☉江蘇省張家港市第八中學(xué) 高東

對一道經(jīng)典折疊壓軸題的探析與建議*

☉江蘇省張家港市第八中學(xué) 高東

一、問題呈現(xiàn)

題目平面直角坐標(biāo)系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標(biāo)原點，A點坐標(biāo)為（10，0），C點坐標(biāo)為（0，8），D是線段AB上的一點，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處（如圖1）有一拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過O、C、D三點.

（1）求線段AD的長及拋物線的解析式.

圖1

（2）一動點P從點E出發(fā)，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當(dāng)點P運動到點C時，兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似？

（3）點N在拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M與點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

本題是一道由一張矩形紙片折疊形成的直線型坐標(biāo)幾何問題，綜合考查軸對稱、全等三角形、相似三角形、矩形的性質(zhì)、勾股定理與方程、平行四邊形等方面的知識.重點考查學(xué)生建構(gòu)幾何模型的能力，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決綜合問題的能力，以及運用方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解決問題的能力等.試題內(nèi)涵豐富，解法經(jīng)典，值得深思.

二、解法探析

1.第（1）問——折在對稱，疊在全等，數(shù)形結(jié)合列方程分析：折疊，實質(zhì)上是一種翻折變換，即折疊前后重疊部分的對應(yīng)線段、角相等，對應(yīng)點的連線被折痕所在的直線垂直平分.從中我們不難看出，折疊后重疊的三角形是全等三角形，其對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

第（1）問的入口較寬，比較簡單，能保證大部分學(xué)生會做，只要抓住折疊前與折疊后不變的量.折疊前后哪些量變了，哪些量不變，問題就會迎刃而解.先在Rt△OEC中求出OE長，再在Rt△ADE中運用勾股定理構(gòu)建方程求AD.然后將O、D、C三點的坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx+c，求出a、b、c即可（如圖2）.

圖2

2.第（2）問——線動構(gòu)相似，幾何轉(zhuǎn)代數(shù)，分類討論列方程

分析：相似，語出《易·系辭上》：“與天地相似，故不違.”數(shù)學(xué)學(xué)科解釋為：“如果兩個圖形的形狀相同，但大小不一定相等，那么這兩個圖形相似.”第（2）問屬于動態(tài)探究問題，解決此類問題的難點是用變量表示線段的長度，關(guān)鍵是模擬運動路線，畫出所有符合情況的圖形，分類討論，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，根據(jù)相似三角形產(chǎn)生的對應(yīng)邊成比例建立含t的方程是求解的關(guān)鍵.分別用含t的代數(shù)式表示CQ和CP的長，再利用相似三角形產(chǎn)生的對應(yīng)邊成比例構(gòu)建含t的方程，求出點的坐標(biāo).

解：分類討論.

情況1：（如圖3）當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°時，因為∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，所以∠DEA=∠OCE.

圖3

圖4

3.第（3）問——平移定坐標(biāo)，代數(shù)轉(zhuǎn)幾何，分類討論求坐標(biāo)

分析：平移，實質(zhì)是等距同構(gòu)，它不改變圖形的形狀和大小，平移后的圖形與原圖形上對應(yīng)點連接的線段平行（或在同一條直線上）且相等.本案例是中考的經(jīng)典考題，已知兩個定點的坐標(biāo)，設(shè)其中一個動點的坐標(biāo)，以這三個點為頂點，通過平移畫出平行四邊形，根據(jù)坐標(biāo)平移的性質(zhì)寫出第四個頂點的坐標(biāo)，最后根據(jù)第四個頂點的坐標(biāo)，判斷平行四邊形的存在性，并求出點的坐標(biāo).

第（3）問情況有兩種，點N在EC的上方或下方，所要求的點有六個，符合條件的點有三個，如何條理清晰地進行分類得出點的位置是解題的先決條件.這類問題通常是以任意兩點形成的線段為平行四邊形的對角線進行分類思考.

解：存在.

圖5

情況1：（如圖5）當(dāng)點N在EC的下方時，設(shè)點N的坐標(biāo)為（4，m），此時由題意可知m＜3.過E、C、N三點分

所以當(dāng)別作NC、EN、CE的平行線，則以E、C、N三點為頂點的平行四邊形有三個：以EC為對角線的?EM1CN；以EN為對角線的?ECNM2；以CN為對角線的?CM3NE.下面分類求點的坐標(biāo).

①以EC為對角線的?EM1CN（如圖6），求點N，M1的坐標(biāo).

圖6

②以EN為對角線的?ECNM2（如圖5），求點N，M2的坐標(biāo).

③以CN為對角線的?CM3NE（如圖5），求點N，M3的坐標(biāo).

情況2：當(dāng)點N在EC的上方時，設(shè)點N的坐標(biāo)為（4，m），此時由題意可知m＞3.同上方法分類討論（解法略），可以求出三個m的值，但考慮到m＞3，這三個值不合題意全部舍去.

三、建議與感悟

綜觀上面的三個問題，呈現(xiàn)一種層層遞進的關(guān)系.全等、解直角三角形、求拋物線的解析式、相似、平移、列方程、解方程是基礎(chǔ)，三角形相似、數(shù)形結(jié)合、分類討論是能力的提高，幾何轉(zhuǎn)代數(shù)、代數(shù)轉(zhuǎn)幾何彰顯數(shù)學(xué)思想的本質(zhì).它的教學(xué)是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、感悟數(shù)學(xué)思想方法、綜合基礎(chǔ)知識、鍛煉數(shù)學(xué)思維能力的主要手段，教學(xué)中教師要結(jié)合學(xué)生的特點，在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上整體把握，逐步推進，在“雙基”轉(zhuǎn)“四基”的過程中，讓數(shù)學(xué)思想方法逐步地融入到實際教學(xué)中.

1.重視“探、構(gòu)、列、解”的過程——關(guān)注基礎(chǔ)，引領(lǐng)方法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）指出：“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián).”壓軸題的整體實現(xiàn)需要基礎(chǔ)知識的日積月累和零散知識點的銜接.教師在教學(xué)活動中不能生拉硬扯，應(yīng)努力挖掘其中可能蘊含的基礎(chǔ)知識、基本模型、基本數(shù)學(xué)思想，分析解題方法，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，并在教學(xué)中不斷鞏固和深化.為了幫助學(xué)生真正理解、思考問題，教師應(yīng)重視“探、構(gòu)、列、解”的過程，組織學(xué)生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、分析，畫出圖形，寫出推理過程，逐漸提高學(xué)生解決問題的能力，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).例如：第（1）問直角三角形和拋物線模型，其中直角三角形模型解決的思路是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，也就是通過勾股定理來列方程，求出線段的長.在教學(xué)中教師可以多設(shè)計這樣的例子，讓學(xué)生在基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，理解其解題的基本方法，讓解題方法引領(lǐng)我們的課堂教學(xué).第（1）問拋物線模型，求解析式通常有一般式、交點式、頂點式三種主要的方法.在教學(xué)中教師要根據(jù)實際情況，引導(dǎo)學(xué)生通過分析理解，合理地選擇解題方法，讓運算變的更加簡單.

2.強調(diào)“模型思想”——注重過程，提升能力

《課標(biāo)（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.”此壓軸題設(shè)計了直角三角形、拋物線、相似三角形、平行四邊形四種常見的幾何模型，教師在實際教學(xué)中，可以運用幾何畫板來模擬，讓學(xué)生根據(jù)模擬過程分析畫出有可能的情況，搞清楚為什么要這樣畫草圖，然后分類進行討論，根據(jù)圖形的基本性質(zhì)列出方程，不僅要使學(xué)生掌握操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解其中的道理.例如：第（2）問相似三角形模型和第（3）問平行四邊形模型，這兩種題型都是中考常見的，教師可以利用幾何畫板來模擬它們的運動過程，根據(jù)幾何圖形描述圖形的運動和變化，讓學(xué)生直觀地分析相似的兩種情況和平行四邊形的六種情況，依據(jù)語言的描述畫出草圖，求出結(jié)果.這些內(nèi)容的設(shè)計有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識.

3.體現(xiàn)“幾何轉(zhuǎn)代數(shù)、代數(shù)轉(zhuǎn)幾何”本質(zhì)——凸顯能力，彰顯思想

《課標(biāo)（2011年版）》指出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.”在數(shù)學(xué)中，平面直角坐標(biāo)系架起了“數(shù)”與“形”之間的橋梁，使我們可以用幾何的方法研究代數(shù)問題，又可以用代數(shù)的方法研究幾何問題.例如：第（3）問平行四邊形模型，在教學(xué)中教師首先可以在對稱軸上任取一個點N，這個點的橫坐標(biāo)為4，縱坐標(biāo)設(shè)為m，其中未知數(shù)m就是“數(shù)”與“形”之間的橋梁，利用幾何畫板作出平行四邊形，求出平行四邊形的第四個頂點的坐標(biāo)，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué).最后把第四個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式，在整個教學(xué)過程中用到了數(shù)形結(jié)合、分類討論、模型思想、幾何轉(zhuǎn)代數(shù)、代數(shù)轉(zhuǎn)幾何等數(shù)學(xué)思想方法.其中，幾何直觀發(fā)揮著重要作用.

總之，經(jīng)典的中考壓軸題是在數(shù)學(xué)目標(biāo)指引下，從教材出發(fā)，通過對基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識改編融合而成的，這就要求我們教師重視“探、構(gòu)、列、解”的過程，強調(diào)“模型思想”，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中發(fā)現(xiàn)“變”的規(guī)律，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，從而達到鞏固知識，培養(yǎng)能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的，達到“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.W

*本文為江蘇省現(xiàn)代教育技術(shù)研究2014年度立項課題《基于現(xiàn)代信息技術(shù)的教學(xué)有效性研究》的研究成果，課題編號：2014—R—32329.