時(shí)也符合可持續(xù)發(fā)展的戰(zhàn)略［1］。本文基于高級自動(dòng)控制理論和電動(dòng)力學(xué)，通過分析磁懸浮小球控制系統(tǒng)的原理來建立小球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)利用MATLAB軟件仿真驗(yàn)證系統(tǒng)的可行性。利用高精度運(yùn)算放大器搭建電子控制電路，成功地實(shí)現(xiàn)了小球的懸浮。

1 磁懸浮小球系統(tǒng)工作原理

磁懸浮小球系統(tǒng)主要由電磁線圈、光電位移傳感器、控制器電路、電流驅(qū)動(dòng)電路、鋼球所構(gòu)成，如圖1所示。

磁懸浮小球系統(tǒng)的工作原理是:根據(jù)磁學(xué)理論，當(dāng)線圈中有電流通過時(shí)，線圈產(chǎn)生電磁場，位于磁場中的鋼球受到磁場的作用，通過調(diào)節(jié)線圈電流的大小可以產(chǎn)生與小球重力大小相等、方向相反的電磁力，當(dāng)小球只受重力和電磁力作用時(shí)，小球就可以保持平衡，且不需要其他的任何支撐物。

圖1 磁懸浮小球控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

具體的過程為:將小球置于由2個(gè)LED光源和2個(gè)光電傳感器組成的檢測裝置中，當(dāng)小球位置處于檢測裝置的中間時(shí)，兩個(gè)光電傳感器所接受的光照是等量的，所產(chǎn)生的電流也是相等的。經(jīng)過信號處理電路后，輸出信號為零。當(dāng)小球位置發(fā)生變化時(shí)，位置檢測電路將產(chǎn)生不等的電流，此時(shí)，信號處理電路輸出不為零。輸出的信號經(jīng)過控制器的處理，傳輸?shù)诫娏黩?qū)動(dòng)電路中，電流驅(qū)動(dòng)電路隨即產(chǎn)生合適的電流來調(diào)整小球的位置，使小球恢復(fù)到平衡位置。

2 磁懸浮小球模型數(shù)學(xué)關(guān)系

在磁懸浮小球系統(tǒng)中，小球的位置與線圈的電感相關(guān)。由磁滯曲線可知，在線圈下面一定范圍內(nèi)小球所受電磁力與小球的位置呈線性關(guān)系。電感L與小球位置x的數(shù)學(xué)關(guān)系式［1］為:

式中:L1為無鋼球時(shí)的電感;L0為鋼球緊貼著電磁

在磁懸浮小球系統(tǒng)中，小球的重力與小球所受的電磁力平衡，所受的電磁力與重力的和等于重力加速度，線圈產(chǎn)生電磁力的數(shù)學(xué)關(guān)系式為:鐵時(shí)的電感增量;a為常數(shù)。系統(tǒng)的磁能W是線圈電流I和鋼球位置x的函數(shù)［1］:

式中:F為小球所受的電磁力;m為小球的質(zhì)量;R為線圈的電阻是計(jì)算量，N為線圈匝數(shù)，u

0為空氣磁導(dǎo)率，A為所受磁通量的面積;I為線圈電流;x為小球質(zhì)心到電磁鐵表面的磁極距離(近似看成小球位置x)。經(jīng)拉普拉斯變換之后，可得:

當(dāng)線圈中電流為I0時(shí)，所產(chǎn)生的電磁力與重力相等。式(6)中為線圈中的實(shí)際電流量，x0為小球的氣隙位置。X1(s)，F(xiàn)1(s)為式(5)中泰勒函數(shù)分解式第一級函數(shù)，由此可以推導(dǎo)出傳遞函數(shù)為:

根據(jù)根軌跡分析法，添加一個(gè)超前控制器，將根軌跡向負(fù)半軸移動(dòng)，通過挑選合適的增益值，將系統(tǒng)的控制時(shí)間設(shè)為0.1s，使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。

3 零重力小球系統(tǒng)仿真

根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，在MATLAB中建立相應(yīng)的模型，系統(tǒng)在超前控制器的控制下，磁懸浮小球系統(tǒng)在0.1s時(shí)達(dá)到響應(yīng)平衡，如圖2所示。平衡位置大約在線圈下方15mm處。

圖2 帶超前控制器磁懸浮小球系統(tǒng)模型MATLAB仿真圖

4 零重力小球系統(tǒng)設(shè)計(jì)

磁懸浮小球系統(tǒng)電路部分的設(shè)計(jì)主要包含3個(gè)部分:小球位置檢測電路設(shè)計(jì)、控制器電路設(shè)計(jì)、電流驅(qū)動(dòng)電路的設(shè)計(jì)。

小球位置檢測電路如圖3所示。將小球置于兩個(gè)光電傳感器中間，當(dāng)小球不處于中間時(shí)，兩個(gè)光電傳感器接受到的信號不等，隨著位移信號的變化，在電路中產(chǎn)生的電流信號也在變化，小球的位置可以精確地測量出來。

圖3 小球位移檢測系統(tǒng)電路圖

控制器的作用是進(jìn)行信號處理。本文采用超前控制器，其電路如圖4所示。

圖4 超前控制器電路圖

假設(shè)運(yùn)算放大器為理想放大器

式中:K為控制器增益;T為控制器系數(shù)。由式(11)可以推算出控制器的參數(shù)為:R1=0.66kΩ;R2=100kΩ;C1=100μF;C2=100nF。

考慮到運(yùn)算放大器的最大輸出電流只有20mA［4］，運(yùn)算放大器的輸出電壓最大只有10V，因此本文利用一個(gè)高精度高電壓的運(yùn)算放大器將電流信號放大10倍，電壓信號調(diào)整到40V，這樣導(dǎo)通控制線圈可以產(chǎn)生足夠的電磁力來平衡小球的重力。電流驅(qū)動(dòng)電路如圖5所示。

圖5 電流驅(qū)動(dòng)電路圖

磁懸浮小球系統(tǒng)的搭建包括兩個(gè)部分:電子電路部分和機(jī)械結(jié)構(gòu)部分。在制作電子電路時(shí)，盡量挑選阻值精度高的元器件，在運(yùn)算放大器的電源輸入端添加濾波電容，使系統(tǒng)有比較穩(wěn)定的信號輸出。在機(jī)械結(jié)構(gòu)部分，必須保持2個(gè)LED和2個(gè)光電傳感器的中心點(diǎn)在電磁線圈中心下方15mm處，同時(shí)，必須保持2個(gè)LED和2個(gè)光電傳感器保持在相同的維度上。系統(tǒng)搭建完成之后，必須對系統(tǒng)進(jìn)行檢驗(yàn)，保證系統(tǒng)在沒有輸入時(shí)，系統(tǒng)的輸出為零。在本系統(tǒng)中，鋼球質(zhì)量約為3.5g，懸浮距離約為15mm，小球懸浮時(shí)電磁鐵線圈電流約為200mA。

5 結(jié)束語

本文詳細(xì)分析了磁懸浮小球控制系統(tǒng)的原理，建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，利用根軌跡分析法判定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行完整的數(shù)學(xué)關(guān)系仿真，通過添加超前控制器，使系統(tǒng)達(dá)到平衡。此磁懸浮小球控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了鋼球的穩(wěn)定懸浮，為以后的磁懸浮導(dǎo)軌的研究奠定了基礎(chǔ)。但在這個(gè)系統(tǒng)中，許多參數(shù)都僅僅具有單一性，當(dāng)系統(tǒng)中的一個(gè)參數(shù)改變時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)就必須重新設(shè)計(jì);在電磁鐵線圈中通過電流時(shí)，線圈的發(fā)熱問題較為嚴(yán)重，影響系統(tǒng)的長時(shí)間運(yùn)行，后續(xù)研究將通過添加永磁體來增加電磁力，以減少電量的消耗。

［1］ 王義進(jìn)，席文明.磁懸浮球控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)研究［J］.計(jì)算機(jī)測量與控制，2007，15(5):608 －609，634.

［2］ Robert Hoenl.Controller Design Using Root Loci Technique［M］.Furtwangen:Hochshule Furtwangen University Press，2011.

［3］ Katsuhiko Ogata.Modern Control Engineering［M］.5th edition.London:Prentice Hall，2010.

［4］ Winfield Hill，Paul Horowitz.The Art of Electronics［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1989.