☉四川省宣漢縣中小學(xué)教學(xué)研究室 趙緒昌

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)

☉四川省宣漢縣中小學(xué)教學(xué)研究室 趙緒昌

美國著名心理學(xué)家奧斯貝爾曾經(jīng)說過：“如果要將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況去進(jìn)行教學(xué).”《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上.”調(diào)查、分析、研究、遵循學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)，對于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)具有重要意義.下面以“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)”舉例說明.

一、關(guān)注學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)是實(shí)施有效教學(xué)的根基

案例1“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)片斷.

老教材在橢圓與雙曲線中要學(xué)習(xí)第二定義，我們知道：按第二定義，當(dāng)0＜e＜1時，軌跡是橢圓；當(dāng)e＞1時，軌跡是雙曲線；那么e=1時，軌跡又是什么呢？所以拋物線概念的引出不必花太多工夫，可以開門見山地直奔主題.但是新教材刪除了第二定義，所以引出拋物線的概念就變得相當(dāng)困難，有的教師把握不準(zhǔn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》和《學(xué)科指導(dǎo)意見》，就或多或少地增加了第二定義的內(nèi)容，拋物線的教學(xué)仍然與老教材的教法一樣；有的教師為了能夠上好拋物線，也增加了第二定義的教學(xué).這種做法“方便”了教學(xué)，卻加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，筆者認(rèn)為實(shí)不可取.

那么到底怎樣設(shè)計(jì)教學(xué)呢？先看看教科書中的導(dǎo)語：“我們知道，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，而且研究過它的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸等問題.那么，拋物線到底有怎樣的幾何特征？它還有哪些幾何性質(zhì)？”教科書中的這段導(dǎo)語給了筆者一個啟發(fā)——從學(xué)生已有的知識誘導(dǎo)出新概念.因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)具備橢圓、雙曲線、初中層面拋物線的知識，從中挖掘分析，筆者對拋物線的概念教學(xué)進(jìn)行了如下設(shè)計(jì).

1.在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問題，使學(xué)生初步體驗(yàn)新概念的一個具體背景

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線的有關(guān)知識，請同學(xué)們嘗試解決下面問題：

生1：我利用平方化簡，但沒有做出來.

師：該同學(xué)通過平方化簡肯定可以得到答案，只是還需要一些時間，相信他一定能成功！

生2：上面式子表示兩點(diǎn)距離之和，根據(jù)橢圓定義可知，P點(diǎn)軌跡是橢圓.

眾生：是的.

眾生：雙曲線.

師：是雙曲線嗎？

生3：應(yīng)該是雙曲線的上半支.

由于問題1的解決對問題2有著提示和啟發(fā)作用，所以問題2幾乎所有學(xué)生都不再化簡了，自然地聯(lián)想到利用定義的解法來解決，于是教師順勢拋出問題3.

眾生：從條件的含義看，似乎不是橢圓，也不像雙曲線，不太清楚.

師：到底軌跡是什么，學(xué)生1解問題1的方法會給我們很好的啟示.

學(xué)生再次化簡，片刻后，一致得到軌跡是拋物線，因?yàn)樗姆匠淌浅踔幸呀?jīng)學(xué)過.

2.剖析問題3條件的幾何意義，并推斷是否具有一般性結(jié)論

師：若把條件中的“2”改為其他數(shù)字（非零），結(jié)果如何？

眾生：軌跡仍然是拋物線，只是方程中的數(shù)字不同而已.

師：那么條件所表示的幾何意義又是什么呢？

3.類比推廣，從具體實(shí)例中抽象出拋物線的概念

師：從問題3的分析中我們可以看出，滿足這種條件的軌跡都是拋物線.于是我們拋棄這些具體的位置和數(shù)據(jù)外殼，得出拋物線的定義.哪位同學(xué)能根據(jù)上面的等式，說出拋物線的定義.

生5：到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.

師：不太準(zhǔn)確，應(yīng)該添上“平面內(nèi)”三字，完整的定義請同學(xué)們看課本.我們再用動畫來演示一下這個定義下的軌跡.

教學(xué)隨想：對學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的關(guān)注，是尊重學(xué)生、理解學(xué)生的標(biāo)志.如果對學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)視而不見，把學(xué)生當(dāng)成一張白紙，依然按部就班地照教材講授，那么學(xué)生就會對學(xué)習(xí)失去興趣，課堂教學(xué)效率必然降低.案例中，教師從學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，由易到難設(shè)計(jì)了3個問題，讓學(xué)生在問題解決的過程中對比發(fā)現(xiàn)，逆推出拋物線的定義，再結(jié)合多媒體動畫的演示，給學(xué)生留下了深刻的印象.事實(shí)上，在探討中也讓學(xué)生領(lǐng)悟了一些解析幾何的思想方法，如根據(jù)定義判斷軌跡、運(yùn)算化簡求軌跡等.本課學(xué)生對拋物線的來龍去脈清清楚楚，不僅知其然，而且知其所以然.

二、掌握學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)是實(shí)施有效教學(xué)的前提

案例2“等比數(shù)列性質(zhì)的探究”的教學(xué)片斷.

師：大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，并通過類比歸納出了等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，現(xiàn)在我們從等差數(shù)列的性質(zhì)出發(fā)來探究等比數(shù)列的性質(zhì)，請大家先完成課本（人教A版必修5）中的習(xí)題2.2B組第2題：已知等差數(shù)列｛a｝的公差為d，求證：，并思考在等比數(shù)列中會

n有怎樣的類似結(jié)論？

生：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式很容易得出am-an=（m-n）d，形式上稍作調(diào)整即可.如果將兩者之差調(diào)整為兩者之比，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以得出如下結(jié)論：設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，則

師：這位同學(xué)能夠很好地將等差數(shù)列中的“差”與等比數(shù)列中的“比”聯(lián)系起來并進(jìn)行類比，發(fā)現(xiàn)并歸納出合理的結(jié)論，事實(shí)上它就是課本習(xí)題2.4B組中的第1題，下面請大家完成課本第39頁練習(xí)第5題：

已知｛an｝是等差數(shù)列.

（1）2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9呢？為什么？

（2）2an=an-1+an+（1n＞1）是否成立？據(jù)此能得出什么結(jié)論？2an=an-k+an+k（n＞k＞0）是否成立？你又能得出什么結(jié)論？在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？

生：從等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)出發(fā)：

（1）由a5=a3+2d，a5=a7-2d，得2a5=a3+a7；同理可得2a5= a1+a9.

（2）由于an-1，an，an+1（n＞1）成等差數(shù)列，則2an=an-1+an+1；同理，若an-k，an，an+k（n＞k＞0）成等差數(shù)列，則2an=an-k+an+k，可以從特殊到一般的過程中發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律：當(dāng)?shù)炔顢?shù)列中的項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列時，對應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列.

類似地，若｛an｝是等比數(shù)列，則：

師：這位同學(xué)能夠從等差數(shù)列性質(zhì)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，并遷移到等比數(shù)列中，歸納出很完美的性質(zhì)，事實(shí)上它就是課本第53頁練習(xí)第4題，我們不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)缺葦?shù)列中的項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列時，對應(yīng)的項(xiàng)也成等比數(shù)列.下面，我們一起來解決習(xí)題2.4B組第3題：

就任一等差數(shù)列｛an｝，計(jì)算a7+a10和a8+a9，a10+a40和a20+ a30，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律？你能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作一般化的推廣嗎？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系角度來分析這個問題，在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？

師生一起利用等差數(shù)列的定義得出a7=a8-d，a10=a9+ d，從而得到a7+a10=a8+a9；同理a10+a40=a20+a30，并歸納出一般結(jié)論：已知等差數(shù)列｛an｝，若m+n=p+q（m，n，p，q∈N+），則am+an=ap+aq.

由于等差數(shù)列的圖像是某一直線上的一系列點(diǎn)，若從函數(shù)的角度來分析，就可借助一次函數(shù)的圖像，利用線段的中點(diǎn)或梯形的中位線來解釋此結(jié)論.

我們可以自然地類比到等比數(shù)列并得到如下類似的結(jié)論：在等比數(shù)列 ｛bn｝中，同樣可以得出b7b10=b8b9，b10b40=b20b30，一般地，若滿足m+n=p+q（m，n，p，q∈N+），則bm·bn=bp·bq.若從函數(shù)的角度來分析，就可借助指數(shù)函數(shù)的圖像，并結(jié)合指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)來解釋此結(jié)論.

……

教學(xué)隨想：認(rèn)識即是一種以主體已有的知識和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動的建構(gòu)活動.案例中，教師創(chuàng)設(shè)遷移的教學(xué)情境，根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)：等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其性質(zhì)等，學(xué)生運(yùn)用已掌握的知識進(jìn)行類比歸納，探究出了等比數(shù)列的一系列性質(zhì).教師在設(shè)計(jì)情境時，能夠抓住學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，使學(xué)生在教學(xué)情境與學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)合中產(chǎn)生類比與遷移，自然而然地領(lǐng)悟?qū)W習(xí)內(nèi)容、探索數(shù)學(xué)規(guī)律.由此可以看出：在新概念的建立與新知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)起著不可低估的作用.

三、發(fā)展學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)是實(shí)施有效教學(xué)的保證

案例3“函數(shù)概念”的教學(xué)片斷.

師：今天我們談?wù)摰脑掝}是函數(shù).大家在初中已學(xué)過函數(shù)，你能舉幾個函數(shù)的具體例子嗎？

生1：年數(shù)增長，年份和年齡.

師：誰是誰的函數(shù)？

生1：年齡是年份的函數(shù).

生2：電壓一定，電流是電阻的反比例函數(shù).

生3：買東西，價格隨買東西的增多而增多.

師：是價格還是什么？

生3：哦，價格一定，總價隨買東西的增加而增加.

生4：氫氧化鈣的溶解度隨溫度的升高而升高——一次函數(shù).

師：老師也舉個例子.……上海證交所股指圖，股票指數(shù)是時間的函數(shù)嗎？

生（齊答）：是！

師：你怎么判斷這就是函數(shù)？（停頓）大膽舉手說說.

生5：每一個自變量取值都有唯一對應(yīng)的數(shù).

師：自變量是什么？

生5：時間.哦，每一個時間都有一個股票價格指數(shù)與之對應(yīng).

師：她講得很好.先找自變量，再看有幾個與之對應(yīng)的數(shù)，如果是唯一的，就是函數(shù).下面看另一個例子.這是某射擊運(yùn)動員打靶的序數(shù)與環(huán)數(shù)的對應(yīng)表.這是一個函數(shù)嗎？

序號 1 2 3環(huán)數(shù) 8 8 8

生：（小聲）是.

師：聲音不大，說明不敢確定.要判斷是否為函數(shù)，需要從哪幾個方面說明？

生：解析式.

師：一定要解析式嗎？

生6：不一定.對每一個自變量，有唯一的數(shù)與之對應(yīng)就可以.對每一個序號（數(shù)），都有唯一的一個環(huán)數(shù)與之對應(yīng).

師：如果第三次脫靶了，是不是函數(shù)？為什么？

生7：是.脫靶是0環(huán)，還是有唯一的數(shù)與之對應(yīng).

師：有不同意見嗎？

生8：0環(huán)和脫靶不一樣，這時沒有記錄，因此沒有與之對應(yīng)的數(shù).

師：兩種意見.思考一下，矛盾是怎么產(chǎn)生的？

生9：矛盾在于脫靶是沒有記錄還是為0環(huán).如果是0環(huán)，那就是函數(shù)，否則不是.

教學(xué)隨想：案例中，學(xué)生對初中的函數(shù)定義有記憶，但有的已經(jīng)有些模糊，特別是對“函數(shù)值隨自變量的變化而變化”的把握不到位.老師在這樣的地方展開“追問”，有效地強(qiáng)化了概念理解.學(xué)生舉的例子局限于“有解析式的函數(shù)”，這對引入“對應(yīng)說”有不利影響.因此，老師及時補(bǔ)充上述兩個例子，并提問“你怎么判斷這就是函數(shù)？”意在引導(dǎo)學(xué)生“用概念思維”.當(dāng)學(xué)生給出抽象的回答后，再追問“自變量是什么？”在學(xué)生回答“每一個時間都有一個股票價格指數(shù)與之對應(yīng)”后，及時指出“先找自變量，再看有幾個與之對應(yīng)的數(shù)，如果是唯一的，就是函數(shù)”，這就強(qiáng)化了用概念作判斷的“操作規(guī)范”.對于表格是否表示函數(shù)，學(xué)生的反應(yīng)是猶豫的.老師以“要判斷是否為函數(shù)，需要從哪幾個方面說明”為引導(dǎo).學(xué)生說“解析式”，正好進(jìn)入“圈套”，老師以“一定要解析式嗎”繼續(xù)推動思考，使學(xué)生自己得出“對每一個自變量，有唯一的數(shù)與之對應(yīng)就可以”的結(jié)論.然后，又以“脫靶是否表示函數(shù)”的問題情境引發(fā)學(xué)生討論，進(jìn)一步明確了“對于每一個自變量，都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)”這一函數(shù)的本質(zhì)屬性，思維從從膚淺走向深刻.每個學(xué)生都有自己的生活經(jīng)驗(yàn)和知識基礎(chǔ)，面對同一問題都有各自不同的思維方式，教師只有充分意識到這一點(diǎn)，才能最大限度地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性.

四、豐富學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)是實(shí)施有效教學(xué)的追求

案例4 在理科數(shù)學(xué)選修2-1“曲線的交點(diǎn)”一節(jié)，教師出示了一道例題：拋物線y2=4x與直線y=x-1相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長.

（教師留了3～4分鐘時間讓學(xué)生思考，之后交流）

生2：解方程組時消去x，得y2-4y-4=0，再求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)（略）.

生3：不需要求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，只要設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），得AB=將y=x-1代入，得再利用根與系數(shù)關(guān)系x1+x2=6，x·1x2=-1，獲解.

生4：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），在直線y=x-1上，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用拋物線的定義知，AB=x1+x2+ p，利用根與系數(shù)關(guān)系x1+x2=6可求解.

師：你們評價一下，哪一種解法更簡單，為什么？

生5：利用拋物線定義最簡單，在解方程組時，只要求得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，減少了許多計(jì)算；同時利用拋物線定義比運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式容易，既不需要將y1，y2轉(zhuǎn)化為x1，x2，也不需要為了求（x1-x2）2而配方了.

師：說得很好！如果把直線改為y=x+1，還能用拋物線定義嗎？

生（不少）：不能！

師：利用定義，是要有條件的.你們能否說出生3與生1兩種解法的區(qū)別與聯(lián)系嗎？

生6：生3和生1都是先消元，但生1要求出y，而生3不用求y，是把目標(biāo)式整體轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的式子，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

此時，學(xué)生7突然站起來就說：解方程組消去x后，利用根與系數(shù)關(guān)系y1+y2=4，AB=x1+x2+p=y1+1+y2+1+p=8（這樣的情況不在教師的預(yù)設(shè)之中）.

師：萬變不離其宗，各種方法的共同之處是什么？

生7：都需要解方程組.

師：請大家一起品嘗一下每一種解法的優(yōu)劣？

生8：解方程組求兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)，如果這兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)非常簡單，這樣做就很方便，否則會很麻煩.

生9：解方程組是消去x還是消去y，不同的問題需要不同對待，“簡單”只是一個方面，它與我們的需求有關(guān).

生10：利用定義求弦長雖然簡單，但它必須是過焦點(diǎn)的弦才能用；在方程有實(shí)數(shù)根的前提下，通過根與系數(shù)關(guān)系和兩點(diǎn)間距離公式求弦長，雖然有些煩瑣，但它是求弦長的一般方法.

師：運(yùn)算問題一直是解析幾何的棘手問題，追求簡單化是我們的方向之一，但消元、轉(zhuǎn)化等思想方法是解決這一類問題的通性通法，切不可丟.

教學(xué)隨想：案例中，教師考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，以學(xué)生為主體，致力于培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的自主性和參與性，設(shè)計(jì)具有探究空間的問題，通過一題多解，在于訓(xùn)練知識、方法，但教師不止步于此，又拋出問題：請?jiān)u價一下哪一種解法更簡單，為什么會簡單？給學(xué)生評價的機(jī)會.學(xué)生就需要對比幾種方法的優(yōu)劣，給出理由；經(jīng)過教師的追問，脫離了束縛之后的學(xué)生，往往會發(fā)現(xiàn)一些教師預(yù)設(shè)之外的新的東西，還給教師不少精彩的回答.生9指出與需求有關(guān)，說得好極了，體現(xiàn)了辯證法的思想；生10的回答發(fā)現(xiàn)求弦長的一般方法和特殊方法，抓住了事物的本質(zhì)屬性.把評價還給學(xué)生，每個學(xué)生都能有一點(diǎn)獨(dú)特見解，能在課堂舞臺上張揚(yáng)一番，使得課堂變成有意義的學(xué)習(xí)的舞臺.讓學(xué)生參與評價的過程，就是給學(xué)生一次感悟的機(jī)會，有了悟性、執(zhí)行操作，就容易獲得成功.把評價還給學(xué)生，還能提升學(xué)生的主人翁意識，更好地激發(fā)其學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性.

五、提升學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)是實(shí)施有效教學(xué)的目標(biāo)

案例5 拋物線y=kx2-7x-7和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍為__________.

（學(xué)生思考2分鐘后回答）

師：這個結(jié)果……（故意拉長音）

生2：因?yàn)閳D像是拋物線，所以y=kx2-7x-7是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)k值不能等于0，所以k且k≠0.

師：生2考慮問題細(xì)膩，生1得向生2看齊啊！

師：從二次函數(shù)和相對應(yīng)的一元二次方程的聯(lián)系中，誰能試著變化一下這個題呢？

生3：一元二次方程kx2-7x-7=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為________.

生4：二次函數(shù)和相對應(yīng)的一元二次方程能相互轉(zhuǎn)換，結(jié)果是相同的，且k≠0.

生5：方程kx2-7x-7=0有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為________.

師：大家仔細(xì)看下生5和生3的兩個題，在已知條件上有什么不同？結(jié)果上有無區(qū)別？

生6：“有兩個實(shí)數(shù)根”意味著這個方程是一元二次方程，所以結(jié)果仍不變.

師：生6注意到問題中的隱含條件，又分析得到位.那么還有……（長音）

生7：方程kx2-7x-7=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為________.

師：注意關(guān)鍵字、詞的變化，可不要掉入陷阱啊！

生8：從表面上看，kx2-7x-7=0是一元二次方程，但沒有注明二次項(xiàng)系數(shù)k值是否等于0，也沒有“兩個”實(shí)數(shù)根的字眼，因此，還有可能為一元一次方程，如此允許k= 0，故此k

師：生8從問題的現(xiàn)象到本質(zhì)分析得很透徹，值得大家去學(xué)習(xí)啊！

生9：我將“拋物線”換成“函數(shù)”，改成：函數(shù)y=kx2-7x-7的圖像和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍為________.

師：改得好，誰能說一說他和哪位學(xué)生的“考題”有聯(lián)系？

生10：生9的考題和生7的考題咋一看考查兩個知識，但解法是相通的.

師：說得太好了.大家還能……（拔高了聲調(diào)，帶有挑戰(zhàn)性）

生11：老師，我想把上題的“x軸”換成“坐標(biāo)軸”，改成：函數(shù)y=kx2-7x-7的圖像和坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍為________.

師：說句實(shí)話，老師也沒想到這種情況，這名學(xué)生這樣去改，很有勇氣.那我們也拿出勇氣來挑戰(zhàn)一下吧！

生12：這個函數(shù)無論是一次還是二次，其圖像和y軸都有交點(diǎn)，允許k=0，所以答案為k

師：大家還有不同的看法嗎？

生13：生12還有一種情況沒有考慮到，拋物線和x軸沒有交點(diǎn)的情形也是符合題意的，即k.故此，k取全體實(shí)數(shù).

師：大家相互啟發(fā)，相互補(bǔ)充，使一道題派生出若干道題來.同學(xué)們，一個人橫越太平洋，是很難的，若大家共同揚(yáng)帆啟程，則是能穿越的.請同學(xué)們課后繼續(xù)搜集“這樣”的類型題，爭取做一個題會解一類題.

教學(xué)隨想：美國教育家布魯巴克指出：“最精湛的教學(xué)藝術(shù)，遵循的最高準(zhǔn)則是讓學(xué)生自己提出問題.”從某種意義上講，發(fā)現(xiàn)和提出一個有價值的問題就是創(chuàng)新，有時甚至比解決問題本身更為重要.讓學(xué)生帶著問題走進(jìn)教室，再讓學(xué)生帶著問題離開教室，應(yīng)該是有效課堂的標(biāo)志之一.案例中，教師通過“從二次函數(shù)和相對應(yīng)的一元二次方程的聯(lián)系中，誰能試著變化一下這個題呢？”“大家仔細(xì)看下生5和生3的兩個題，在已知條件上有什么不同？結(jié)果上有無區(qū)別？”“改得好，誰能說一說他和哪位學(xué)生的‘考題’有聯(lián)系？”“大家還有不同的看法嗎？”等問題的引導(dǎo)，學(xué)生積極思考、勇于交流，使一道題派生出了若干題來，實(shí)現(xiàn)了做一個題會解一類題，達(dá)到了“減負(fù)增效”的效果.學(xué)生已經(jīng)清楚的知識不必再講，學(xué)生不清楚的、未知的知識在教學(xué)中應(yīng)作為關(guān)鍵點(diǎn)來突破，從而使教學(xué)實(shí)現(xiàn)了從以課本、教師為中心到以學(xué)生的學(xué)習(xí)、發(fā)展為中心的轉(zhuǎn)化.所以，教師只有了解了學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)，意識到學(xué)生已有知識和經(jīng)驗(yàn)的重要性，才能真正做到有的放矢，實(shí)現(xiàn)有效教學(xué).

當(dāng)然，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，遠(yuǎn)不止上述這些方面，限于篇幅，不再贅述.F