陳光宋，錢林方，吉 磊

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094）

身管固有頻率高效全局靈敏度分析

陳光宋，錢林方，吉 磊

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094）

為獲得影響身管固有頻率的關(guān)鍵參數(shù)，將身管固有頻率寫成其參數(shù)的混沌多項(xiàng)式形式，提出基于靈敏度的混沌多項(xiàng)式自適應(yīng)展開，采用LASSO（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）自動選擇重要項(xiàng)及其展開系數(shù)，根據(jù)混沌多項(xiàng)式的正交性直接由混沌多項(xiàng)式展開系數(shù)解析獲得身管參數(shù)的全局靈敏度因子。算例1表明基于靈敏度的多項(xiàng)式自適應(yīng)展開能夠根據(jù)變量的重要性選擇多項(xiàng)式的展開階數(shù)，算例2通過一個標(biāo)準(zhǔn)模型驗(yàn)證提出方法的有效性和高效性。此外，身管算例表明對于低階固有頻率搖架前支點(diǎn)位置及對應(yīng)的身管圓柱段直徑和身管炮口處直徑為核心關(guān)鍵參數(shù)。

身管；靈敏度分析；混沌多項(xiàng)式；LASSO

身管為火炮的重要部件之一，其尺寸參數(shù)不僅要根據(jù)膛壓曲線變化規(guī)律由強(qiáng)度計算確定［1］，同時還要考慮其他因素，其中身管固有頻率即為一個重要的因素，獲取影響身管固有頻率的關(guān)鍵參數(shù)對身管的設(shè)計有重要意義。

靈敏度分析被應(yīng)用于各個領(lǐng)域，如機(jī)械工程［2－3］，土木工程［4］，武器系統(tǒng)［5］，損傷診斷［6］等，其功能是量化輸入?yún)?shù)的不確定性對輸出的影響。通常，靈敏度分析可分為局部靈敏度分析和全局靈敏度分析，其中全局靈敏度分析研究的是參數(shù)在完整域內(nèi)變化對系統(tǒng)輸出的影響［11］，大致可歸為三類：非參數(shù)技術(shù)［7－8］，方差分析法［9－10］和矩獨(dú)立重要性測度［11－12］。針對工程中的不同問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了研究和改進(jìn)，例如李璐祎等［13］為分析參數(shù)區(qū)域的重要性，基于方差分析法，提出了基本變量區(qū)域重要性測度，并給出了相應(yīng)的算法；張磊剛等［14］分析了高階核函數(shù)的性質(zhì)，并將其應(yīng)用到靈敏度分析中，能夠提高靈敏度分析的效率和精度；Ge等［15］針對大量輸入?yún)?shù)問題，將基于準(zhǔn)優(yōu)化軌跡的基本因素法和Sobol'靈敏度分析方法相結(jié)合，有效地解決多輸入?yún)?shù)情況下的全局靈敏度分析；Blatman等［16］采用混沌多項(xiàng)式展開，可直接解析地計算出Sobol'靈敏度因子等。

本文采用混沌多項(xiàng)式展開構(gòu)建身管固有頻率與其參數(shù)的近似模型，根據(jù)多項(xiàng)式展開的稀疏性原理，提出基于靈敏度的混沌多項(xiàng)式自適應(yīng)展開，并采用LASSO方法自動獲取重要項(xiàng)及其展開系數(shù)；基于Sobol'靈敏度分析方法［10］，根據(jù)混沌多項(xiàng)式的正交特性計算身管參數(shù)的全局靈敏度因子，獲得影響身管固有頻率的關(guān)鍵參數(shù)。

1 身管動力學(xué)方程

根據(jù)身管的結(jié)構(gòu)及受力情況，將身管簡化為變截面Timoshenko梁。任意時刻t，梁上距局部坐標(biāo)原點(diǎn)x處的橫向振動方程為［17］：

式中：L為梁長度，y和φ為梁的橫向位移和不考慮截面剪切位移的截面轉(zhuǎn)角，ρ為單位體積質(zhì)量，A（x）為橫截面積，I（x）為橫截面慣量，kg為與截面形狀有關(guān)的剪切系數(shù)，G為剪切模量，E為彈性模量為橫向外載荷。

本文采用時間域上譜單元法進(jìn)行解算，其具有譜方法的高精度、指數(shù)收斂和有限單元法的靈活性。與有限元法相似，譜單元法單元形函數(shù)可通過拉格朗日插值得到，即：

式中：插值點(diǎn)ζj不再沿插值方向均勻分布，而是以下等式的根，也稱為GLL（Gauss-Lobatto-Legendre）點(diǎn)分布：

式中L′n－1（ζ）為n－1階Legendre正交多項(xiàng)式的一階導(dǎo)數(shù)。

譜單元法數(shù)值積分采用GLL積分方案，即積分點(diǎn)與GLL插值方案的插值點(diǎn)一致：

式中f（ζ）為被積函數(shù)，ζi為積分點(diǎn)，wi為權(quán)系數(shù)。

將插值函數(shù)式（3）代入到式（1）和式（2）可得運(yùn)動方程的弱形式：

式中Me、Ke、δe、Pe分別稱為單元質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、節(jié)點(diǎn)位移列陣和載荷列陣。

獲得變截面Timoshenko梁單元矩陣后可使用與有限元相似的方法組裝成系統(tǒng)矩陣，假定身管被分割成N個單元，則系統(tǒng)剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、載荷列陣和位移列陣分別為：

式中為廣義特征值問題，解上式即可得到固有頻率ω和振型qΔ。

2 高效全局靈敏度分析

2.1 身管固有頻率自適應(yīng)混沌多項(xiàng)式展開

混沌多項(xiàng)式展開近年來在不確定問題分析中逐漸得到應(yīng)用。其基本思想是將系統(tǒng)的響應(yīng)展開成有限的p階混沌多項(xiàng)式和的形式［18］。如圖1所示，考慮火炮身管、炮口制退器、炮尾的綜合模型，其中炮口制退器和炮尾簡化成集中質(zhì)量。

圖1 簡化身管模型Fig.1 Model of barrel

令x＝｛L1，L2，L3，L4，L5，φ1，φ2，φ3，φ4，Mw，Mk｝T為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，為方便表述，下文中用xj代表x中的第j個變量，f為身管的固有頻率，則f展開為x的混沌多項(xiàng)式形式為：

式中βi為多項(xiàng)式展開系數(shù)，s為展開項(xiàng)數(shù)，φui（x）為多元多項(xiàng)式，n為變量個數(shù)，ψu(yù)ij（xj）是以xj的概率密度函數(shù)為權(quán)函數(shù)的混沌多項(xiàng)式，uij為多項(xiàng)式ψu(yù)ij（xj）的階數(shù)，ui為各多項(xiàng)式階數(shù)的集合，滿足

式（11）中φui（x）包含了所有階數(shù)小于等于p的項(xiàng)，隨著輸入變量n和展開階數(shù)p的增加，s將呈指數(shù)增長。為實(shí)現(xiàn)模型的縮減，根據(jù)參數(shù)的重要性、主項(xiàng)和交叉項(xiàng)重要性的不同，假定STj為變量xj的全局靈敏度，定義：

記tmin為t中的最小值，定義下式：

則滿足式（16）的混沌多項(xiàng)式展開集為：

由式（14）可知，若系統(tǒng)對某個參數(shù)xj的靈敏度STj較大，則tj較小，進(jìn)而由式（16）可得(uij)tj較小，因此含有xj的項(xiàng)就越容易被保留下來。

2.2 關(guān)鍵項(xiàng)的選擇及展開系數(shù)的計算

上節(jié)中通過基于靈敏度的混沌多項(xiàng)式自適應(yīng)展開獲得了滿足稀疏性原理的混沌多項(xiàng)式展開集Bn，pt，由此可得：

為進(jìn)一步降低試驗(yàn)設(shè)計的規(guī)模，采用LASSO［19］方法同時識別重要的項(xiàng)并計算相應(yīng)系數(shù)，定義為：

式中：F為輸出樣本，argmin（·）為對（·）求最小值，λ為調(diào)整參數(shù)。

采用最小角回歸（LAR）算法［20］解算式（19），并用相對留一誤差檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木龋?/p>

2.3 基于混沌多項(xiàng)式展開的全局靈敏度

混沌多項(xiàng)式具有正交特性，即

式中δij為克羅尼克符號。

由式（22）可很容易解析地求得f的期望μf和方差為：

式中：E［·］表示求［·］均值，D［·］表示求［·］方差。

為計算參數(shù)的全局靈敏度因子，基于Sobol'靈敏度分析方法，可得混沌多項(xiàng)式展開中各項(xiàng)的靈敏度因子為：

則考慮變量xk單獨(dú)作用的靈敏度Sk和總靈敏度STk分別為：

可見，獲得混沌多項(xiàng)式系數(shù)后，可直接解析地計算出全局靈敏度因子，與Monte Carlo相比可顯著提高計算效率，當(dāng)獲得靈敏度因子后可用于更新自適應(yīng)展開參數(shù)。計算流程如圖2所示。

圖2 計算流程圖Fig.1 Flowchart of computation process

3 算 例

3.1 不同混沌多項(xiàng)式展開比較

取兩變量(x1，x2)模型，n＝2，p＝4，比較混沌多項(xiàng)式完備展開，雙曲展開［21］和自適應(yīng)展開。其中雙曲展開方案中t＝0.9，自適應(yīng)展開方案中ST1＝0.72，ST2＝0.3。不同方案的結(jié)果如圖3、圖4和圖5所示，圖中坐標(biāo)軸表示變量的階數(shù)。由圖中可見完備多項(xiàng)式展開保留了所有小于p的項(xiàng)，雙曲多項(xiàng)式展開剔除了對稱高階交叉項(xiàng)，自適應(yīng)多項(xiàng)式展開根據(jù)靈敏度分析結(jié)果剔除了不重要變量的高階項(xiàng)。

圖3 完備多項(xiàng)式展開Fig.3 Truncated by complete scheme

圖4 雙曲多項(xiàng)式展開Fig.4 Truncated by hyperbolic scheme

3.2 解析測試函數(shù)

Ishigami函數(shù)是靈敏度分析的基準(zhǔn)函數(shù)［22］：

式中x1、x2、x3為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，在[－π，π]上滿足均勻分布。計算結(jié)果如表1所示，各參數(shù)的靈敏度因子結(jié)果如表2所示。結(jié)果顯示采用本文的方法可顯著減少試驗(yàn)設(shè)計的次數(shù)，提高計算效率。靈敏度因子的相對誤差遠(yuǎn)小于Crude MC方法，且不會出現(xiàn)靈敏度因子為負(fù)的現(xiàn)象。

表1 Ishigam i函數(shù)的前2階統(tǒng)計矩Tab.1 Ishigam i function and the first two moments

表2 參數(shù)全局靈敏度分析Tab.2 Global sensitivity indices of parameters

圖5 自適應(yīng)多項(xiàng)式展開Fig.5 Truncated by adaptive scheme

3.3 身管結(jié)構(gòu)參數(shù)靈敏度分析

身管模型的基本參數(shù)為：E＝2.1×1011N／m2，G＝1／2.6E，kg＝9／10，ρ＝7 850 kg／m3。L1、L2、L3、L4、L5、φ1、φ2、φ3、φ4、Mw、Mp均服從高斯分布，其均值為現(xiàn)有身管的名義值，不確定參數(shù)如表3所示?；煦缍囗?xiàng)式的最大階數(shù)pmax＝7。前5階固有頻率如表4所示，圖6～圖10為輸入?yún)?shù)對各階固有頻率的靈敏度因子。

身管計算表明對于前五階固有頻率搖架前支點(diǎn)位置L3都是重要關(guān)鍵參數(shù)，除四階頻率外φ2對各階頻率都有重要影響，身管炮口處直徑φ4對一階頻率和三階頻率有重要影響，φ3對二階頻率和三階頻率較大影響，L1僅對四階頻率有較大影響，φ1對四階頻率有較大影響，對其余各階頻率影響較弱，L5對三階頻率有影響，L2、L4、Mw和Mk對前五階固有頻率均無影響。

表3 輸入隨機(jī)參數(shù)Tab.3 Parameters of barrel

圖6 一階固有頻率各參數(shù)靈敏度Fig.6 Sensitivity indices of parameters for first frequency

圖7 二階固有頻率各參數(shù)靈敏度Fig.7 Sensitivity indices of parameters for second frequency

圖8 三階固有頻率各參數(shù)靈敏度Fig.8 Sensitivity indices of parameters for third frequency

表4 前5階固有頻率Tab.4 First five frequencies

圖9 四階固有頻率各參數(shù)靈敏度Fig.9 Sensitivity indices of parameters for forth frequency

圖10 五階固有頻率各參數(shù)靈敏度Fig.10 Sensitivity indices of parameters for fifth frequency

4 結(jié) 論

本文將火炮身管固有頻率參數(shù)寫成其結(jié)構(gòu)參數(shù)的混沌多項(xiàng)式形式，提出基于靈敏度的混沌多項(xiàng)自適應(yīng)展開，并采用LASSO萃取出關(guān)鍵項(xiàng)保留在最終的模型中，通過基于混沌多項(xiàng)式的全局靈敏度分析獲得身管結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵參數(shù)，算例表明身管不同階固有頻率對應(yīng)的關(guān)鍵參數(shù)不同，對于低階固有頻率搖架前支點(diǎn)位置L3及對應(yīng)的身管圓柱段直徑φ2和身管炮口處直徑φ4為核心關(guān)鍵參數(shù)，算例結(jié)果可為火炮身管的優(yōu)化設(shè)計提供依據(jù)。

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An effective global sensitivity analysismethod for natural frequencies of a barrel

CHEN Guang-song，QIAN Lin-fang，JILei

（School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science ang Technology，Nanjing 210094，China）

In order to obtain a barrel's key parameters affecting its natural frequencies，the polynomial chaos expansion was used to describe the relation of its natural frequencies and its structural parameters.The adaptive expansion strategy for the polynomial chaos based on the sensitivity was proposed to obtain polynomial chaos expansionswith different orders.The important terms and corresponding expansion coefficients were obtained automatically by using the least absolute shrinkage and selection operator（LASSO）.Based on the orthogonality of the polynomial chaos，the global sensitivity factors for structural parameters of the barrel were obtained directly with coefficients of the polynomial chaos expansion.Example 1 indicated that the proposed method can select expansion orders according to the importance of variables.A benchmark example was presented to demonstrate the effectiveness and higher efficiency of the proposed method.In addition，the numerical examples of barrels indicated that the position of the front fulcrum of the cradle，the corresponding cylinder diameters of barrels and the diameters at barrelsmuzzles are the key parameters affecting lower order natural frequencies of barrels.

barrel；sensitivity analysis；polynomial chaos；LASSO

TJ301

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.006

國家自然科學(xué)基金（11472137，51205207）

2015－02－02 修改稿收到日期：2015－04－14

陳光宋男，博士生，1987年生

錢林方男，教授，1961年生