☉重慶市梁平實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔣明建

踐行課改精神 引領(lǐng)高效復(fù)習(xí)
——基于一道課本例題在復(fù)習(xí)教學(xué)中的挖掘應(yīng)用

☉重慶市梁平實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔣明建

高中數(shù)學(xué)教材既是實(shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)和實(shí)施課堂教學(xué)最重要的文本資源，也是高考命題和備考復(fù)習(xí)最直接的素材來源.“認(rèn)真鉆研教材內(nèi)容，正確理解教材意圖，準(zhǔn)確把握教材要求——?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材”是課改倡導(dǎo)的主要理念，同時(shí)也是一種操作策略.而數(shù)學(xué)的例、習(xí)題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，絕大多數(shù)例、習(xí)題具有示范性、典型性和探究性，是課本的精髓.它們或是重要結(jié)論，或者體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想方法，或者是某個(gè)一般數(shù)學(xué)命題的具體形式.它的延伸、轉(zhuǎn)化和拓廣，呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容，往往成為高考試題、競賽試題推陳出新的源泉，有很高的教育價(jià)值.因此，在當(dāng)前課改背景下的高三應(yīng)考復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)充分認(rèn)識(shí)課本例題所蘊(yùn)含的價(jià)值，注重對課本例題進(jìn)行充分地挖掘和研究，探究一些典型題目中蘊(yùn)含的東西，發(fā)揮其內(nèi)在潛能，不僅能整合課本知識(shí)模塊，使學(xué)生深刻把握不同知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建有序的網(wǎng)絡(luò)化知識(shí)體系，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且有利于激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)課本例題的熱情，開發(fā)學(xué)生的思維潛能，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，達(dá)到經(jīng)濟(jì)、高效的復(fù)習(xí)效果.本文將談?wù)勔坏勒n本例題在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中的挖掘應(yīng)用，供讀者參考.

一、題目呈現(xiàn)，原解實(shí)錄，體會(huì)教材編排意圖

案例：證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.（人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2P105例4）

原解實(shí)錄（坐標(biāo)法證明）：建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，有A（0，0）.設(shè)B（a，0），D（b，c）.由平行四邊形的性質(zhì)得C（a+b，c）.因?yàn)閨AB|2= |CD|2=a2，|AD|2=|BC|2=b2+c2，|AC|2=（a+b）2+c2，|BD|2=（b-a）2+ c2，所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2（a2+b2+c2），|AC|2+|BD|2= 2（a2+b2+c2），所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2.命題得證.

課本中編排這個(gè)題目，意在讓學(xué)生體會(huì)用坐標(biāo)法證明平面幾何問題的思想，及時(shí)鞏固兩點(diǎn)間距離公式，初步總結(jié)出用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的基本步驟.同時(shí)，通過這一解答，還需要學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到，用坐標(biāo)法解決問題，建立坐標(biāo)系的方法較多，不同的坐標(biāo)系的選擇，其計(jì)算量是不同的，如何選擇坐標(biāo)系是用坐標(biāo)法解決問題的關(guān)鍵.

二、解法發(fā)散，橫向聯(lián)系，整合課本知識(shí)模塊

高一、高二上新課時(shí)，受教材章節(jié)編排和學(xué)生知識(shí)能力的限制，課本上的例題一般只給出一種解法，高三復(fù)習(xí)時(shí)學(xué)生已經(jīng)較系統(tǒng)、全面地獲得了有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，這時(shí)啟發(fā)學(xué)生從不同的角度去聯(lián)想，橫向溝通，多方探求，就可以重現(xiàn)更多的知識(shí)點(diǎn)，使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，也便于培養(yǎng)學(xué)生的求異思維和發(fā)散思維能力.

別解1：向量法.為了說明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用，本題再次作為例題出現(xiàn)在數(shù)學(xué)必修4“平面向量應(yīng)用舉例”中例1（P109），展示了本題的向量法證明，并由此歸納得出了用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”.充分顯現(xiàn)了本題目的基礎(chǔ)性、典型性和示范作用.

圖1

值得一提的是，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)及從原點(diǎn)出發(fā)的向量成一一對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系賦予了復(fù)數(shù)運(yùn)算明確的幾何意義.因此，借助于復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，我們還可以采取更為靈活、簡便的方法解決本題（解答略）.從而將這一幾何證明問題與數(shù)學(xué)選修1-2P56和數(shù)學(xué)選修2-2P108中的復(fù)數(shù)知識(shí)有機(jī)地融合在一起.

圖2

三、活用結(jié)論，以題攻題，彰顯例題的應(yīng)用價(jià)值

本題的結(jié)論是平行四邊形的一條重要性質(zhì)，應(yīng)用這一重要結(jié)論去解決課本有關(guān)習(xí)題、高考題、競賽題等，不但解法別開生面，過程簡單明了，使問題解答收到事半功倍的效果，而且還能訓(xùn)練學(xué)生解題思維的靈活性和敏捷性，使學(xué)生學(xué)會(huì)通過處理一個(gè)問題解決一串問題的本領(lǐng)，彰顯課本例題的應(yīng)用價(jià)值和教學(xué)功能.

1.解課本習(xí)題

題1：（數(shù)學(xué)必修2習(xí)題3.3B組第7題（P110））已知AO是△ABC的邊BC的中線，求證：|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.

證明：已知AO是△ABC的邊BC的中線，則O是BC的中點(diǎn)，那么2|AO|、2|CO|就是以△ABC的邊AB、AC為相鄰兩邊的平行四邊形的兩條對角線長，所以直接應(yīng)用本文例題中的結(jié)論，得2（|AB|2+|AC|2）=|2AO|2+|2OC|2，即|AB|2+ |AC|2=2（|AO|2+|OC|2），證畢.

題2：（數(shù)學(xué)必修2習(xí)題4.2A組第8題 （P133））Rt△ABC中，斜邊BC為m，以BC的中點(diǎn)O為圓心，作半徑為n的圓，分別交BC于P、Q兩點(diǎn)，求證：|AP|2+|AQ|2+|PQ|2為定值.證明：注意到點(diǎn)O是線段PQ的中點(diǎn)（如圖3），所以PQ、2AO是以AP、AQ為相鄰兩邊的平行四邊形的對角線，直接運(yùn)用結(jié)論，得|AP|2+|AQ|2=.已知|PQ|=2n，于是|AP|2+|AQ|2+ |PQ|2=2n2+（定值），命題得證.

圖3

題3：（數(shù)學(xué)必修5習(xí)題1.2A組第13題 （P20））△ABC的三邊分別為a、b、c，邊BC、CA、AB上的中線分別記為ma、mb、mc，應(yīng)用余弦定理證明：

證明：按照要求，本題需兩次使用余弦定理建立等式才能達(dá)到證明目的.但若熟悉本文例題中的結(jié)論，能獲得比應(yīng)用余弦定理證明更加簡潔、明快的證明方法.

事實(shí)上，因?yàn)閙a是邊BC上的中線，所以2ma和BC是以AB、AC為相鄰兩邊的平行四邊形的兩條對角線，由結(jié)論直接得到（2ma）2+a2=2（b2+c2），即ma=

一步到位，干凈利索！（其余兩式同理可證）

2.解高考題

（詳解見文［5］中解析5）參考答案：D

3.解競賽題、聯(lián)考題

題5：（2012年上海市 “新知杯”高中數(shù)學(xué)競賽第9題）如圖4，在平行四邊形ABCD中，AB=x，BC=1，對角線AC與BD的夾角∠BOC=45°，記直線AB與CD的距離為h（x），求h（x）的表達(dá)式，并寫出x的取值范圍.

圖4

題6：（2014年北約聯(lián)考模擬卷（2）第1題）已知平行四邊形兩條鄰邊長分別是3和5，一條對角線長是6，求另一條對角線的長度.

圖5

4.證明定理

定理1：矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其兩對角線端點(diǎn)的距離的平方和相等.

證明：如圖5，P是矩形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)Q，連接PQ，易知點(diǎn)Q是AC與BD的中點(diǎn)，運(yùn)用結(jié)論可得2（|PA|2+|PC|2）=|AC|2+（2|PQ|）2，2（|PB|2+ |PD|2）=|BD|2+（2|PQ|）2，矩形ABCD中，|AC|=|BD|，所以2（|PA|2+|PC|2）=2（|PB|2+|PD|2），即|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2，命題成立.

定理2：空間中一點(diǎn)到矩形一條對角線兩端點(diǎn)的距離的平方和等于到這個(gè)矩形另一條對角線兩端點(diǎn)的距離的平方和.

根據(jù)問題特征，直接運(yùn)用平行四邊形的這一重要性質(zhì)解決以上高考題、競賽題、聯(lián)考題和定理證明，不折騰、不費(fèi)力，簡便快捷，事半功倍，凸顯出了例題結(jié)論極高的應(yīng)用價(jià)值.

學(xué)以致用，挖掘例題結(jié)論的應(yīng)用價(jià)值，多題一解，多解歸一，起到了弄通一題而旁通一批，舉一反三、事半功倍的教學(xué)效果，從而落實(shí)基礎(chǔ)，提升能力，培養(yǎng)了思維的發(fā)散性、收斂性、靈活性和創(chuàng)造性，是拒絕題海戰(zhàn)術(shù)，提高復(fù)習(xí)效率的好方法.

四、反思、感悟

高一、高二學(xué)習(xí)新課的時(shí)候，受知識(shí)能力的限制，不少知識(shí)的獲得往往是零散的，缺乏必要的廣度、深度和高度，也不允許違背學(xué)生認(rèn)知規(guī)律去打破章節(jié)界限，拔高要求做到“一步到位”.高考是人才選拔考試，數(shù)學(xué)高考命題注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，注重從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，以加強(qiáng)對能力和素質(zhì)的考查，它要求考生對課程內(nèi)容能夠融會(huì)貫通，系統(tǒng)地掌握課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，因此，在應(yīng)考復(fù)習(xí)中，要重視基本能力與綜合能力的培養(yǎng).“溫故而知新”，因高三學(xué)生的視野相比高一、高二時(shí)更為開闊，對教材中例題、習(xí)題等原有知識(shí)的認(rèn)識(shí)和處理，切忌只是進(jìn)行簡單地“就事論事”和“重復(fù)放映”，而應(yīng)該站在整體的高度重新審視教材，應(yīng)有“看山是山，看水是水；看山不是山，看水不是水；看山還是山，看水還是水”的思想認(rèn)識(shí)境界，力求有新的理解、新的發(fā)現(xiàn)、新的感悟.

總之，在全面推進(jìn)課程改革的今天，在復(fù)習(xí)備考的過程中，只有踐行課改精神，站在高中數(shù)學(xué)整體的高度與教材對話，敢于打破章節(jié)界限，激活教材例題的潛在價(jià)值，充分發(fā)揮其在教學(xué)中的引領(lǐng)作用，我們才能使得復(fù)習(xí)既有熟悉感，又有新鮮感，激發(fā)起學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生在興趣盎然中加深對基礎(chǔ)知識(shí)的理解與鞏固，才能真正擺脫“題海”的束縛，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高復(fù)習(xí)備考效率.

1.王申懷，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.章建躍，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)4（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.李建華，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.錢佩玲，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2-2（選修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

5.蔣明建.關(guān)注知識(shí)交匯 解析高考難題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（2）.

6.洪恩鋒.挖掘真題潛在價(jià)值 引領(lǐng)高三高效復(fù)習(xí)——有感于一道高考壓軸真題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（4）.

7.王峰.立足課改精神，提高復(fù)習(xí)效益［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2012（1-2）.A