張愛華，胡衛(wèi)敏

(1.伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 伊寧 835000；2.菏澤市第二中學(xué)，山東 菏澤 274000)

非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性和唯一性

張愛華1，2，胡衛(wèi)敏1

(1.伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 伊寧 835000；2.菏澤市第二中學(xué)，山東 菏澤 274000)

主要研究了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

分?jǐn)?shù)階微分方程；邊值問題；分?jǐn)?shù)階格林函數(shù)；不動(dòng)點(diǎn)定理

0 引言

近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)成為國內(nèi)外的一個(gè)研究熱點(diǎn)，受到人們?cè)絹碓蕉嗟年P(guān)注.分?jǐn)?shù)階微分方程不僅具有豐富的理論內(nèi)涵，還在流體力學(xué)、材料力學(xué)、等離子體物理學(xué)、多孔介質(zhì)的動(dòng)力學(xué)、黏彈性、大氣海洋運(yùn)動(dòng)學(xué)、生物學(xué)、金融學(xué)等方面有著廣泛地應(yīng)用[1-3].

目前，一些學(xué)者應(yīng)用非線性分析的技巧研究非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性和多重性.文獻(xiàn)[4]研究了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

文獻(xiàn)[5]討論了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

本文討論了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[6]函數(shù)y:(0，∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分是指

其中右邊是在(0，∞)上逐點(diǎn)定義的.

定義1.2[7]函數(shù)y:(0，∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分是指

其中右邊是在(0，∞)上逐點(diǎn)定義的.

u(t)=C1tα-1+C2tα-2+…+CNtα-N，

其中Ci∈R為常數(shù)，i=1，2，…，N，N是大于或等于α的最小整數(shù).

引理1.2[8]假設(shè)u∈C(0，1)∩L(0，1)，且有α>0階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，則

其中Ci∈R為常數(shù)，i=1，2，…，N，N是大于或等于α的最小整數(shù).

引理1.4 給定y∈C[0，1]，2<α≤3，則方程

(2)

(3)

這里G(t，s)稱作邊值問題(2)的格林函數(shù).

證明 由引理1.2和定義1.1，分?jǐn)?shù)階微分方程(2)等價(jià)于積分方程

其中C1，C2，C3∈R.因此方程(2)的解為

從而

(α-1)C1tα-2+(α-2)C2tα-3+(α-3)C3tα-4.

由u(0)=u′(0)=0知C2=C3=0，又u(1)=0，所以

綜上，方程(2)的唯一解為

引理1.5 ?t，s∈(0，1)，(3)式定義的函數(shù)G(t，s)具有下列性質(zhì)：

(ⅰ)G(t，s)<0;

證明 (ⅰ) 當(dāng)0≤t≤s≤1時(shí)，顯然G(t，s)<0；當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí)，

(t-s)α-1-tα-1(1-s)α-1=(t-s)α-1-(t-ts)α-1<0，

由(3)式顯然G(t，s)<0，結(jié)論成立.

定義算子T:X→X，

則分?jǐn)?shù)階邊值問題(1)有解等價(jià)于算子方程Tu=u有不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)果

定理2.1 假設(shè)f∈C([0，1]×R2，R)，且存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)a(t)∈L[0，1]，使得

其中c1，c2≥0，0

證明 記

其中

?u(t)∈U，μ>-1，由引理1.2，注意到

先證T是連續(xù)算子.事實(shí)上，若u∈U，un∈U，n=0，1，2，…，并且當(dāng)n→∞時(shí)，有‖un-u‖→0.由f的連續(xù)性，當(dāng)t∈[0，1]時(shí)，

因此T是連續(xù)算子.又因?yàn)?/p>

(4)

所以

下面證明T:U→U.

由(4)式得

又有

因?yàn)閠α-1，tα，tα-β，tα-β-1在[0，1]上都一致連續(xù)，所以TU是等度連續(xù)的.又TU?U，故一致有界，因此T是全連續(xù)算子.由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可知，分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1)在U中至少有一個(gè)解.

定理2.2 假設(shè)f∈C([0，1]×R2，R)，且?t∈[0，1]，u1，u2∈X，有g(shù)(t)>0，使得函數(shù)f(t，u)滿足：

則邊值問題(1)存在唯一解.

證明 由格林函數(shù)G(t，s)的定義及f的連續(xù)性，?u1，u2∈X，t∈[0，1]，有

由于0<λ<1，故算子T是壓縮的.由Banach壓縮映像原理可知，邊值問題(1)存在唯一解.

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[9] ZHANG S Q. Positive solutions for boundary-value problems of nonlinear fractional differential equations [J]. Electronic Journal of Differential Equations，2006，36：1-12.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Existence and uniqueness of solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation

ZHANG Ai-hua1，2，HU Wei-min1

(1.School of Mathematics and Statistics，Yili Normal University，Yining 835000，China；2.The Second High Middle School of Heze City，Heze 274000，China)

The existence and uniqueness of positive solutions for a nonlinear fractional differential equation boundary-value problem are considered：whereandarethestandardRiemann-Liouvilledifferentiation.SomeexistenceresultsofsolutionsareobtainedbymeansofSchauderfixed-pointtheorem.Then，theuniquenessofsolutionisobtainedbyusingBanachcontractionmapprinciple.

fractionaldifferentialequation；boundary-valueproblem；fractionalGreen’sfunction；fixed-pointtheorem

1000-1832(2015)04-0036-06

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2015.04.008

2014-03-18

新疆維吾爾自治區(qū)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(201318101-14).

張愛華(1984—)，女，碩士，主要從事分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題研究；通訊作者：胡衛(wèi)敏(1968—)，男，教授，主要從事微分方程理論與應(yīng)用研究.

O

A