☉江蘇省海安縣曲塘中學 王正余

數(shù)學教學的最終目的是要培養(yǎng)學生解決問題的能力.波利亞在解題中談到：“提高學生問題解決能力的關(guān)鍵是讓學生能夠清晰地透視問題的本質(zhì)！問題的本質(zhì)是如何找到的？那就離不開三件事，其一是分析問題，即對問題進行解剖，了解條件和所需結(jié)論之間的關(guān)系和鏈接，找到一個或多個突破口進行嘗試；其二是透視本質(zhì)，即在分析問題的基礎上找到問題的本質(zhì)，站在更高的地方來看問題解決需要聯(lián)系的數(shù)學知識和解決方法，能夠想到存儲在腦海中最基本的數(shù)學知識和基本技能；最后是轉(zhuǎn)化解決問題，即將陌生問題進行合理的轉(zhuǎn)化劃歸，每一個陌生的數(shù)學問題都需要轉(zhuǎn)化為熟悉的模式進行求解.”波利亞的解題經(jīng)驗告訴我們，數(shù)學問題解決的三個步驟.在三個步驟中，筆者認為最重要的是第二個環(huán)節(jié)，即如何解剖問題，認知問題的本質(zhì)！

華師大張奠宙教授說起過一個解題的案例，讓人忍俊不禁：一個三層飯店的電線壞了，因為電工請假幾天，于是大家束手無策暫時查不出哪里出了問題，于是用電源器械一個一個的試，終于找到了問題，只不過花了半天時間.其實，若電工查只需要用歐姆表將導線之間連接，看線路的電阻值就可以查詢問題，區(qū)區(qū)幾分鐘就可以解決.這個案例告訴我們，電工知道反應電路問題最本質(zhì)的原因，而門外漢自然是只能用窮舉的方式來解決問題.筆者認為，這正是我們學生對于現(xiàn)階段數(shù)學學習問題解決中出現(xiàn)的情況類似，下文筆者談談如何透視問題本質(zhì)，培養(yǎng)問題解決能力.

一、通過模式識別透視本質(zhì)

模式識別是數(shù)學解題教學中最基本的運用，高考問題的解決也是對學生進行長時間的模擬訓練，模式識別是操作后進行的應試.北師大張英伯教授就模式識別的優(yōu)點進行過指出：“模式識別是中學數(shù)學解題教學中比較高效有效的模式，它把學生對于數(shù)學知識將面臨的問題考向進行了甄別和歸類，對于形式化思維比較弱的中學生而言是有好處的，也有利于應試穩(wěn)定性.”比如，高中數(shù)學中的解析幾何一章，是模式識別觀察問題本質(zhì)較為顯著的章節(jié).筆者思考：解析幾何問題很少用來壓軸，為什么？正是因為其問題本質(zhì)通過模式識別容易掌握，思維考查量不大，其最難的部分來源于數(shù)學運算能力的考查，因此解析幾何問題的本質(zhì)是比較容易把握的，解析幾何問題解決能力是可以通過訓練得到提升的.

具體談談解析幾何，在解析幾何一章的教學中，一類重點、難點同時也是考試熱點的就是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.這類問題的解決往往有一個固定的套路，那就是聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元后使用判別式、韋達定理等工具.但是這類問題傳統(tǒng)解法的一個最大特點是運算量比較大，而且一般還綜合一個或更多的字母參數(shù)，所以學生對這類題特別“感冒”，然后就尋思著特殊方法和技巧，一心想走捷徑.針對這種現(xiàn)象，筆者采取的招數(shù)是讓他們“打擂臺”：女生用常規(guī)的套路演算，男生則找捷徑，讓他們嘗到“絞盡腦汁，傷透腦筋”，最終以失敗而告終的苦果.

教師：這是一道高考改編題，主要是對于直線和圓錐曲線位置關(guān)系的考查.

學生眾：（很關(guān)注，迫不及待的神情）讀題.

教師：很經(jīng)典的問法，很古老的問題：直線過定點.

學生眾：有些失望.

教師：很明顯我們應該先求出直線MN的方程.

學生眾：更大的失望.

學生A：（與同桌竊竊私語）這樣的問題似乎有些陳舊，不新鮮.

教師：（看到這種形勢，又聽到學生A的這句話，話鋒一轉(zhuǎn)）有的同學輕視老一套，總想走捷徑.俗話說得好，“條條大路通羅馬”.我們今天就來一個老題新解法，比比誰先到羅馬.咱們女同學吃點虧，踏踏實實走老路，男同學好好發(fā)揮你們的智慧，找找捷徑試試看.

學生眾：頓時氣氛又高漲起來.女同學忙碌著，男同學有畫圖的，有凝神苦思的，有緊鎖雙眉的……（時間在一分一秒地過去，沙沙聲不絕于耳）

學生C（男生）：??！還沒有解答完畢！

教師：感覺怎樣？

學生D（女生）：運算是繁了一些，但是很有效.

教師：遇到問題多問一個為什么，試著多找?guī)讞l路是應該的，但過分追求就等于舍本逐末.而考試又是在規(guī)定時間內(nèi)解題，所以捷徑在有限的時間內(nèi)一旦難于尋找，不妨回到最基本的方式.總之，還是這句話，要重視通性通法（即解析幾何問題最一般的模式處理方式）.

說明：解析幾何問題最根本的處理方式自然是聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，利用題中條件，解決直線方程，解決直線過定點.解析幾何問題最難的并不是思維方式，而是在合理的模式識別中進行正確的代數(shù)運算，以及保持清醒的計算頭腦、長時間訓練的熟練程度，正是有了這樣的問題本質(zhì)的透視，才能給解析幾何問題的解決帶來更高的效率.

二、通過知識積累透視本質(zhì)

知識重在積累、重在經(jīng)驗.我們知道教材中有很多概念、性質(zhì)、定理，但是用這些來解決問題還不夠，現(xiàn)階段的應試還需要對于知識本質(zhì)的理解和熟練.大量調(diào)查研究表明，要在中學應試中取得較為優(yōu)秀的成績，僅理解數(shù)學概念、性質(zhì)是遠遠不夠的.還需要對于很多知識進行額外的積累.以數(shù)學為例，我們都知道等差數(shù)列最基本的通項公式和求和公式，但是學生對于等差數(shù)列的認知卻僅限于這幾個基本公式，很多學生并不知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，也沒將等差通項公式的函數(shù)本質(zhì)和求和公式的函數(shù)本質(zhì)進行知識的積累（教材中并未對這些公式進行函數(shù)本質(zhì)的挖掘），因此，需要不斷積累增強問題理解的本質(zhì)，進行培養(yǎng)問題解決的能力.

案例2：關(guān)于等差數(shù)列前n項和的最值問題，筆者設計了如下題組.學生通過解題回顧，總結(jié)規(guī)律，輕松習得知識.

題組一：等差數(shù)列的公差為d，a1=-24，從第10項開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍為________.

題組二：等差數(shù)列的公差為d，a1=-24，從第10項開始為正數(shù)，試分析其前n項和Sn的單調(diào)性；有無最值？若有，是最大值還是最小值？

學生眾：在上一題的基礎上，學生很快抓住了問題的實質(zhì)，輕松獲解.

題組三：等差數(shù)列｛an｝中，an=24-2n，試問其前n項和Sn有最值嗎？若有，是最大值還是最小值？當n為何值時取得？

學生眾：在上兩題的基礎上，迅速得出a12=0，a11＞0，a13＜0，從而得出（Sn）min=S11=S12.

教師：請回顧以上解題過程，歸納等差數(shù)列前n項和Sn，何時有最值？是最大值還是最小值？

學生眾：討論片刻，達成共識.

學生甲：若等差數(shù)列的首項a1＞0，公差d＜0，則前n項和Sn有最大值；若等差數(shù)列的首項a1＜0，公差d＞0，則前n項和Sn有最小值.問題的關(guān)鍵是尋找等差數(shù)列的正數(shù)項和負數(shù)項的分界.

說明：等差數(shù)列的通項公式本質(zhì)是一次函數(shù)，求和公式本質(zhì)是必經(jīng)過原點的二次函數(shù)（公差不為0時），這些經(jīng)驗積累有助于學生在解決相關(guān)問題時迅速調(diào)用其本質(zhì)模型解決問題，增強了問題解決的能力.

三、通過數(shù)學思想透視本質(zhì)

數(shù)學思想是認知數(shù)學問題本質(zhì)的又一途徑，也是課程標準中一直致力于學生思維培養(yǎng)的終極目標.培養(yǎng)學生問題解決能力，要讓學生從問題中找到解決的最好思路，需要站在更高的視角來看待問題.課程制定組組長東北師大史寧中教授在一次講解課程標準中指出：“數(shù)學解題學到最后是學思想方法，有思想方法就可以認識問題的本質(zhì)，就可以比較輕松地解決問題.”中學數(shù)學有很多思想方法，但是比較重要的還是轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等少數(shù)幾個.筆者認為，想要更好地提高學生問題解決的能力，也可以從思想方法的視角去透視數(shù)學問題的本質(zhì).

（1）證明：a＞0；

（2）若z=a+2b，求z的取值范圍.

解析：（1）求函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x）=ax2-2bx+2-b，由函數(shù)f（x）在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值，知x1、x2是f′（x）=0的兩個根，所以f′（x）=a（x-x1）（x-x2）.當x＜x1時，f（x）為增函數(shù)，f′（x）＞0，由x-x1＜0，x-x2＜0，得a＞0.

說明：本題第（2）問是從根的關(guān)系入手解決代數(shù)式z＝a+2b，通過簡單分析我們可以知道，其實質(zhì)是線性規(guī)劃問題，是利用圖形的方式解決代數(shù)問題.這些問題只要學生在得到類似的三組導數(shù)關(guān)系式時就可以比較輕松地感受到數(shù)形結(jié)合思想的存在，其本質(zhì)線性規(guī)劃的使用，這樣的問題嘗試解決有助于問題解決能力的培養(yǎng).

總之，數(shù)學問題本質(zhì)有很多方面值得教師去挖掘和探索，只有將數(shù)學問題解決的本質(zhì)給予呈現(xiàn)，才有利于學生對于數(shù)學知識的理解和運用，才能真正培養(yǎng)其問題解決的能力.本文從三個方面進行了一些論述，以筆者自身的經(jīng)驗和認知做出了一些淺顯的描述，懇請讀者以筆者之磚進行更細致的探索.

1.武瑞雪.對中學數(shù)學建模教學的探討［J］.教學月刊，2012（12）.

2.朱永祥.再談數(shù)學思想方法的挖掘和運用［J］.中學數(shù)學（上），2013（2）.F