彭凌云，康迎杰，秦 麗，何浩祥

（1.北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124；2.湖北文理學(xué)院建筑工程學(xué)院，湖北襄陽(yáng) 441053）

風(fēng)荷載作用下復(fù)剛度阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

彭凌云1，康迎杰1，秦 麗2，何浩祥1

（1.北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124；2.湖北文理學(xué)院建筑工程學(xué)院，湖北襄陽(yáng) 441053）

利用復(fù)剛度阻尼進(jìn)行減振的優(yōu)化設(shè)計(jì)理論亟需發(fā)展。建立具有復(fù)剛度阻尼特征的調(diào)頻質(zhì)量阻尼器（TMD）減振結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，并基于定點(diǎn)理論提出了采用復(fù)剛度阻尼的TMD結(jié)構(gòu)最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比確定方法。對(duì)具有復(fù)剛度阻尼特征的TMD減振結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了分析。以主結(jié)構(gòu)位移振幅最小為優(yōu)化條件，推導(dǎo)TMD的阻尼和頻率最優(yōu)參數(shù)的理論公式。結(jié)果表明復(fù)剛度阻尼TMD的整體減振效果接近于黏滯阻尼減振結(jié)構(gòu)，在相同質(zhì)量比和一定頻率范圍內(nèi)，復(fù)剛度阻尼比黏滯阻尼可能具有更好的減振效果。對(duì)Davenport風(fēng)速譜下復(fù)剛度阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)進(jìn)行分析，結(jié)果表明TMD的減振效果要弱于白噪聲作用下的結(jié)果，復(fù)剛度阻尼TMD減振效果稍遜于黏滯阻尼的情況，但二者結(jié)果較接近。在應(yīng)用TMD減振技術(shù)時(shí)，采用復(fù)剛度阻尼是一種有益的選擇方案。

復(fù)剛度阻尼；TMD；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；隨機(jī)振動(dòng)

目前調(diào)頻質(zhì)量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD）相關(guān)的理論與應(yīng)用研究中大都假定結(jié)構(gòu)和TMD子結(jié)構(gòu)中的阻尼屬性為與變形速度相關(guān)的黏滯阻尼。線性黏滯阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)理論目前也較為成熟，在機(jī)械、土木等領(lǐng)域都取得了很成功的應(yīng)用［1－5］。其中穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)早已獲得經(jīng)典的理論公式，文獻(xiàn)［5］對(duì)TMD的研究歷史、發(fā)展及現(xiàn)狀做了非常詳盡的介紹，在此不再贅述。關(guān)于非線性黏滯阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)亦開(kāi)展一些的研究工作［6－7］，總體上看來(lái)相對(duì)于線性黏滯阻尼還是具有一定的優(yōu)勢(shì)，但應(yīng)用時(shí)無(wú)理論公式指導(dǎo)設(shè)計(jì)，需通過(guò)數(shù)值方法求其優(yōu)化參數(shù)。另外，非線性問(wèn)題對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解大多數(shù)情況下與振動(dòng)幅值相關(guān)，適用范圍需加以明確限定。如不加特殊說(shuō)明，下文中“黏滯阻尼”指的都是線性黏滯阻尼。

關(guān)于復(fù)剛度阻尼在TMD減振結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用研究遠(yuǎn)落后于黏滯阻尼。Snowdon［8］在半個(gè)世紀(jì)前研究了具有復(fù)剛度阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)的最優(yōu)參數(shù)，研究表明復(fù)剛度阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)的效果與線性黏滯阻尼相近，不過(guò)該文沒(méi)有給出最優(yōu)參數(shù)與質(zhì)量比的關(guān)系式。丁文鏡在文獻(xiàn)［9］中對(duì)該文的研究成果做了部分介紹，其后國(guó)內(nèi)外關(guān)于減振方面的學(xué)術(shù)專著中似乎再無(wú)此類阻尼的相關(guān)介紹。其原因可能是因?yàn)槟軌蛱峁?fù)剛度阻尼特征的裝置較少，因而未能引起研究人員和工程界的注意。Inaudi等［10－11］提出了一種線性滯回阻尼裝置，該阻尼器的滯回曲線為位于一、三象限的兩個(gè)對(duì)角三角形，相當(dāng)于復(fù)剛度阻尼與彈性剛度的并聯(lián)模型。在此基礎(chǔ)上，Zhou［12］提出了一種具有復(fù)剛度阻尼特征的變摩擦阻尼器，但其構(gòu)造較為復(fù)雜。彭凌云等［13－14］則通過(guò)更為簡(jiǎn)單的方式實(shí)現(xiàn)復(fù)剛度阻尼，裝置簡(jiǎn)單，造價(jià)低廉。雖然這些具有復(fù)剛度阻尼特征的減振裝置目前離工程應(yīng)用尚有一定距離，但如果復(fù)剛度阻尼TMD的減振效果令人滿意，則可為相關(guān)研究人員多提供一種研究思路，可為工程應(yīng)用再多提供一種有益的選擇。

基于主結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼的二自由度力學(xué)模型，本文對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)和白噪聲隨機(jī)過(guò)程激勵(lì)下復(fù)剛度阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了分析，推導(dǎo)了最優(yōu)參數(shù)的理論公式。在具有Dawenport譜特征的隨機(jī)風(fēng)振過(guò)程作用下對(duì)主結(jié)構(gòu)的功率譜和響應(yīng)方差進(jìn)行了計(jì)算，對(duì)復(fù)剛度阻尼和黏滯阻尼兩種TMD的減振效果進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 風(fēng)荷載作用下包含復(fù)剛度阻尼結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程

如圖1所示的主結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼的二自由度結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，荷載作用于主結(jié)構(gòu)上，對(duì)應(yīng)風(fēng)荷載作用于建筑結(jié)構(gòu)的情況，其對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程見(jiàn)公式（1）。

式中：m0、k0、m1、k1分別為TMD減振結(jié)構(gòu)中主、子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度，fd為子結(jié)構(gòu)的阻尼力。當(dāng)采用復(fù)剛度阻尼時(shí)，計(jì)算公式如下所示。式中η為復(fù)剛度阻尼的參數(shù)kd與子結(jié)構(gòu)剛度k1的比值［15］：

圖1 風(fēng)荷載作用下二自由度TMD減振結(jié)構(gòu)力學(xué)模型Fig.1 Themechanicalmodel of two degree of freedom structure with TMD excited by wind load

2 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)的理論解

定義主、子結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)的動(dòng)力放大系數(shù)為上式的模，由此可得：

3 根據(jù)定點(diǎn)理論求解最優(yōu)參數(shù)

Hahnkamm［16］首次揭示了主結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼的TMD減振結(jié)構(gòu)中不同子結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)應(yīng)的主結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)放大系數(shù)隨輸入頻率比g變化的曲線簇中存在公共點(diǎn)，即所謂“定點(diǎn)”，如圖2所示。Den Hartong［17］基于定點(diǎn)理論推導(dǎo)了采用黏滯阻尼TMD結(jié)構(gòu)的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比，其中最優(yōu)頻率比由兩個(gè)公共點(diǎn)處縱坐標(biāo)相等的條件獲得，最優(yōu)阻尼比由動(dòng)力放大系數(shù)曲線的峰點(diǎn)與公共點(diǎn)重合求得。本文亦采用此思路推導(dǎo)復(fù)剛度阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)的最優(yōu)頻率比和阻尼比。對(duì)式（6）中β0分別取η趨于0和無(wú)窮的極限值得：

當(dāng)μ、f為任意給定數(shù)值時(shí)，上式描述的是子結(jié)構(gòu)阻尼比取0和無(wú)窮大條件下的兩條β0（g）曲線，應(yīng)該有兩個(gè)交點(diǎn)，令二者相等整理后可得：

式（8）中g(shù)的兩個(gè)正根即為“定點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，記為ga、gb，如圖2所示。再將ga、gb分別代入到式（7）中第二式后令二者相等可解得使定點(diǎn)處縱坐標(biāo)（動(dòng)力放大系數(shù)）相等的最優(yōu)頻率比與質(zhì)量比的關(guān)系為：

最優(yōu)頻率比對(duì)應(yīng)的兩個(gè)定點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

最優(yōu)頻率比對(duì)應(yīng)的兩個(gè)定點(diǎn)處主結(jié)構(gòu)位移動(dòng)力放大系數(shù)為：

將最優(yōu)頻率比代入式（6）中第一式中后再求得使定點(diǎn)處放大系數(shù)值為局部極大值的阻尼參數(shù)，經(jīng)過(guò)較為復(fù)雜的推導(dǎo)后可得：

當(dāng)質(zhì)量比μ不是太大時(shí)，可按文獻(xiàn)［17］的方法定義簡(jiǎn)諧激勵(lì)下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)阻尼參數(shù)為：

表1給出了復(fù)剛度阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)的最優(yōu)參數(shù)，作為對(duì)比同時(shí)還給出了黏滯阻尼體系的相應(yīng)結(jié)果。

表1 簡(jiǎn)諧風(fēng)振激勵(lì)下TMD減振結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)優(yōu)化參數(shù)Tab.1 Optim ization parameters of steady－state response of structure w ith TMD disturbed by harmonic excitation

從表1中可以看出：

（1）兩種阻尼對(duì)應(yīng)的最優(yōu)頻率比、定點(diǎn)處縱橫坐標(biāo)一致。

（2）兩種阻尼對(duì)應(yīng)的最優(yōu)阻尼參數(shù)不同，而且二者計(jì)算公式中函數(shù)變化趨勢(shì)也不同公式中分子部分是μ的一次多項(xiàng)式，而是二次的。

圖2給出的是質(zhì)量比為0.05、頻率比f(wàn)＝fopt、不同阻尼條件下主結(jié)構(gòu)位移動(dòng)力放大系數(shù)隨輸入頻率比g的變化曲線，阻尼參數(shù)包括復(fù)剛度阻尼5種情況（η＝［0，ηa，ηopt，ηb，∞］）和最優(yōu)黏滯阻尼參數(shù)。

從圖2中可以看出：

（1）最優(yōu)參數(shù)條件下，在g值小于第一定點(diǎn)ga的區(qū)域，采用復(fù)剛度阻尼的TMD減振結(jié)構(gòu)的主結(jié)構(gòu)位移

圖2 簡(jiǎn)諧風(fēng)振作用下主結(jié)構(gòu)位移放大系數(shù)曲線Fig.2 The displacement amplification coefficient curve ofmain structure with harmonic wind excitation

放大系數(shù)小于采用黏滯阻尼的情況；在g值大于第二定點(diǎn)gb的區(qū)域，前者數(shù)值大于后者。因此在質(zhì)量比等于0.05條件下，當(dāng)激勵(lì)頻率小于主結(jié)構(gòu)頻率的89.7% （ga的數(shù)值）時(shí)，復(fù)剛度阻尼減振效果要優(yōu)于黏滯阻尼；

（2）最優(yōu)參數(shù)條件下，復(fù)剛度阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)位移放大系數(shù)曲線中最大值稍大于黏滯阻尼對(duì)應(yīng)的結(jié)果，具體數(shù)值分別為6.49和6.41，前者比后者大1.25%。

4 簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)定點(diǎn)處其他參數(shù)分析

如上所述，在f＝fopt、η＝ηa條件下，圖2中TMD減振結(jié)構(gòu)的主結(jié)構(gòu)位移在定點(diǎn)a，b處相等，下面對(duì)兩種阻尼對(duì)應(yīng)的TMD減振結(jié)構(gòu)中其他力學(xué)參數(shù)加以分析。

將fopt、ηa、ga代入式（5），可分別求得復(fù)剛度阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)中子結(jié)構(gòu)的變形幅值、相位以及主結(jié)構(gòu)的相位隨質(zhì)量比的變化關(guān)系。見(jiàn)圖3，為便于對(duì)比，圖3中同時(shí)給出了主結(jié)構(gòu)位移幅值及黏滯阻尼對(duì)應(yīng)的情況。從圖3中可以看出：

（1）在定點(diǎn)處，兩種阻尼對(duì)應(yīng)的主、子結(jié)構(gòu)的振幅和相位數(shù)值一致，在特定條件下兩種阻尼可以獲得完全相同的結(jié)果。

（2）子結(jié)構(gòu)相對(duì)于主結(jié)構(gòu)的位移隨著質(zhì)量比的增加而減小，但其幅值明顯大于主結(jié)構(gòu)的位移，這體現(xiàn)了所謂“動(dòng)力吸振”的特點(diǎn)，以子結(jié)構(gòu)的大幅度振動(dòng)換得主結(jié)構(gòu)振幅的降低；

圖3 簡(jiǎn)諧風(fēng)振作用下定點(diǎn)處主子結(jié)構(gòu)振幅及相位隨頻率比的變化Fig.3 curves of amplitude and phase change with frequency ratio of structure with TMD disturbed by harmonic wind excitation

（3）主子結(jié)構(gòu)的相位有明顯的差異，當(dāng)質(zhì)量比為0.01和0.05時(shí)二者相位差分別為1.09和1.14，約為π／3，這體現(xiàn)了TMD的“調(diào)頻”特點(diǎn)。

在f＝fopt、η＝ηa條件下，ga點(diǎn)對(duì)應(yīng)的子結(jié)構(gòu)最大復(fù)剛度阻尼力可按下式計(jì)算：

將表1中的相關(guān)公式代入式（16），經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后得βfηζ＝1，即在定點(diǎn)處兩種阻尼對(duì)應(yīng)的最大阻尼力也相等。

從上面的分析結(jié)果看，復(fù)剛度阻尼與黏滯阻尼在定點(diǎn)處的結(jié)果是一致的，二者對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響相同。

5 平穩(wěn)白噪聲風(fēng)振激勵(lì)下的最優(yōu)參數(shù)

圖1所示的二自由度結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)白噪聲風(fēng)振激勵(lì)下的位移響應(yīng)傳遞函數(shù)與式（5）具有相同的函數(shù)形式，主結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的傳遞函數(shù)可寫為如下形式：

對(duì)主結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)功率譜在頻率域內(nèi)積分可得其響應(yīng)方差：

將A0（g）代入式（19）后運(yùn)用留數(shù)定理可以得到式（19）理論解，但公式十分復(fù)雜。通過(guò)數(shù)值方法求得使響應(yīng)方差取得最小值對(duì)應(yīng)的最優(yōu)阻尼比和頻率比隨質(zhì)量比變化曲線，采用數(shù)值擬合的方法求得相應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式如下表所示，為便于對(duì)比，表中同時(shí)給出了黏滯阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)的優(yōu)化參數(shù)的理論公式［9，18］。

表2 平穩(wěn)白噪聲風(fēng)振激勵(lì)下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)優(yōu)化參數(shù)Tab.2 Optim ization param eters of steady-state response of structure w ith TMD disturbed by stationary white noise process excitation

圖4給出了ζ0＝0.05時(shí)，TMD最優(yōu)阻尼比、頻率比、減振效果隨質(zhì)量比的變化曲線。從圖4中可以看出：

（1）平穩(wěn)白噪聲激勵(lì)下，無(wú)阻尼的主結(jié)構(gòu)采用質(zhì)量比大于0.04的最優(yōu)參數(shù)TMD減振后，減震效果大于0，表明其變形幅值將小于阻尼比為5%的相應(yīng)單自由度結(jié)構(gòu)；

（2）復(fù)剛度阻尼TMD的減振效果略遜于黏滯阻尼，當(dāng)質(zhì)量比為0.05時(shí)，二者減振效果分別為9.9%和11%，減振效果相差1.2%。TMD應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)的風(fēng)振控制時(shí)，質(zhì)量比一般不超過(guò)0.05，從這個(gè)角度看，復(fù)剛度阻尼TMD看起來(lái)還是具有較好的應(yīng)用前景；

（3）隨機(jī)過(guò)程激勵(lì)下，兩種阻尼對(duì)應(yīng)的最優(yōu)頻率比區(qū)別非常小，復(fù)剛度阻尼對(duì)應(yīng)的最優(yōu)頻率比稍大于黏滯阻尼。

圖4 平穩(wěn)白噪聲風(fēng)振作用下最優(yōu)參數(shù)及減振效果隨質(zhì)量比變化曲線Fig.4 Curves of optimization parameters and control effection change with mass ratio of structure with TMD disturbed by stationary white noise process excitation

6 達(dá)文波特風(fēng)速譜作用下TMD減振結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)分析算例

平穩(wěn)白噪聲過(guò)程作用下結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)的TMD減振效果不受結(jié)構(gòu)頻率的影響，下面采用Davenport譜模擬脈動(dòng)風(fēng)速譜考察當(dāng)主結(jié)構(gòu)頻率變化時(shí)對(duì)TMD減振效果的影響。Davenport譜采用文獻(xiàn)［19］給出的形式：

式中：va10是10 m高處平均風(fēng)速，本文算例中取13.89 m／s，常數(shù)c1取值600，κ時(shí)與地面狀況有關(guān)的參數(shù)，按文獻(xiàn)［19］中所列“市鎮(zhèn)”狀況取值0.03。在功率譜為Davenport譜的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程作用下主結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的功率譜和響應(yīng)方差的計(jì)算公式為：

圖5 Davenport譜作用下主結(jié)構(gòu)位移功率譜和減振效果Fig.5 Power spectrum and control affection ofmain structural displacement response of structure with TMD disturbed by stationary Davenport spectrum process excitation

圖5（a）圖給出的是復(fù)剛度阻尼和黏滯阻尼對(duì)應(yīng)的TMD減振結(jié)構(gòu)在主結(jié)構(gòu)頻率ω0＝［2π／1，2π／4.5］時(shí)的主結(jié)構(gòu)位移傳遞函數(shù)模的平方和功率譜，TMD的參數(shù)中質(zhì)量比0.05，阻尼比和頻率比按表2中給出的最優(yōu)參數(shù)取值。從圖5（a）中可以看出：

（1）Davenport譜放大了低頻區(qū)域的能量，主結(jié)構(gòu)頻率值越大，低頻區(qū)域放大的程度越高。

（2）最優(yōu)參數(shù)配置的復(fù)剛度阻尼和黏滯阻尼TMD結(jié)構(gòu)中主結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)功率譜曲線在峰點(diǎn)處有一定差異，其他區(qū)域幾乎是重合的。

圖5（b）圖給出的是復(fù)剛度阻尼和黏滯阻尼對(duì)應(yīng)的TMD減振結(jié)構(gòu)的減振效果隨主結(jié)構(gòu)頻率ω0的變化曲線，橫坐標(biāo)從2π／5增加至2π／0.1，對(duì)應(yīng)于周期從5 s減小到0.1 s。減振效果的定義同上節(jié)，即Davenport譜作用下TMD減振結(jié)構(gòu)中主結(jié)構(gòu)位移方差與相同條件下阻尼比為5%的單自由度結(jié)構(gòu)方差響應(yīng)的比值。從圖5（b）中可以看出：

（1）復(fù)剛度阻尼TMD減振效果稍遜于黏滯阻尼的情況，當(dāng)ω0＝2π／5時(shí)，減振效果分別為4.6%和5.1%。當(dāng)ω0＝2π／0.1時(shí)，二者對(duì)應(yīng)值分別為0.81% 和0.73%，效果較為接近。

（2）TMD減振結(jié)構(gòu)的減振效果隨著主結(jié)構(gòu)頻率的增加而降低。即對(duì)于高頻結(jié)構(gòu)，采用TMD的減振效果要明顯弱于長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)。

（3）Dawenport譜作用下TMD的減振效果要弱于白噪聲作用下的結(jié)果。

7 結(jié) 論

對(duì)復(fù)剛度阻尼在TMD減振體系中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，推導(dǎo)了簡(jiǎn)諧風(fēng)振激勵(lì)下復(fù)剛度阻尼TMD的最優(yōu)參數(shù)解析解，用數(shù)值擬合方法給出平穩(wěn)白噪聲激勵(lì)下的優(yōu)化參數(shù)公式，并對(duì)Dawenport譜作用下的主結(jié)構(gòu)功率譜和方差響應(yīng)進(jìn)行了分析。得出如下結(jié)論：

（1）簡(jiǎn)諧風(fēng)振作用下采用復(fù)剛度阻尼的TMD減振結(jié)構(gòu)的最優(yōu)頻率比與采用黏滯阻尼時(shí)相同，在定點(diǎn)處的最大阻尼力和子結(jié)構(gòu)振幅也一致。

（2）在簡(jiǎn)諧激勵(lì)、平穩(wěn)白噪聲隨機(jī)過(guò)程激勵(lì)以及平穩(wěn)Dawenport譜隨機(jī)作用下，復(fù)剛度阻尼TMD的減振效果略小于黏滯阻尼，效果接近。

目前常規(guī)TMD大都采用線性黏滯阻尼，本文的研究工作初步表明復(fù)剛度阻尼在TMD結(jié)構(gòu)風(fēng)振控制方面可以取得與黏滯阻尼相近的效果，存在一定的應(yīng)用價(jià)值。

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Optimal design for structures including TMDsw ith com p lex stiffness and dam ping under w ind loads

PENG Ling-yun1，KANG Ying-jie1，QIN Li2，HE Hao-xiang1

（1.Beijing Municipal Key Lab of Earthquake Engineering and Structural Retrofit，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China；2.School of Civil Engineering and Architecture，Hubei College of Arts and Science，Xiangyang 441053，China）

The study on the optimal design theory for vibration reduction structures with complex stiffness and damping is necessary.The dynamic equations for structures including tunedmass dampers（TMDs）with complex stiffness and damping were established.The method for determining their optimal frequency ratio and optimal damping ratio was presented based on the fixed point theory.The steady state responses of the such kind structures to harmonic excitation and stationary random excitation were analyzed，respectively.The theoretical formulas for the optimal damping and frequency were derived when the displacement amplitude minimization of the main structure was set as the optimal objective.The results showed that the overall vibration reduction effect of this kind of structures were close to that of structures with viscous damping，and the former is better in a certain frequency range with the same mass ratio.The random responses of this kind of structures under Davenportwind speed spectrum were analyzed.The results showed that the vibration reduction effect of TMDs with complex stiffness and damping is less than that under white noise excitation，the vibration reduction effect of the such kind structures is less than that of structures with viscous damping，but the difference is slight；so，if TMDs are applied in vibration control，adopting complex stiffness and damping is a profitable option.

complex stiffness and damping；TMD；steady state response；random vibration

TU352

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.005

國(guó)家自然科學(xué)基金資助（51008010）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助（51208188）

2014－05－27 修改稿收到日期：2014－11－19

彭凌云男，博士，副研究員，1976年生