周美江 吳會(huì)英 齊金玲

(上海微小衛(wèi)星工程中心,上海201203)

微納衛(wèi)星共面伴飛相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸最省燃料控制

周美江 吳會(huì)英 齊金玲

(上海微小衛(wèi)星工程中心,上海201203)

針對(duì)伴隨微納衛(wèi)星資源受限、軌控需要盡可能節(jié)省燃料的現(xiàn)實(shí)問題,基于希爾(Hill)方程,研究推導(dǎo)了共面編隊(duì)伴飛衛(wèi)星的軌控時(shí)機(jī)和軌控方向?qū)ο鄬?duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸控制效率的影響。理論推導(dǎo)和仿真均表明:當(dāng)控制量大小｜ΔV｜與相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸b滿足｜ΔV｜≤nb/2關(guān)系時(shí)(n為參考星平均軌道角速度),在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上下點(diǎn)進(jìn)行橫向或反橫向控制,最大效率地將相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸改變了｜Δb｜=2｜ΔV｜/n。其中,在上點(diǎn)反橫向或下點(diǎn)橫向進(jìn)行控制,可以最大效率地增大橢圓短半軸;在上點(diǎn)橫向或下點(diǎn)反橫向進(jìn)行控制,可以最大效率地減小橢圓短半軸。

共面伴飛;希爾方程;橢圓短半軸;最省燃料控制;控制時(shí)機(jī);控制方向;微納衛(wèi)星

1 引言

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展和航天器應(yīng)用水平的逐漸提高,多顆小衛(wèi)星編隊(duì)飛行協(xié)同開展航天任務(wù)已從概念驗(yàn)證轉(zhuǎn)向?qū)嶋H應(yīng)用。尤其是共面編隊(duì)伴飛技術(shù)。由于在航天器故障診斷、空間目標(biāo)立體成像等方面的巨大應(yīng)用價(jià)值,該概念一提出就受到高度重視,以美國(guó)為代表的航天強(qiáng)國(guó),更是將微納衛(wèi)星伴飛技術(shù)應(yīng)用于空間目標(biāo)監(jiān)視和空間攻防對(duì)抗等領(lǐng)域[1-3]。

由于編隊(duì)衛(wèi)星功能的實(shí)現(xiàn)很大程度上依賴于編隊(duì)構(gòu)型,編隊(duì)構(gòu)型控制已成為編隊(duì)衛(wèi)星發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)之一。編隊(duì)飛行的航天器間相對(duì)距離較近,可在相對(duì)運(yùn)動(dòng)框架下進(jìn)行分析。常用的相對(duì)運(yùn)動(dòng)描述方法有兩種[4]:一是基于兩航天器軌道要素的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法;二是基于兩航天器相對(duì)位置速度狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)方法,也稱希爾(Hill)方程。運(yùn)動(dòng)學(xué)方法以兩航天器的軌道要素為輸入,適用范圍廣,外推精度高,目前很多編隊(duì)構(gòu)型控制以此為基礎(chǔ)[5-6]。但由于軌道要素是隨時(shí)間逐漸累積的慢變量,其抗擾動(dòng)性能較差,對(duì)于有星間相對(duì)實(shí)時(shí)測(cè)量的編隊(duì)構(gòu)型控制問題,觀測(cè)狀態(tài)量需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換,應(yīng)用復(fù)雜。對(duì)于主星為圓軌道、相對(duì)距離較近的編隊(duì)構(gòu)型控制問題,將Hill方程進(jìn)行線性化處理,可得到解析解?；贖ill方程解析解進(jìn)行編隊(duì)構(gòu)型控制,模型物理含義清晰,相對(duì)觀測(cè)量實(shí)時(shí)輸入,計(jì)算量小,魯棒性強(qiáng),非常適用于有星間實(shí)時(shí)相對(duì)測(cè)量的星上自主編隊(duì)構(gòu)型控制問題。

對(duì)于共面編隊(duì)伴飛構(gòu)型控制來講,相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸的控制尤為重要。筆者所在團(tuán)隊(duì)前期基于微納衛(wèi)星只能進(jìn)行橫向或徑向控制,對(duì)最高效率的相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸控制時(shí)機(jī)進(jìn)行了求解[7-8],本文將在前期工作的基礎(chǔ)上,對(duì)共面編隊(duì)伴飛構(gòu)型控制中相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸最省燃料控制的控制方向和控制時(shí)機(jī)進(jìn)行系統(tǒng)求解,并用仿真去驗(yàn)證理論推導(dǎo)。

2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程解

由Hill方程可知,伴隨衛(wèi)星在軌道面內(nèi)相對(duì)參考星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)解為相對(duì)軌道坐標(biāo)系(x軸由地心指向參考星質(zhì)心,為徑向;y軸在軌道面內(nèi)垂直于x軸沿飛行方向,為橫向;z軸為軌道面法向)下長(zhǎng)半軸為短半軸兩倍的橫向漂移橢圓,得到相對(duì)運(yùn)動(dòng)的幾何解和參數(shù)解如下[9]:

式中 n為參考星平均軌道角速度;(xc,yc)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓中心;b為相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸; Θ=nt+θ為伴隨衛(wèi)星在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上的相位[10],θ為初始相位。

任一時(shí)刻t伴隨衛(wèi)星相對(duì)參考星在軌道面內(nèi)相對(duì)狀態(tài)分量(x,y,˙x,˙y) 已知,橢圓中心、橢圓短半軸和相位可寫成:

3 最省燃料控制問題的提出

推進(jìn)系統(tǒng)消耗燃料轉(zhuǎn)化為推力,一段時(shí)間內(nèi)的推力作用使航天器動(dòng)量(速度)改變,即燃料消耗相當(dāng)于為航天器提供了一速度增量,所以最省燃料控制問題可等效為最小速度增量(也稱控制量)控制問題。

將軌道面內(nèi)的控制量ΔV分解為橫向控制量ΔVy=ΔV cosφ和徑向控制量ΔVx=ΔV sinφ(ΔV為控制量的大小;φ為控制方向角,從相對(duì)軌道坐標(biāo)系的正y軸起算,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正)。由式(4)可知,橫向控制和徑向控制均會(huì)改變橢圓短半軸。設(shè)橫向控制量ΔVy與徑向控制量ΔVx使橢圓短半軸改變?chǔ),由式(4)可知

式(6)中兩式相減并考慮式(2),可得

式(7)為Δb的一元二次方程,有兩個(gè)數(shù)學(xué)解

引入中間變量

則式(8)可寫為

由式(11)可知,控制量大小ΔV一定時(shí),橢圓短半軸改變量Δb與控制時(shí)機(jī)Θ和控制方向φ相關(guān)。

微納衛(wèi)星資源和能源都嚴(yán)重受限,希望控制時(shí)盡可能節(jié)省燃料。對(duì)橢圓短半軸大小的控制來講,即希望選擇合適的控制方向和控制時(shí)機(jī)匹配,使控制量一定時(shí)控制效率最高(即ΔV一定時(shí),求解使Δb最大的φ與Θ的匹配)。引入中間變量λ=ΔV/(nb)＞0,式(9)進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

由式(12)可知,中間變量A為控制方向φ和控制時(shí)機(jī)Θ的二元連續(xù)函數(shù),求其最大值。

A對(duì)控制時(shí)機(jī)Θ求一階偏導(dǎo)數(shù)

A對(duì)控制方向φ求一階偏導(dǎo)數(shù)

A對(duì)控制時(shí)機(jī)Θ求二階偏導(dǎo)數(shù)

A對(duì)控制方向φ求二階偏導(dǎo)數(shù)

A對(duì)控制時(shí)機(jī)Θ和控制方向φ求二階混合偏導(dǎo)數(shù),由于二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),有

A取極值的必要條件之一為“一階偏導(dǎo)數(shù)為0”,即

推得

4 最省燃料控制問題解的討論

對(duì)式(19)的解分情況討論如下。

4.1 cosΘ=0或cosφ=0

由式(18)可知,cosΘ=0與cosφ=0同時(shí)成立,即在左右點(diǎn)徑向或反徑向施加控制。

(1)Θ=90°,φ=90°(左點(diǎn)徑向)或Θ=-90°,φ=-90°(右點(diǎn)反徑向)

若A取極值,則必有

此時(shí)

當(dāng)λ=1時(shí),從物理意義上判定也為極值。即當(dāng)λ≥1時(shí),取極小值,此時(shí)橢圓短半軸改變量為

可能增大也可能減小橢圓。即在左點(diǎn)徑向或右點(diǎn)反徑向控制,當(dāng)λ≥1,即ΔV≥nb時(shí),考慮控制量從零逐漸加到ΔV,橢圓短半軸先減小到0后又增大,最終結(jié)果可能比初始橢圓短半軸小,也可能比初始橢圓短半軸大:

1)當(dāng)1≤λ≤2,即nb≤ΔV≤2nb時(shí),橢圓短半軸最終比初始橢圓短半軸小或等于初始橢圓短半軸;

2)當(dāng)λ＞2,即ΔV＞2nb時(shí),橢圓短半軸最終比初始橢圓短半軸大。

(2)Θ=90°,φ=-90°(左點(diǎn)反徑向)或Θ=-90°,φ=90°(右點(diǎn)徑向)

此時(shí)

恒成立,非極值,此時(shí)橢圓短半軸改變量為

肯定使橢圓短半軸增大。

4.2 cosΘ≠0且cosφ≠0(非左右點(diǎn)徑向或反徑向控制)

由式(19)可得

解算得到

討論兩個(gè)解的情況如下。

(1)sinφ=0且sinΘ=0,即在上下點(diǎn)橫向或反橫向施加控制

1)φ=0°,Θ=0°(上點(diǎn)橫向控制)或φ=180°,Θ=180°(下點(diǎn)反橫向控制)時(shí):

若A取極值,則必有

此時(shí)

當(dāng)λ=1/2時(shí),從物理意義上判定也為極值。即當(dāng)λ≤1/2時(shí),取極小值,此時(shí)橢圓短半軸改變量為

肯定減小橢圓。即當(dāng)0＜λ≤1/2,0＜ΔV≤nb/2時(shí),上點(diǎn)橫向或下點(diǎn)反橫向控制是極大效率減小橢圓的控制方向和控制時(shí)機(jī)匹配,此時(shí)橢圓短半軸減小2ΔV/n。

2)φ=180°,Θ=0°(上點(diǎn)反橫向控制)或φ=0°,Θ=180°(下點(diǎn)橫向控制)時(shí):

此時(shí)

恒成立,且

A取極大值。此時(shí)橢圓短半軸改變量為

肯定增大橢圓。即在上點(diǎn)反橫向或下點(diǎn)橫向控制時(shí),極大效率地將橢圓短半軸增大2ΔV/n。

(2)cosΘ=2λcosφ且sinΘ=λsinφ

由式(2)可知,相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓的矢徑(起點(diǎn)為瞬時(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓中心,終點(diǎn)為伴隨衛(wèi)星在橢圓上的位置)斜率為

控制量矢量斜率為

式(37)與式(38)相乘并考慮前提條件cosΘ=2λcosφ且sinΘ=λsinφ,得到

即控制方向垂直于矢徑方向,且與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向成鈍角,如圖1所示,實(shí)線箭頭表示矢徑方向,虛線單箭頭表示控制方向,虛線雙箭頭表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向。

圖1 控制方向垂直于矢徑方向示意Fig.1 Control direction vertical to the radius vector

將橢圓減小為零。

由

得到1/2＜λ＜1,即當(dāng)nb/2＜ΔV＜nb時(shí),在任何時(shí)機(jī),控制方向垂直于矢徑方向進(jìn)行控制(此時(shí)控制方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向成鈍角),橢圓短半軸減小為零。控制量ΔV的大小即λ的值,由具體的控制時(shí)機(jī)Θ或控制方向φ按公式cosΘ=2λcosφ及sinΘ=λsinφ進(jìn)行求解。

此外,由λ2=1/4+(3/4)sin2Θ可知:

1)當(dāng)sin2Θ→0時(shí),Θ→0°或180°,在趨于相對(duì)橢圓上下點(diǎn)進(jìn)行控制,λ→1/2極小值,即ΔV→nb/2;

2)當(dāng)sin2Θ→1時(shí),Θ→±90°,在趨于相對(duì)橢圓左右點(diǎn)進(jìn)行控制,λ→1極大值,即ΔV→nb;

5 理論推導(dǎo)結(jié)論

對(duì)所有推導(dǎo)總結(jié)如下:

結(jié)論1 無(wú)論λ取何值,即ΔV=λnb取何值,在上點(diǎn)反橫向控制,或在下點(diǎn)橫向控制,都是最大效率增大橢圓短半軸的控制方式。

結(jié)論2 當(dāng)0＜λ≤1/2,即0＜ΔV≤nb/2時(shí),在上點(diǎn)橫向控制,或在下點(diǎn)反橫向控制,最大效率減小橢圓短半軸。

結(jié)論3 當(dāng)1/2＜λ＜1,即nb/2＜ΔV＜nb時(shí),在非上下左右點(diǎn)的其他控制時(shí)機(jī),垂直于矢徑方向(且滿足控制方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向成鈍角)進(jìn)行控制,最大效率減小橢圓短半軸至0,此時(shí),控制量與控制時(shí)機(jī)滿足cosΘ=2λcosφ且sinΘ=λsinφ。

結(jié)論4 當(dāng)λ≥1,即ΔV≥nb時(shí),在左點(diǎn)徑向控制,或在右點(diǎn)反徑向控制:

1)當(dāng)1≤λ≤2,即nb≤ΔV≤2nb時(shí),若控制量從0逐漸加到ΔV,橢圓短半軸先減小到0后又增大,但橢圓短半軸最終比初始值小,屬于極大浪費(fèi)燃料減小橢圓的控制方式。

2)當(dāng)λ＞2,即ΔV＞2nb時(shí),若控制量從0逐漸加到ΔV,橢圓短半軸先減小到0后又增大,但橢圓短半軸最終比初始值大,屬于極大浪費(fèi)燃料增大橢圓的控制方式。

也就是說,最大效率增大橢圓短半軸的控制方向和控制時(shí)機(jī)匹配是一定的,最大效率減小橢圓短半軸的控制方向和控制時(shí)機(jī)匹配則與控制量的取值區(qū)間有關(guān)。

6 仿真驗(yàn)證

設(shè)置一組仿真算例:參考星O為500 km圓軌道,交點(diǎn)周期T=5 676.978 s,伴隨衛(wèi)星A相對(duì)參考星O共面伴飛,初始伴飛橢圓短半軸b=5 158.606 m。在二體模型下,利用STK導(dǎo)出A相對(duì)O的初始軌道數(shù)據(jù),基于Hill方程,對(duì)A在不同控制時(shí)機(jī)施加大小一定、方向不同的控制量,用Matlab編程求解橢圓短半軸的變化量。

針對(duì)不同λ取值區(qū)間對(duì)應(yīng)結(jié)論不同的情況,設(shè)置λ=0.25、λ=0.75、λ=1.5、λ=2.5四組算例,對(duì)應(yīng)不同λ取值區(qū)間,得到橢圓短半軸改變量與控制方向和控制時(shí)機(jī)的三維曲面和對(duì)應(yīng)的二維投影如圖2～圖17所示。

圖2 λ=0.25時(shí)Δb與φ和Θ的關(guān)系Fig.2 Relationship betweenΔb and φ,Θwhileλ=0.25

圖3 λ=0.25時(shí)Δb在φ和Θ平面內(nèi)的投影Fig.3 Δb projection in control direction-control time plane whileλ=0.25

圖4 λ=0.25時(shí)Δb與φ和Θ的關(guān)系(Δb和φ面內(nèi)投影)Fig.4 Projection relationship betweenΔb andφ,Θ: inΔb-φplane whileλ=0.25

圖5 λ=0.25時(shí)Δb與φ和Θ的關(guān)系(Δb和Θ面內(nèi)投影)Fig.5 Projection relationship betweenΔb與φ,Θ: inΔb-Θplane whileλ=0.25

圖6 λ=0.75時(shí)Δb與φ和Θ的關(guān)系Fig.6 Relationship betweenΔb and φ,Θwhileλ=0.75

圖7 λ=0.75時(shí)Δb在φ和Θ平面內(nèi)的投影Fig.7 Δb projection in control direction-control time plane whileλ=0.75

圖8 λ=0.75時(shí)Δb與φ和Θ的關(guān)系(Δb和φ面內(nèi)投影)Fig.8 Projection relationship betweenΔb andφ,Θ: inΔb-φplane whileλ=0.75

圖9 λ=0.75時(shí)Δb與φ和Θ的關(guān)系(Δb和Θ面內(nèi)投影)Fig.9 Projection relationship betweenΔb andφ,Θ: inΔb-Θplane whileλ=0.75

圖10 λ=1.5時(shí)Δb與φ和Θ的關(guān)系Fig.10 Relationship betweenΔb and φ,Θwhileλ=1.5

圖11 λ=1.5時(shí)Δb在φ和Θ平面內(nèi)的投影Fig.11 Δb projection in control direction-control time plane whileλ=1.5

圖12 λ=1.5時(shí)Δb與φ和Θ的關(guān)系(Δb和φ面內(nèi)投影)Fig.12 Projection relationship betweenΔb andφ,Θ: inΔb-φplane whileλ=1.5

圖13 λ=1.5時(shí)Δb與φ和Θ的關(guān)系(Δb和Θ面內(nèi)投影)Fig.13 Projection relationship betweenΔb andφ,Θ: inΔb-Θplane whileλ=1.5

圖14 λ=2.5時(shí)Δb與φ和Θ的關(guān)系Fig.14 Relationship betweenΔb and φ,Θwhileλ=2.5

圖15 λ=2.5時(shí)Δb在φ和Θ平面內(nèi)的投影Fig.15 Δb projection in control direction-control time plane whileλ=2.5

圖16 λ=2.5時(shí)Δb與φ和Θ的關(guān)系(Δb和φ面內(nèi)投影)Fig.16 Projection relationship betweenΔb andφ,Θ: inΔb-φplane whileλ=2.5

圖17 λ=2.5時(shí)Δb與φ和Θ的關(guān)系(Δb和Θ面內(nèi)投影)Fig.17 Projection relationship betweenΔb andφ,Θ: inΔb-Θplane whileλ=2.5

圖3、圖7、圖11和圖15具有分布相同的四個(gè)極大值點(diǎn)(圖中用△標(biāo)出):φ=0°,Θ=±180° (下點(diǎn)橫向控制)和φ=±180°,Θ=0°(上點(diǎn)反橫向控制),表明無(wú)論λ取值如何,在上點(diǎn)反橫向或下點(diǎn)橫向控制都是最大效率增大橢圓短半軸的方式,與結(jié)論1相符。

圖3中五個(gè)極小值點(diǎn)(圖中用○標(biāo)出):φ=0°,Θ=0°(上點(diǎn)橫向控制)和φ=±180°,Θ=±180° (下點(diǎn)反橫向控制),表明當(dāng)λ＜1/2時(shí),在上點(diǎn)橫向或下點(diǎn)反橫向控制是最大效率減小橢圓短半軸的方式,與結(jié)論2相符。

圖11和圖15具有分布相同的兩個(gè)極小值點(diǎn):φ=90°,Θ=90°(左點(diǎn)徑向控制)和φ=-90°, Θ=-90°(右點(diǎn)反徑向控制),表明當(dāng)λ＞1時(shí),在左點(diǎn)徑向或右點(diǎn)反徑向控制,對(duì)橢圓短半軸大小改變效率最低,與結(jié)論4中“極大浪費(fèi)燃料”改變橢圓大小的理論推導(dǎo)相符。

圖7中四個(gè)極小值點(diǎn)的相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 λ=0.75時(shí)四個(gè)極小值點(diǎn)控制方向與矢徑方向的關(guān)系Tab.1 Relationship between control direction and radius vector in 4 minimum points whileλ=0.75

由表1可知,四個(gè)極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)控制方向和矢徑方向基本垂直(k1k2→-1),k1k2與-1的微小差別與仿真步長(zhǎng)相關(guān),當(dāng)仿真步長(zhǎng)趨近于無(wú)限小時(shí),k1k2=-1。即當(dāng)1/2＜λ＜1時(shí),垂直于矢徑方向進(jìn)行控制最大效率減小橢圓短半軸,與結(jié)論3相符。

對(duì)不同λ取值區(qū)間的仿真結(jié)果均驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性。實(shí)際應(yīng)用時(shí),考慮節(jié)省燃料原則,若需減小橢圓短半軸,最多將橢圓短半軸減小到0即可,選擇在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上點(diǎn)橫向控制或在下點(diǎn)反橫向控制,控制量ΔV=nΔb/2最小。最終得到關(guān)于最大效率改變橢圓短半軸的控制方向和控制時(shí)機(jī)匹配關(guān)系:在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上下點(diǎn)進(jìn)行橫向或反橫向控制,是最大效率改變橢圓短半軸的控制方式(其中:在上點(diǎn)反橫向或下點(diǎn)橫向控制最大效率增大橢圓短半軸;在上點(diǎn)橫向或下點(diǎn)反橫向控制最大效率減小橢圓短半軸)。

7 結(jié)束語(yǔ)

本文在筆者團(tuán)隊(duì)前期對(duì)共面伴飛相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸大小控制效率問題研究的基礎(chǔ)上,基于Hill方程和二元函數(shù)極值理論,系統(tǒng)地對(duì)共面伴飛問題中控制方向和控制時(shí)機(jī)對(duì)橢圓短半軸大小控制效率的影響進(jìn)行了推導(dǎo),并通過仿真對(duì)理論推導(dǎo)進(jìn)行了驗(yàn)證。研究成果可用于航天器共面伴飛控制中相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸的最省燃料控制問題求解。此外,本文提供了一種共面伴飛控制中最省燃料控制問題的求解思路。下一步,筆者將在此基礎(chǔ)上繼續(xù)對(duì)航天器共面伴飛控制中其他參量的最省燃料控制問題進(jìn)行求解,并對(duì)各參量的耦合控制問題進(jìn)行深入研究。

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作者簡(jiǎn)介

周美江 1989年生,2012年獲哈爾濱工業(yè)大學(xué)飛行器設(shè)計(jì)專業(yè)碩士學(xué)位,工程師。研究方向?yàn)楹教炱鬈壍绖?dòng)力學(xué)與控制。

Minimum Fuel Control of Relative Ellipse Semi-Minor Axis in Micro/nano-Satellite In-Plane Companion-Flying

ZHOU Meijiang WU Huiying QI Jinling
(Shanghai Engineering Center For Microsatellites,Shanghai 201203)

In-plane companion-flying;Hill equation;Ellipse semi-minor axis;Minimum fuel control;Control time;Control direction;Micro/nano satellite

10.3780/j.issn.1000-758X.2015.05.004

(編輯:高珍)

2015-04-01。收修改稿日期:2015-05-26