☉浙江省嵊州市黃澤中學(xué) 袁鋼南

波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

☉浙江省嵊州市黃澤中學(xué) 袁鋼南

21世紀(jì)我國(guó)基礎(chǔ)教育進(jìn)入到新課改時(shí)代，想要對(duì)當(dāng)前時(shí)代發(fā)展需求有效滿足，就必須要對(duì)傳統(tǒng)應(yīng)試教育中存在的問(wèn)題徹底改善，教學(xué)目標(biāo)集中在培養(yǎng)學(xué)生健全人格上，在這一基礎(chǔ)上就要完善新的基礎(chǔ)教育體系.其中在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，對(duì)波利亞解題模型進(jìn)行應(yīng)用，有助于引導(dǎo)學(xué)生正確把握數(shù)學(xué)解題思路.波利亞解題模型體現(xiàn)了它的解題思想，它的解題思想主要表現(xiàn)為四個(gè)過(guò)程階段：閱讀題目、理解題目；得出解題思路、制定解題計(jì)劃；實(shí)施解題計(jì)劃；回顧解題過(guò)程.清楚了這種模型的具體解題思路之后，我們將以具體實(shí)例來(lái)闡述這種模型的運(yùn)用.

一、波利亞解題模型的理論研究

波利亞是一位經(jīng)典分析大師，在變分學(xué)、概率論及函數(shù)論等多方面有深入研究，波利亞解題思想較豐富，其中最為經(jīng)典的專著有《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》及《怎樣解題》等，其中《怎樣解題》中的解題模型及解題表具有重要的應(yīng)用價(jià)值.在波利亞解題模型中，將解題過(guò)程分為四個(gè)階段，即理解問(wèn)題、制定計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃及回顧分析.其中第一階段，理解問(wèn)題要弄清已知條件是什么，問(wèn)題是什么.如：解決應(yīng)用題時(shí)，采用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將題目描述出來(lái)，并且還要對(duì)其中的已知條件和未知條件等明確.在對(duì)題目弄明白之后，就要對(duì)大腦中的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行搜索定位，確定具體的解決方式.第二階段就需要針對(duì)這些問(wèn)題制定相應(yīng)的計(jì)劃，應(yīng)理解條件中各個(gè)要求有怎樣的聯(lián)系，或者未知量與已知量有什么關(guān)系等.可從尋找模型、尋找技能、轉(zhuǎn)化題目三方面進(jìn)行，也是指找到與此題目相類似的問(wèn)題，并從相關(guān)解題中獲得啟發(fā)，深入分析題目的問(wèn)題及條件等，查看是否有合適的思想方法及技能，尤其在遇到較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可將其轉(zhuǎn)換為比較熟悉的模型，對(duì)其進(jìn)行解決.第三階段，實(shí)施制定的計(jì)劃，在已形成的解題思路及解題方案的指引下，采用已學(xué)知識(shí)、技能及原理等解決問(wèn)題.第四階段，則需要對(duì)整個(gè)解題過(guò)程進(jìn)行回顧性分析及總結(jié)，主要要求學(xué)生怎么理解問(wèn)題，形成怎樣的解題思路，以及如何檢驗(yàn)所得問(wèn)題的結(jié)果，本題是否還隱藏有其他的解決辦法.

二、波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題中的常用模式

1.疊加模式

這種模式通常是將其具體情況分解成相關(guān)的幾個(gè)特殊情況組合，或者是把相關(guān)的特殊情況全部疊加在一起集合成為一般情況，之后采用相適應(yīng)的方式對(duì)其進(jìn)行解決.

例1如果一個(gè)物體做拋物線運(yùn)動(dòng)，其軌跡如圖1所示，那么將其初始速度設(shè)置成v，求物體運(yùn)動(dòng)曲線的軌跡方程.

解析：關(guān)于這一題目可采用疊加模式進(jìn)行解決，由于物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條曲線，并不是圓弧.當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)在水平方向?qū)嵤﹦蛩僦本€運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，如果運(yùn)行t秒之后，那么其位移則可以用公式x=vt表示，但是關(guān)于其運(yùn)動(dòng)軌跡也可以將其看成是兩種運(yùn)動(dòng)

圖1

2.遞歸模式

這種模式應(yīng)用通常是在數(shù)列求和中，在高中數(shù)學(xué)解題中此類題型是較為常見(jiàn)的題，解決此類題目時(shí)需要應(yīng)用遞歸模式.

例2求S2=12+22+32+42+52+62+……+n2的和.

解析：針對(duì)此題的解題方式我們可采用遞歸模式來(lái)進(jìn)行求解，此時(shí)，公式（n+1）3=n3+3n2+3n+1，從而得出（n+ 1）3-n3=3n2+3n+1，將具體數(shù)值帶進(jìn)去，即可得到23-13=3× 12+3×1+1；33-23=3×22+3×2+1，43-33=3×32+3×3+1，…，以此類推，即可得到（n+1）3-n3=3n2+3n+1，將兩邊相加，得到（n+1）3-1=3S2+3S1+n.最后將S1帶入到上式中，可得到

3.雙軌跡模式

這種模式通常是在數(shù)學(xué)幾何解題中應(yīng)用，可以將問(wèn)題成功轉(zhuǎn)化成一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行解決，依照具體條件能夠?qū)⑵浞殖扇舾刹糠?，不管是哪一個(gè)部分都可以將其轉(zhuǎn)化成為點(diǎn)的軌跡，并且每一個(gè)點(diǎn)的軌跡可以是一條直線，也可以是一個(gè)圓等，在對(duì)滿足條件的若干軌跡的交點(diǎn)也即是需要求解的問(wèn)題.

例3已知三個(gè)相等并且不在同一直線上的圓，作一圓使得包含其他三個(gè)，并且與三個(gè)圓均相切.

解析：對(duì)于此道題，要想實(shí)現(xiàn)與其他三個(gè)圓均相切，則必須找到相應(yīng)的圓心及半徑即可，根據(jù)圓心及半徑作圓就較為簡(jiǎn)單.因此，本題的解題關(guān)鍵就是尋找圓心及半徑.可假設(shè)作出圖2.在該圖中O假設(shè)為要找的圓心，而O1、O2、O3為已知圓的圓心，其中A、B、C均為切點(diǎn).即OA= OB=OC，所代表的也就是圓的半徑.之后，依照以上題目中的已知條件，可以得到三個(gè)小圓的半徑均相等，即O1A=O2B=O3C，也表示OO1=OO2=OO3.這樣一來(lái)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：已知圓心O1、O2、O3三點(diǎn)，作與它們的距離相等的點(diǎn)O，如圖3，換句話來(lái)說(shuō)，求出△O1O2O3外接圓的圓心.最終，將此道題可轉(zhuǎn)換為我們之前解答的題目，就可以很簡(jiǎn)單地將圓作出來(lái)了.

圖2

圖3

三、高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用波利亞解題模型的基本思路

1.理解題目

理解題目就要理解題目給出的條件，理解題目的語(yǔ)言陳述，首先要清楚已知數(shù)據(jù)、未知條件和題干條件都分別是什么.進(jìn)而要深層次地分析題目，弄清題目中的細(xì)節(jié)，對(duì)要求的問(wèn)題進(jìn)行定位.學(xué)生在清楚明白這些要求和條件之后，就要思考解題思路、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解題.下面將以實(shí)例對(duì)理解題目進(jìn)行詳細(xì)的闡述.

例4將直線2x-y+λ=1沿x軸向右平移1個(gè)單位，所得直線與圓x2+y2+4x-2y=0相切，求實(shí)數(shù)λ的值.

（1）首先，這道題目自身就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)的題目，所以不用將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.

（2）然后，我們可以得知條件有兩個(gè)，一是直線2xy+λ=1沿x軸向右平移1個(gè)單位，另一個(gè)是平移之后的直線與圓x2+y2+4x-2y=0相切，問(wèn)題是求出實(shí)數(shù)λ的值.

（3）題干條件和所要求的問(wèn)題都清楚明白之后，就需要對(duì)題目范圍進(jìn)行判定.將兩個(gè)具體已知條件列出來(lái)，將題目答案的范圍確定，應(yīng)為實(shí)數(shù).

2.解題思路與解題計(jì)劃

制定解題計(jì)劃是這一步的主要任務(wù)和內(nèi)容，對(duì)于問(wèn)題的理解之后，就是構(gòu)思解題思路，形成良好的解題思路需要良好的知識(shí)儲(chǔ)備和經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，加強(qiáng)對(duì)模型的積累和思想方法、技能的積累，制定思路時(shí)可以想想是否曾經(jīng)遇到過(guò)相似的題目，看是否能從中得到一些啟示，來(lái)形成自己的解題思路.解題思路和解題計(jì)劃的制定需從三方面入手：尋找類似的模型；尋找相關(guān)的技能和思想方法，對(duì)題目條件進(jìn)行深入思考分析，看是否有相應(yīng)的技能和思想方法；將題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化與轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為熟悉的模型，然后進(jìn)行解題.

例5已知a1=2，an+1=2an+5n，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

（1）第一步是將解題思路具體化，找出解題的合適模型.通過(guò)觀察題干給出的條件，我們可以選擇待定系數(shù)法來(lái)進(jìn)行構(gòu)建新模型，可推出參考量an+1=2an+5n，然后再構(gòu)造出新數(shù)行數(shù)學(xué)計(jì)算解答.

（2）找到類似的模型之后，就需要將現(xiàn)有不熟悉的模型轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單熟悉的解題模型，轉(zhuǎn)化模型本題要用的是待定系數(shù)法，那么應(yīng)使第三項(xiàng)變?yōu)槌?shù)項(xiàng)，因此將兩邊同除以5n，得而轉(zhuǎn)化為5bn+1-2bn=1這種模型來(lái)解題.

3.實(shí)施解題計(jì)劃及解題回顧

實(shí)施解題計(jì)劃是具體的實(shí)施過(guò)程，實(shí)施過(guò)程中會(huì)遇到各種各樣的問(wèn)題，所以在進(jìn)行實(shí)施解題方法時(shí)，我們應(yīng)該認(rèn)真思考以前解題時(shí)可行的代數(shù)或者是幾何運(yùn)算，用形式推理或者是直接觀察，再或者是兩者的結(jié)合將解題步驟確定并進(jìn)行檢驗(yàn)，將解題思路與方法在具體運(yùn)算中高效地結(jié)合

解題回顧，顧名思義就是在解決完一個(gè)問(wèn)題后回過(guò)頭來(lái)檢驗(yàn)自己的解答過(guò)程和解答的答案是否正確，這是經(jīng)常被學(xué)生和教師忽略的.做題不能只是做題，還要從做題中深層次地挖掘出一些可總結(jié)、可利用的東西，這些東西可以指導(dǎo)著以后求解的其他問(wèn)題，解題者不能只停留在對(duì)當(dāng)前這一個(gè)問(wèn)題的解答，而是要深入理解和思考如何解答這個(gè)問(wèn)題，以及尋找更加簡(jiǎn)便的解題思路和解題途徑，對(duì)于解題過(guò)程中的障礙要充分發(fā)揮已學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的作用，使解題更快更對(duì).