☉陜西師范大學(xué)教育碩士

☉江蘇省丹陽市第五中學(xué) 李 萍

基本不等式幾何探究及應(yīng)用*

☉陜西師范大學(xué)教育碩士

☉江蘇省丹陽市第五中學(xué) 李 萍

一、教材探究

（人教A版必修5第111頁探究題）在圖1中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b，過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD，你能利用這個(gè)圖形得出不等式的幾何解釋嗎？

圖1

幾何解釋：如圖1，易知△ABD為直角三角形，因?yàn)镈C⊥AB，所以DC2=AC·BC，即DC2=ab?DC=.AB= AC+BC=a+b.

AB≥DE=2DC，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C為圓心時(shí)“=”成立，此時(shí)a=b，即

二、深入探究

圖2

幾何解釋：如圖2，O是半圓的圓心，AB是直徑，D為圓周上一點(diǎn)，DC⊥AB于C，且AC=a，BC=b（a＞b），F(xiàn)O⊥AB于O，連接OD、CF，過C作CE⊥OD于E，由圖2可知CF＞OF= OD＞DC＞DE.

在Rt△OCD中，由射影定理得CD2=DE·OD，故DE=

說明：基本不等式是不等式中的重要內(nèi)容，是高考命題的熱點(diǎn)，在證明不等式及利用不等式求最值的問題中有著非常廣泛的應(yīng)用.下面就基本不等式及不等式鏈的應(yīng)用舉例分析.

三、應(yīng)用探究

1.“和”“積”互化

例1 若正實(shí)數(shù)x、y滿足2x+y+6=xy，則2x+y的最小值為_________.

令2x+y=t（t＞0），則t2-8t-48≥0，即（t-12）（t+4）≥0.又t＞0，則t≥12，即2x+y≥12，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y，即x=3、y=6時(shí)，2x+y取得最小值12.

又2x+y=xy-6，則當(dāng)且僅當(dāng)2x=y，即x=3、y=6時(shí)，2x+y取得最小值12.

2.化多元為二元

例2 （2013年高考山東卷）設(shè)正實(shí)數(shù)x、y、z滿足x2-3xy+4y2-z=0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（ ）.

解析：由已知條件得z=x2-3xy+4y2，代入得：=1，當(dāng)且僅當(dāng)，即x= 2y時(shí)，取得等號(hào).此時(shí)，x=2y且z=2y2.再代入中，經(jīng)過配方可得：1，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2、y=1、z=2時(shí)，取得等號(hào).故的最大值為1.

評(píng)析：運(yùn)用基本不等式求解多元式的最值問題其實(shí)也是各地高考的熱門考點(diǎn)，其綜合性強(qiáng)，能力要求高，往往需要通過仔細(xì)閱讀、觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、探究，加上扎實(shí)的運(yùn)算求解能力，方能實(shí)現(xiàn)問題的有效化解，“減元”是處理本題的關(guān)鍵.

3.逆向分析

解析：由于所給函數(shù)的形式為無理式，直接求解較困難，從所給的區(qū)間入手，可得到≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=或x=3時(shí)取“=”，展開得2x2-7x+3≤0，所以2x2≤7x-3.

評(píng)析：運(yùn)用逆向分析，使問題變得簡潔、易求.因此，當(dāng)解題思維受阻時(shí)，可采用“正難則反”的思考方法.

4.“1”作代換

例4 （2012年高考浙江卷）若正數(shù)x、y滿足x+3y= 5xy，則3x+4y的最小值是（ ）.

評(píng)析：根據(jù)題目背景，有時(shí)將值為“1”的代數(shù)式代入多元目標(biāo)式后，目標(biāo)式便可明顯具備直接運(yùn)用基本不等式的條件和結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.

5.化異求同

例5 已知x、y∈R+，且x2+y2+xy=x+y，則x+y的最大值為_________.

解析：條件中有x2+y2、xy、x+y三種結(jié)構(gòu)，結(jié)論是求x+y的最大值，思考將條件中的另兩種結(jié)構(gòu)x2+y2、xy轉(zhuǎn)化為x+y，建立一個(gè)關(guān)于x+y的不等式.

x+y=x2+y2+xy=（x+y）2-xy≥（x+y）2-（x+y）2.

評(píng)析：運(yùn)用基本不等式求最值，題目中條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)不容忽視，尋找兩者間的異同點(diǎn)，由條件向結(jié)論靠攏，并保留條件中與結(jié)論相同的結(jié)構(gòu)，消除（轉(zhuǎn)化）條件中與結(jié)論不同的結(jié)構(gòu).使用此法求解時(shí)，可能要作多種嘗試.

6.整體換元

基本不等式是課本上的基本內(nèi)容，貌似平淡，意蘊(yùn)不凡，本文以課本中的探究為例展示了其精彩的應(yīng)用，可見教材中的很多內(nèi)容都具有遷移性，它們是數(shù)學(xué)試題不斷創(chuàng)新的源泉，積淀著解決問題常用的一些重要的數(shù)學(xué)方法.在教學(xué)中，我們應(yīng)該重視對(duì)教材基本知識(shí)潛在的智能價(jià)值的挖掘與探究，不斷激活教材，激活學(xué)生的思維.A

*本文系江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃“十二五”重點(diǎn)資助課題《基于問題生成的動(dòng)態(tài)課堂的實(shí)踐研究》（課題編號(hào)：B-a/2011/02/05）的研究成果之一.