☉華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 周龍虎 李 青

數(shù)學(xué)教科書通常是由正文、例題和習題三部分有機組成的一個完整系統(tǒng)，例習題既是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，又是由例題→練習題→習題→復(fù)習參考題所構(gòu)成的有效鞏固數(shù)學(xué)知識的訓(xùn)練系統(tǒng).訓(xùn)練系統(tǒng)配備得好不好，直接影響到學(xué)生學(xué)習質(zhì)量的高低.本文以人民教育出版社（A版和B版）、北京師范大學(xué)出版社、江蘇教育出版社、湖南教育出版社等五個版本（以下簡稱人教A版、人教B版、北師大版、蘇教版、湘教版）的高中數(shù)學(xué)課程標準實驗教科書“數(shù)學(xué)5”（湘教版“數(shù)學(xué)4”）為對象，從文本的角度對以上五個版本新教材的訓(xùn)練系統(tǒng)數(shù)量、類型、素材、難度等方面進行比較，以期為教材修訂提供參考借鑒.

一、訓(xùn)練系統(tǒng)數(shù)量統(tǒng)計比較

表1 五套課標教材必修5“數(shù)列”訓(xùn)練系統(tǒng)的數(shù)量統(tǒng)計表

統(tǒng)計方法說明：按題號統(tǒng)計，其中明確指出小題號的分別按一題算.（下同）

可以看出，五套課標教材例題題量的配置差異較明顯（人教A版共20個例題，人教B版共25個例題，北師大版共35個例題，湘教版共38個例題，蘇教版共42個例題），最高（蘇教版）與最低（人教A版）相差22個例題.習題題量的配置差異則較?。和瑯邮翘K教版略高，其他四版較接近.在數(shù)列中，究竟一個課時的訓(xùn)練系統(tǒng)量多少才是恰當?shù)?，這與課程標準對這個內(nèi)容的要求有關(guān)，還有待我們在實踐中進一步摸索.

二、訓(xùn)練系統(tǒng)類型統(tǒng)計比較

對于訓(xùn)練系統(tǒng)的類型，按照不交叉分類和交叉分類同步進行，不交叉分類即分為選擇題、填空題和解答題三大類（以下稱三種類型）；交叉分類主要分為推斷題（包括口答題、是非題、判斷題、敘述題、舉例題、改錯題、作圖題、寫作題等）、計算題、證明題、應(yīng)用題（須有實際背景）、探究題（開放題和探索題）和技術(shù)題（利用計算機或計算器完成的題）六大類（以下稱六種類型）.

表2 五套課標教材必修5“數(shù)列”訓(xùn)練系統(tǒng)的三種類型統(tǒng)計比較

表3 五套課標教材必修5“數(shù)列”訓(xùn)練系統(tǒng)的六種類型統(tǒng)計比較

首先，五套課標教材的題型比傳統(tǒng)教材更豐富多樣，尤其是都注重應(yīng)用性和探究性題型，這些題型在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面各有側(cè)重，以下通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)和具體例子說明五套教材訓(xùn)練系統(tǒng)類型的一些特點.

1.適當增加了客觀性題型

選填題是各類考試常見的題型，在高考試題中占有較大比例，而以往教材中這些題型比較少見，導(dǎo)致了教學(xué)與考試的不協(xié)調(diào).五套課標教材在不同程度上適當增加了選擇題或填空題.從表2可以看出，其中選填題占總題量的比例分別為：9.4%（人教A版）、9.5%（人教B版）、29.1%（北師大版）、13.4%（湘教版）、3.9%（蘇教版）.相對而言，北師大版客觀題更多一些.事實上，選填題在培養(yǎng)學(xué)生的思維敏銳性、嚴密性和批判性等方面有其獨特的作用，課標教材中設(shè)置一定量的選填題是必要的，從數(shù)據(jù)看五套教材都很好地注意了這點.

2.傳統(tǒng)題型仍占主導(dǎo)地位

由表3可見，本章傳統(tǒng)題型（這里指的是證明題、計算題和推斷題）在五套教材中所占比例分別為：63%（人教A版）、78%（人教B版）、53%（北師大版）、78%（湘教版）、76%（蘇教版），都占了50%以上，相對而言，北師大版所占比例要低一些.但傳統(tǒng)題型中的證明題所占的比例相對小一些，人教A版占7.2%，人教B版占6.2%，北師大版占1.1%，湘教版占16.1%，蘇教版占2.0%，除了湘教版，其他四套教材都不足8.0%，可見，課標教材對學(xué)生證明能力的要求相對低一些.

3.重視應(yīng)用題，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力

應(yīng)用題能有效地培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)的知識解決實際生活、生產(chǎn)中的問題，讓學(xué)生感到所學(xué)的知識并非莫不可測，在現(xiàn)實生活中處處有它的身影.為了培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，五套課標教材均比較重視應(yīng)用題.應(yīng)用題所占比例分別為：27.1%（人教A版）、11.4%（人教B版）、38.9%（北師大版）、17.8%（湘教版）、15.6%（蘇教版）.本章設(shè)置的應(yīng)用題背景許多與銀行的相關(guān)業(yè)務(wù)有關(guān)，更貼近于生活，服務(wù)于學(xué)生.這也是對“注重素材的合理選取，強調(diào)數(shù)學(xué)與社會生活的聯(lián)系”編寫特色的具體體現(xiàn).

4.探究性題型多樣化，與現(xiàn)行高考試題接軌

通過對問題的探究，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、總結(jié)有關(guān)規(guī)律，有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力.從探究性題目來看，人教A版占8.3%，人教B版占7.9%，北師大版占8.4%，湘教版占3.4%，蘇教版占8.2%.總的來看，探究性題型占的比例有所增加，除了湘教版略低外，其他均為8%左右.并且出現(xiàn)了不同類型的探究性問題，如存在型、操作型、開放型等探究性題型在五套課標教材中各有體現(xiàn).

5.技術(shù)題要求不高，多數(shù)為選修處理

本章五套教材對計算的要求不高，主要體現(xiàn)的是等差（等比）數(shù)列通項公式及求和公式的代入與應(yīng)用，故技術(shù)題占的比例不大，其中人教A版占1.1%，人教B版占2.6%，湘教版占0.7%，北師大版與蘇教版均無出現(xiàn)此類題型，可見人教B版對學(xué)生計算器的使用有一定的要求，其他均做選修處理.

三、訓(xùn)練系統(tǒng)難度統(tǒng)計比較

對訓(xùn)練系統(tǒng)橫向比較的難度因素歸結(jié)為“五量四級”，主要從知識量、要求量、背景量、運算量和推理量等五個因素的難度指標和相應(yīng)四個等級水平進行刻畫和比較（詳見表4、表5中的“因素”欄目），再通過計算加權(quán)平均值對綜合難度進行比較.按照此“五量四級”模型，從5個維度對本章進行指標量化統(tǒng)計.

表4 五套課標教材訓(xùn)練系統(tǒng)的例題難度量化指標

表5 五套課標教材訓(xùn)練系統(tǒng)的習題難度量化指標

從表5可以看出，五套教材習題的5個難度指標差異明顯，其中北師大版、湘教版、蘇教版對運算量及推理量的要求較高，尤其對于推理量的要求明顯高于人教A、B版.而人教A、B版的5個難度指標除了對背景量的要求人教A版略高，其他4個量兩版教材幾乎保持一致，且湘教版與蘇教版的5個難度指標均保持一致.可見五個版本教材對本章知識點的鞏固所達到的效果期望值大致相同，都比較重視數(shù)學(xué)的思想方法與思維量的應(yīng)用.并且，新教材以學(xué)生生活為背景的素材比例增加，說明新教材在編寫中更注重使用學(xué)生了解的素材.

四、比較后的分析與思考

（一）個版本教材的比較總結(jié)

以五個版本必修部分中“數(shù)列”為研究對象，通過文本數(shù)據(jù)比較進行分析，對本研究作一下簡單的小結(jié).綜合難度上，北師大版教材的例、習題難度都是五個版本中最高的，其他版本相當；訓(xùn)練系統(tǒng)數(shù)量上，蘇教版的訓(xùn)練系統(tǒng)數(shù)量最多，其次是北師大版，剩下的三個版本數(shù)量相當；訓(xùn)練系統(tǒng)類型上，按照不交叉分類，五個版本解答題所占比例過多.除了北師大版選填題占29.1%外，其他四個版本選填所占的比例都在10%左右.按照交叉分類，五版本教材中的訓(xùn)練題具有如下特點：①推斷、計算、應(yīng)用題在教材中仍占主導(dǎo)地位；②湘教版和蘇教版對學(xué)生不等式證明要求較高一點，其他三個版本對不等式的證明題要求都不高；③增加了探究性的題目，尤其增設(shè)了閱讀和思考題；④除人教B版外，其他四版都嘗試設(shè)置了利用計算機（計算器）來完成的題目，但量都很少，每版設(shè)置1題.訓(xùn)練系統(tǒng)難度上，通過“五量四級”的難度模型對五個版本教材難度比較發(fā)現(xiàn)：例題的比較可以發(fā)現(xiàn)，五個版本基本一致，在學(xué)生的運算能力及要求上都投入得很多，而在其他三個量級上的要求，除了湘教版對于學(xué)生知識點的掌握及推理能力要求較高、北師大版對推理能力要求僅次于湘教版以外，也基本保持一致.習題的比較可以發(fā)現(xiàn)，五個版本同樣在學(xué)生的運算能力及要求量培養(yǎng)都投入得最多.人教A、B版在推理量要求方面相比較而言做得稍微較差；湘教版與蘇教版在要求量要求方面相比較而言較低；其他量基本相同.

“有比較才有鑒別”.比較只不過是手段，發(fā)現(xiàn)各個版本教材的優(yōu)點并將其應(yīng)用到教學(xué)實踐中才是我們的真正目的.數(shù)學(xué)教材的建設(shè)是一項龐大的工程，本文只是對教科書中的訓(xùn)練系統(tǒng)進行了量化的研究，對于普通高中數(shù)學(xué)新教材的改革，還需各方共同努力，進一步探索，才能在實踐中逐步修訂完善.

（二）定性分析與評價

1.繼往開來的新教材訓(xùn)練系統(tǒng)

現(xiàn)行的高中五套數(shù)學(xué)教材與舊教材比起來，無論內(nèi)容還是形式都發(fā)生了深刻變化.

（1）注重數(shù)學(xué)與實際相結(jié)合，問題呈現(xiàn)更親切自然.在五套課標教材的習題設(shè)置中，就很好地體現(xiàn)了這一點.每種教材都列舉了大量的身邊周圍經(jīng)常發(fā)生的一些實際例子.這些問題的出現(xiàn)，讓學(xué)生不再覺得數(shù)學(xué)是枯燥的符號游戲，并不是所謂的“一些居心叵測的成年人為青年學(xué)生挖的陷阱”.它是實實在在存在于我們身邊，不再離我們遙遠.以身邊經(jīng)常發(fā)生的一些生活實例為載體來編制習題，讓學(xué)生讀起來倍感親切，做起來興趣高漲.同時也向?qū)W生說明：數(shù)學(xué)并不是高深莫測的，只要自己在平常的學(xué)習和生活中做個有心人，都可以去發(fā)現(xiàn)一些隱藏在自然、社會現(xiàn)象中的數(shù)學(xué)問題，這對培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察周邊事物、思考日常生活問題的習慣起了一種推動作用.另外在實踐的過程也讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)是有用的，不但可以提高他們的思維能力，也是可以服務(wù)于實際生活，從而提高他們學(xué)習數(shù)學(xué)的主動性和積極性.當然課本這些習題的呈現(xiàn)只是起到了一個導(dǎo)向作用，還需要教師在授課的過程中，可以根據(jù)自己生活地區(qū)特有的一些生活素材，來編制數(shù)學(xué)習題，這樣更能拉近數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離.

（2）注重題型的傳承與豐富.各種題型在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面各有側(cè)重，互相補充，且例題、習題、練習題之間更加注重相互聯(lián)系，首尾呼應(yīng)，循序漸進；出現(xiàn)了使用計算機（計算器）輔助解題，體現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的有機整合的題目.

（3）突出數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)問題.如函數(shù)與思想（如人教A版例2，例4）；數(shù)形結(jié)合思想（如數(shù)列的圖像）；特殊與一般思想（如由數(shù)列前幾項求通項）；對數(shù)學(xué)知識的掌握按顧泠沅先生提倡的“序進原理”，新教材在問題設(shè)置中，很注意講求循序漸進，對難的問題的突破給學(xué)生鋪設(shè)一個通向成功的坡度.

（4）開放型問題成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的一大途徑.新課程強調(diào)學(xué)生創(chuàng)造思維的培養(yǎng)，在習題設(shè)置上，開放型問題的份量較以前的教材大大加重，給學(xué)生更大的自主思考的空間.創(chuàng)新是一個民族的靈魂、是國家興旺發(fā)達的不竭動力.如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，已經(jīng)是數(shù)學(xué)教育關(guān)注的一個焦點問題.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力最好的辦法就是給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個獨立、多元的思考空間，而這種辦法的落實往往又是通過開放性問題為載體的.

（5）問題設(shè)置上注重問題的再次可開發(fā)性.知識的講解最好要留有回旋的余地，要盡力達到一種“余音繞梁，三日未絕”的境界.新課程教材在習題設(shè)置中，盡力地體現(xiàn)了這一原則（如人教A版P69B組習題）.

2.美中不足的新教材訓(xùn)練系統(tǒng)

（1）部分內(nèi)容例題設(shè)置過于簡單（如人教A版P31例3）或題量過少，不利于在教學(xué)中和學(xué)生的學(xué)習過程中對例題進行模仿，規(guī)范解題過程，發(fā)展解題思路，形成合理推理，對學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)形成一定的障礙.也有一些例題表述不科學(xué)（如P50例2）配置過難和不適應(yīng)學(xué)生的實際情況，學(xué)生很難模仿，鞏固知識，形成認知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建.

（2）有些習題設(shè)置的梯度、位置不合理（如人教A版P34B組3題太容易；P41B組2題，P47B組題都為為容易題，位置不太恰當）；有些題目又在學(xué)生的眼中比較難以理解，不太符合學(xué)生的認知規(guī)律，增加了學(xué)生的學(xué)習難度；有些習題敘述不嚴謹（如人教A版P40A組5題）；有些題答案不夠完整或不嚴謹（如人教A版P40第2題）.

（3）總體練習題量不足.調(diào)查表明，近半數(shù)的教師認為新教材的題量偏少，近三分之一的教師認為題量適中.由于習題設(shè)置與生活緊密聯(lián)系的傾向及開放性的題目增多，鞏固雙基的練習量相應(yīng)減少，知識的持續(xù)性和系統(tǒng)性被減弱了許多，教材在核心知識與重點內(nèi)容的例題、習題的配置上有了一定的弱化，使相當一部分學(xué)生在利用教材學(xué)習時，不能夠適應(yīng)新教材的變化，無法真正鞏固和理解教材內(nèi)容的本質(zhì)，造成課堂轟轟烈烈，但課下不會做題，教學(xué)效率低下的現(xiàn)實狀況.另一方面由于高考指揮棒及競爭力的影響，廣大中學(xué)生大量使用的題海戰(zhàn)，使得各種教輔資料充斥課堂！相比之下，教材題量就顯得明顯不足，不能滿足學(xué)生課后練習的需要，久而久之，教材習題被邊緣化，只作為侯選題備用！

（4）部分基礎(chǔ)知識沒有搭配合適或足量的例題和習題，不利于知識的理解和應(yīng)用（如人教A版2.5節(jié)等比數(shù)列求和部分的例題部分）.在與學(xué)生交流時，不少學(xué)生認為例題容易，習題難，學(xué)完例題，有不少學(xué)生表示不會做課后的習題；教材某些知識內(nèi)容沒有相應(yīng)的習題來鞏固，而部分習題又用到一些沒有學(xué)過的知識；有的習題在求解時需要運用信息技術(shù)（如計算機、計算器等），但教學(xué)時缺乏相應(yīng)的配套設(shè)備.

（5）部分例題設(shè)置有過于生活化、直觀化傾向，加大了學(xué)生對題目的理解難度，造成學(xué)習的困難.數(shù)學(xué)從生活中來，到生活中去，生活中處處充滿了數(shù)學(xué).所以新教材不僅在教學(xué)中設(shè)置了大量解決實際問題的探究活動，而且在例題、習題中設(shè)置了大量的實際應(yīng)用題，讓學(xué)生能感受到生活處處存在教學(xué).新教材這樣的設(shè)計能提高學(xué)生的學(xué)習積極性，將數(shù)學(xué)和生活緊密地聯(lián)系在一起，有利于學(xué)生在生活中尋找數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活問題.但新教材在例題和習題中引入生活場景時出現(xiàn)了一些問題，如有些應(yīng)用題牽強附會（如P61第1題第（2）小題），有些應(yīng)用問題不適合作為例題與習題處理（如人教A版P62第4題），學(xué)生很難解決.另外，過多的生活場景的引入，淡化了知識結(jié)構(gòu)本身，增加了學(xué)生對題目閱讀的難度，許多學(xué)生不能準確地閱讀題目，更別說去利用知識進行解題了，造成了學(xué)困生的增多.

（6）教材中例題、習題的設(shè)置強調(diào)學(xué)生的信息收集能力、實踐能力，在題目的設(shè)置的時候過于考慮題目的生活性、實用性，大部分題目都建立在生活模型上，這就必然降低了例題和習題的選材的寬度和深度，對新知識的學(xué)習、鞏固和應(yīng)用考慮不足，導(dǎo)致了在例題和習題的選編時比較少考慮例習題的梯度和層次，這些題目的編排.新教材的習題呈現(xiàn)以章、節(jié)為單位，由于每節(jié)教學(xué)要用多個課時，習題的呈現(xiàn)不是以課時為順序，而是以練習、A組、B組等三個層次為順序，加之習題的綜合性增強，有些習題只能學(xué)完整節(jié)（章）后才能做.

（三）關(guān)于教材訓(xùn)練系統(tǒng)設(shè)置的進一步思考

1.例題習題數(shù)量的思考

由前面的統(tǒng)計可知，新教材的每課時平均習題數(shù)比舊教材要少.以課程標準要求必修課程5個模塊，各36個課時為標準（實際課時數(shù)遠超過36課時）計算，平均每課時只有6.9道，不能滿足鞏固知識、培養(yǎng)應(yīng)用能力的需要.現(xiàn)代認知心理學(xué)表明，要記住4至20個組塊（一個產(chǎn)生式）需反復(fù)20次，才能貯存運用.前蘇聯(lián)瑪什比茨的研究表明：在對一個典型問題的運算形成解法之前，無論在什么學(xué)科中，不同的學(xué)生需要1～22次練習不等.也就是說掌握一個知識點一般需練習同類題20道，少于這個量學(xué)生掌握不了，多于這個數(shù)量又加重了學(xué)生的負擔.所以，要讓習題充分發(fā)揮鞏固知識，培養(yǎng)能力的作用，習題的數(shù)量必須得到保證，而且數(shù)量還要恰當.

2.如何滿足不同學(xué)生的差異性學(xué)習需要

不少老師反映教材習題的難易程度與教材配套不盡合理，教材的某些習題難度與例題的差異過大，學(xué)完例題，很多學(xué)生不會做習題，這從某種程度上挫傷了學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的積極性.作為隨堂練習，習題應(yīng)突出基礎(chǔ)知識和基本技能的鞏固，適當降低習題的綜合性；作為課時作業(yè)，則習題中不能出現(xiàn)后面才能學(xué)到的知識.涉及整節(jié)課的多個知識點、綜合性強的習題應(yīng)安排在本節(jié)練習的最后.因而，建議教材編寫者在選編習題時，既要貼近實際，又不要讓數(shù)據(jù)太煩瑣，照顧沒有計算機（器）的學(xué)生，對有關(guān)的習題要親自做一下，從學(xué)生的角度感知習題的難易程度.這樣使得習題的選編、難易順序的編排更科學(xué)合理，可以考慮在教材附錄中增加習題的參考答案與提示，特別是對一些較難的題目應(yīng)提供必要的提示，以方便學(xué)生自我校對，及時反饋.

3.改進習題編制方式，調(diào)整習題呈現(xiàn)順序，增強針對性

適當增加每課時的習題量，保持課時之間習題量的基本均衡.為了方便使用，可以將習題從教材中獨立出來，集中到教材的最后部分.也可以將習題部分完全從教材中分離出來，單獨編制成配套的活頁作業(yè)本.適當增加習題量改變現(xiàn)有的以習題類型為順序的呈現(xiàn)方式，可以考慮以課時為單位，按一定的邏輯順序和知識經(jīng)驗進行編排習題.設(shè)置一些選做題，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習的主體性.

4.新課程倡導(dǎo)豐富多樣的學(xué)習方式，可以是自主學(xué)習、合作學(xué)習、探究學(xué)習等

因此，教材中還應(yīng)多設(shè)置一些自主、合作、探究、開放等多種多樣的課題類習題，這樣不僅能促使學(xué)生主體性的發(fā)揮，提高學(xué)習效率，而且為教師有效指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習提供時機.將這些中長期完成的，具有綜合性、開放性的課題作業(yè)安排在課外完成.

五、結(jié)語

新課改的深入將面臨著新的機遇和挑戰(zhàn).如何針對新課程的理念，進行數(shù)學(xué)訓(xùn)練系統(tǒng)的與時俱進是一個值得研究的重要課題.怎樣編擬習題才能有效地促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習？怎樣設(shè)置習題的難度才能適應(yīng)不同層次學(xué)生的需要？有哪些體現(xiàn)核心知識與思想方法的題型必需重點突出？如何處理習題難度與例題難度的一致性與層次性？……在實際教學(xué)中，師生對習題應(yīng)當怎樣進行取舍？……還有待我們進一步去探討.

1.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修5·A版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

2.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修5·B版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

3.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修5［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

4.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)（必修）第四冊［M］.長沙：湖南教育出版社，2010.

5.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修5［M］.南京：江蘇教育出版社，2005.

6.張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論［M］.北京：高等教育出版社，2004.

7.彭上觀.高一數(shù)學(xué)新教材使用情況的調(diào)查研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005（7）.

8.彭上觀.高中數(shù)學(xué)新課標實驗教材使用情況的調(diào)查與分析［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005（4）.F