李鑫娟

教師應(yīng)該是一個(gè)有思想的行動(dòng)者，優(yōu)秀教師與眾不同的“研究”方式，加速了他們的專業(yè)成長(zhǎng).其中，最為突出的特點(diǎn)就是他們?cè)凇爸泻弦弧敝刑岣邔I(yè)水平.“知行合一”強(qiáng)調(diào)“知”和“行”的同步交互與“悟性自足”——在“行”中“知”、“行”和“知”齊頭并進(jìn)，注重主體悟性的發(fā)揮和行為的同步跟進(jìn)，也就是在課堂拼搏中學(xué)會(huì)教學(xué)，在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下提高自身的水平以適應(yīng)學(xué)生的需求.筆者有幸參加2014年寧波市教壇新秀評(píng)比，現(xiàn)就課堂評(píng)比“兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)和距離公式”，探討一下在“知行合一”理念下，如何在一個(gè)個(gè)問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)中，優(yōu)化課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，提高課堂實(shí)效，促進(jìn)師生共同成長(zhǎng).

陳永明教授在《評(píng)議數(shù)學(xué)課》中曾說(shuō)：“導(dǎo)入知識(shí)不應(yīng)該馬馬虎虎，馬虎了，學(xué)生就不知道知識(shí)的來(lái)龍去脈了.”可見(jiàn)導(dǎo)入知識(shí)的重要性.源于本節(jié)是高二復(fù)習(xí)課，為了課堂自然流暢，應(yīng)注重回歸本源，凸顯本真數(shù)學(xué)教學(xué)，關(guān)注課堂生成，解決“學(xué)生獨(dú)自面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能想能做”這一根本問(wèn)題.本節(jié)課分為以下幾個(gè)環(huán)節(jié).

一、問(wèn)題驅(qū)動(dòng) 引發(fā)思維

提出問(wèn)題 我們知道點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離公式是d=，那么怎樣推導(dǎo)呢？請(qǐng)從幾何、函數(shù)、向量和不等式的角度進(jìn)行研究.

設(shè)計(jì)意圖 點(diǎn)到直線的距離公式是解析幾何的“核心內(nèi)容“，其結(jié)果很重要，推導(dǎo)過(guò)程本身也很重要.問(wèn)題的提示是一種情境的創(chuàng)設(shè)，為學(xué)生指出可能的探究方向.用不同的方法推導(dǎo)，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，加強(qiáng)知識(shí)的融合和綜合，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性和深刻性.

學(xué)生探究 要求學(xué)生獨(dú)立思考，以小組為單位，給出推導(dǎo)過(guò)程，教師巡視和指導(dǎo)，查看研究結(jié)果.

推導(dǎo)過(guò)程1（幾何法） 過(guò)P作PM∥y軸交直線l于點(diǎn)M，過(guò)P作PN∥x軸交直線l于點(diǎn)N，過(guò)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，線段PQ即為點(diǎn)P到直線l的距離.（如圖1）.

教師點(diǎn)評(píng) 這種解法借助幾何圖形的數(shù)量關(guān)系，利用面積公式和直線交點(diǎn)坐標(biāo)求法等相關(guān)知識(shí)，在知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程中促進(jìn)了知識(shí)的融合和創(chuàng)新，形象直觀，過(guò)程簡(jiǎn)潔，此種方法應(yīng)該值得大家借鑒.

推導(dǎo)過(guò)程2（函數(shù)法） 點(diǎn)P到直線l上任意一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.在l上取任意點(diǎn)Q（x，y），點(diǎn)P到直線l的距離即為PQ的最小值.

用兩點(diǎn)的距離公式可求PQ，但在計(jì)算中學(xué)生化簡(jiǎn)難度比較大，教師在巡視過(guò)程中提示，對(duì)運(yùn)算過(guò)程和方法進(jìn)行優(yōu)化.為了利用條件Ax+By+C=0可對(duì)其變形為A（x-x0）+B（y-y0）=-（Ax0+By0+C），

PQ2=（x-x0）2+（y-y0）2=（x-x0）2+

=

可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于x-x0的二次函數(shù)求最值問(wèn)題

當(dāng)x-x0=-時(shí)，[PQ2][min]=

所以最小值就是d=.

教師點(diǎn)評(píng) 本解法是解析幾何的基本方法即通法. 能否進(jìn)行過(guò)程和方法的優(yōu)化，要有盯住目標(biāo)的意識(shí)和不斷優(yōu)化的意識(shí)，這是重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 經(jīng)常反思的同學(xué)才可以掌握此方法.此時(shí)學(xué)生并沒(méi)有因?yàn)樗悴怀龆趩?，反而群情激昂，越挫越?在這個(gè)愉悅、和諧的教學(xué)情境中，學(xué)生思維的積極性被充分調(diào)動(dòng)起來(lái).而在解法的探究過(guò)程中，我啟發(fā)學(xué)生給他們作了幾個(gè)鋪墊，使探究的過(guò)程更自然一些，這樣使學(xué)生的思維最大程度得到“釋放”，思維過(guò)程也更自然.

推導(dǎo)過(guò)程3（柯西不等式） 點(diǎn)P（x0，y0）到直線 l上任意一點(diǎn)Q（x，y）的距離的最小值就是點(diǎn)P到直線l的距離.由柯西不等式，得

（A2+B2）[（x-x0）2+（y-y0）2]≥[A（x-x0）+B（y-y0）]2

=（Ax0+By0+C）2. ∵Ax+By+C=0，∴≥，當(dāng)且僅當(dāng)A（y-y0）=B（x-x0）時(shí)取等號(hào)，所以最小值就是d=.

進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)情境，對(duì)于方程A（x-x0）+B（y-y0）=-（Ax0+By0+C），你能從向量的數(shù)量積角度解釋這個(gè)等式并得出相關(guān)結(jié)果嗎？這個(gè)問(wèn)題充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，經(jīng)過(guò)思考、交流、討論，有個(gè)小組給出了如下解答.

推導(dǎo)過(guò)程4（向量法） 設(shè)直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的一個(gè)法向量n=（1，），設(shè)M（x，y）為直線l上任意一點(diǎn)，則=（x-x0，y-y0），從而點(diǎn)P到直線l的距離為d===，∵點(diǎn)M在直線l上，∴Ax+By+C=0，從而d=.

復(fù)習(xí)課對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的引入，我摒棄了常規(guī)的復(fù)習(xí)引入，而是從公式的推導(dǎo)入手，將本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)都融入到知識(shí)的推導(dǎo)過(guò)程中，讓學(xué)生自由體驗(yàn)、創(chuàng)新、比較.面對(duì)問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考，自由調(diào)用包括幾何、三角、函數(shù)、向量和不等式等知識(shí)解決問(wèn)題，有許多的方法和知識(shí)都涉及領(lǐng)會(huì)、探究層次.在交流的過(guò)程中，使學(xué)生經(jīng)歷了方法的不斷優(yōu)化過(guò)程，有嘗試、有比較、有反思，可以更好地促進(jìn)知識(shí)的同化和順應(yīng)，促進(jìn)知識(shí)的理解和融合，因?yàn)閼?yīng)用就是最好的理解.

二、再次設(shè)疑 激活思維

例題 已知直線l1：ax-y-4a=0，l2：x+y-2=0，l3：2x-y-10=0，若三條直線不能構(gòu)成三角形，求a的值.

這是學(xué)生作業(yè)中的一道題，大家不陌生，入口較寬，反應(yīng)也很迅速，可以說(shuō)是一步到位，順利完成.

學(xué)生探究 學(xué)生分類討論可知，本題有三種情況：

①直線l1∥l2時(shí)，a=-1；

②直線l1∥l3時(shí)，a=2；

③直線l1經(jīng)過(guò)l2，l3的交點(diǎn)（4，-2）時(shí)，a無(wú)解.

綜上可知滿足條件的a的值是-1或2.

本題考查直線和直線關(guān)系的判定，兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，分類討論思想，是一道值得探究的好題，探究是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的生命線.充分利用此題，深入探討，達(dá)到一題可破萬(wàn)題山的境界.

三、變式探究 優(yōu)化思維

變式1：若三條直線l1，l2，l3能圍成三角形，求a的取值范圍.endprint

生1：本題可以采取補(bǔ)集思想，利用例題的結(jié)論，輕松解決.滿足條件的a的取值范圍是{[a] a≠-1且a≠2}.

變式2：若三條直線l1，l2，l3能圍成三角形，且圍成三角形的面積為，求a的值.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)三條直線中，l2，l3固定，l1是過(guò)定點(diǎn)（4，0）的動(dòng)直線，l1的轉(zhuǎn)動(dòng)，引發(fā)三角形形狀的變化，l1的轉(zhuǎn)動(dòng)正是因?yàn)閍的變化，從而a的變化引發(fā)三角形面積的變化.在三角形面積的計(jì)算中，重點(diǎn)考查了兩點(diǎn)間距離和點(diǎn)到直線的距離公式，是解析幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題，適合對(duì)通行通法的提煉.章建躍先生在編后漫筆中指出在解題中注重通性通法的提煉，才是追求數(shù)學(xué)教學(xué)的“長(zhǎng)期效益”.

學(xué)生易求得交點(diǎn)B

，

，C

，，BC==，設(shè)d為A到l1的距離，則d=，S==，即a=或a=. 大家進(jìn)一步提煉得到以下優(yōu)化解法. S=ADxB-xC=xB-xC=

-

=.

利用圖象簡(jiǎn)化計(jì)算，化二維運(yùn)算降為一維運(yùn)算，簡(jiǎn)化運(yùn)算是解析幾何中的一項(xiàng)基本技能.

變式3：若0

設(shè)計(jì)意圖 解析幾何中最值問(wèn)題中常用的解題思想就是函數(shù)思想，精選變量，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，使學(xué)生“夠得到”，符合他們的“最近發(fā)展區(qū)”.

生2：S==-=≥.（0

變式4：若三條直線l1，l2，l3能圍成三角形，此三角形的面積有無(wú)最值？若有，請(qǐng)求出最值；若沒(méi)有，請(qǐng)?zhí)砑舆m當(dāng)條件，保證三角形面積有最值.

設(shè)計(jì)意圖 開(kāi)放性問(wèn)題更能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，催動(dòng)a，從而引發(fā)三角形形狀的變化，利用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)待求量的幾何意義使三角形的面積最值問(wèn)題得以解決.同時(shí)，幾何畫(huà)板的應(yīng)用，使靜態(tài)的推敲變成動(dòng)態(tài)的演示，更加簡(jiǎn)單、直觀，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和幾何的直觀性.（如圖2、3、4）

數(shù)學(xué)中的一些題目可以進(jìn)一步探究、延伸與拓展，有利于學(xué)生將這一類問(wèn)題整體把握.引導(dǎo)學(xué)生對(duì)命題作推廣，可將條件和結(jié)論作相似變換，由特殊到一般，由靜態(tài)推廣到動(dòng)態(tài).這種對(duì)知識(shí)的延伸和拓展，有利于學(xué)生思維的變異和發(fā)散.將問(wèn)題定位在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，使問(wèn)題的變式、知識(shí)的遷移和學(xué)生思維的自然延展相吻合，遵循自然之道.在變中出彩，在變中提升課堂實(shí)效.

四、有效小結(jié) 升華思維

師：請(qǐng)大家歸納一下本節(jié)課的主要內(nèi)容.

生3：（1）三種距離：兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線間的距離.

（2）三種位置關(guān)系：平行、相交、重合.

（3）三類題型：①直線與直線位置關(guān)系的判定；②參數(shù)值的方程求法；③最值問(wèn)題求解.

（4）三種思想：①數(shù)形結(jié)合思想；②分類討論思想；③函數(shù)和方程思想.

師：大家總結(jié)的這些思想方法引導(dǎo)我們進(jìn)行解題，快捷地尋找解題突破口，形成解題思路.

設(shè)計(jì)意圖 總結(jié)與反思是學(xué)生思維升華的關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容包括例題、變式的解題思路和方法等進(jìn)行反思和總結(jié)，并站在一定的學(xué)科高度上加以審視地看，從中看清問(wèn)題的本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵，學(xué)會(huì)用理性思維去思考數(shù)學(xué)問(wèn)題.

對(duì)復(fù)習(xí)課教學(xué)的啟示 復(fù)習(xí)課的解題教學(xué)中常蘊(yùn)含三部曲：選題、講題、變題.選題就是要在準(zhǔn)確把握考試范圍和要求的基礎(chǔ)上，緊緊圍繞本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，緊扣考試重點(diǎn)、熱點(diǎn)的題型進(jìn)行選題，并不是難度越大越好，一道好題之所以可以引起大家的共鳴，不是因?yàn)槠洫?dú)特的解題技巧，而是其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.講題一定要注重解題思路的分析，充分暴露思維過(guò)程，并把“通性通法”放在首位.教師不僅要從自己的角度研究給出的題目，還要從學(xué)生的角度去思考題目，更要從命題的角度去審視題目.而變題，就是變式教學(xué)，就是改變題目的設(shè)問(wèn)方式或?qū)︻}目進(jìn)行拓展延伸，歸納出一類問(wèn)題的本質(zhì)解法，從而達(dá)到舉一反三，融會(huì)貫通的目的.在教學(xué)的實(shí)施過(guò)程中要有一定的探索性、師生的互動(dòng)性、學(xué)生的主動(dòng)參與性，從而可以看出只有教師不斷地提升自己的教學(xué)，才可以適應(yīng)學(xué)生的不同需求.

課程改革的關(guān)鍵是課堂改革，課堂改革的根本目的是構(gòu)建高效課堂，構(gòu)建高效課堂則更多地需要教師的智慧.教師和學(xué)生的“課堂對(duì)話”是促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)、構(gòu)建高效課堂和提升學(xué)生思維能力的必然要求.數(shù)學(xué)教學(xué)是師生互動(dòng)的過(guò)程，每一節(jié)課都是師生的激情與智慧互動(dòng)生成的過(guò)程.在教學(xué)過(guò)程中，師生間、學(xué)生間進(jìn)行動(dòng)態(tài)的平等對(duì)話與交流，實(shí)現(xiàn)課堂中的師生互動(dòng).在對(duì)話與交流中，教師與學(xué)生討論與補(bǔ)充，表達(dá)與傾聽(tīng)，爭(zhēng)論與溝通，在交流中分享探索的喜悅，共享思維的成果，學(xué)生的智慧在對(duì)話交流和思維共振中生成.教師應(yīng)敏銳地捕捉課堂互動(dòng)信息，形成充滿活力和智慧的數(shù)學(xué)教學(xué).在課堂上，只有教師問(wèn)出水平，學(xué)生才能答出精彩，只有教師不斷提升課堂效率，學(xué)生才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的實(shí)力和氣魄！