☉廣東省東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校 張青云

運(yùn)動(dòng)之中的常規(guī)考量
——2014年廣東卷中考第25題的思路突破與教學(xué)建議

☉廣東省東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校 張青云

研讀2014年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷，在保持總體難度穩(wěn)定平衡的基礎(chǔ)上，試卷結(jié)構(gòu)更趨合理，基礎(chǔ)知識(shí)覆蓋面更廣，特別是壓軸題的設(shè)計(jì)，一如既往地以動(dòng)態(tài)變化類(lèi)為基架，突出考查學(xué)生在未來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題過(guò)程中最為重要的核心概念、思想方法和常用的技能，綜合性更強(qiáng)，具有較高的信度和恰當(dāng)?shù)膮^(qū)分度.本文擬對(duì)該壓軸題展開(kāi)一些思路探究，并圍繞該題的解題教學(xué)給出建議，供同行研討.

一、解題呈現(xiàn)與思路探究

圖1

題目如圖1，在△ABC中，AB= AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，BC=10cm，AD= 8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于點(diǎn)E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（t＞0）.

（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形.

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)△PEF的面積最大時(shí)，求線段BP的長(zhǎng).

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2

1.思路探求

（1）兩種方法證菱形.

如圖2，在已知t值的前提下，可以求得HD的長(zhǎng)，得到H為AD的中點(diǎn)，由EF⊥AD，可以有兩個(gè)不同方向的思考：一是說(shuō)明EF是AD的垂直平分線，得到AF=DF、AE=ED，再考慮證△AEF為等腰三角形，得AE=AF，從而根據(jù)“四條邊相等的四邊形是菱形”的判定得到結(jié)論；二是由EF∥BC、H為AD中點(diǎn)，可以得出E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，再由中位線定理，判斷出DE∥AF，DF∥AE，從而由“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”的判定得到結(jié)論.

（2）二次函數(shù)中探求圖形面積的極值.

這里的運(yùn)動(dòng)型綜合問(wèn)題，涉及動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線兩種運(yùn)動(dòng)對(duì)象，如圖3，在研究△PEF的面積時(shí)，首先是要處理好動(dòng)線段EF如何表示的問(wèn)題.這是相似三角形學(xué)習(xí)時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到的一個(gè)常規(guī)問(wèn)題.在△ABC已知BC及其高AD長(zhǎng)的情況下，不難得到EF=10-t，由此可表示出△PEF面積的函數(shù)關(guān)系式，并進(jìn)一步求得該函數(shù)的極值.

圖3

（3）分類(lèi)討論顯常規(guī).

運(yùn)動(dòng)類(lèi)問(wèn)題中，多數(shù)都以考查分類(lèi)討論思想方法為目的，而研究某個(gè)三角形變化的形狀，可謂是這類(lèi)問(wèn)題的一種常規(guī)而經(jīng)典的設(shè)計(jì)方式.比如，這里研究△PEF為直角三角形，就可以根據(jù)三角形三個(gè)內(nèi)角中可能為直角的不同，分三種情況畫(huà)三個(gè)對(duì)應(yīng)圖形加以研究分析.

圖4和圖5這兩種情況并不困難，可分別利用相似三角形，得到相關(guān)的比例式，從而得到有關(guān)t的方程，求得t的值.

圖4

圖5

圖6

圖7

2.參考答案

（1）當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=4，則H為AD的中點(diǎn).又因?yàn)镋F⊥AD，所以EF為AD的垂直平分線，所以AE=DE，AF= DF.因?yàn)锳B=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，所以∠B=∠C.因?yàn)镋F∥BC，所以∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，所以∠AEF=∠AFE，所以AE=AF，所以AE=AF=DE=DF，即四邊形AEDF為菱形.

所以當(dāng)t=2s時(shí)，S△PEF存在最大值，最大值為10，此時(shí)BP=3t=6.

（3）存在.理由如下.

①若∠PEF=90°，如圖4所示，此時(shí)PE∥AD，PE= DH=2t，BP=3t.

②若∠EFP=90°，如圖5所示，此時(shí)PF∥AD，PF=DH= 2t，BP=3t，CP=10-3t.

③若∠EPF=90°，如圖7所示，連接PH.

二、教學(xué)思考

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)中考在總體難度控制、強(qiáng)調(diào)雙基的前提下，似乎有一種“簡(jiǎn)單題目不復(fù)習(xí)也會(huì)，有難度的題目復(fù)習(xí)了也不會(huì)”的尷尬，以至出現(xiàn)有些地方或?qū)W校的考生總體平均分偏高，區(qū)分度卻不強(qiáng)的現(xiàn)象，使試題的效度大打折扣.為什么壓軸題會(huì)讓大家覺(jué)得講了白講、教了白教呢？除了學(xué)生某些方面的因素之外，筆者覺(jué)得與教者在備課階段對(duì)解題教學(xué)的定位和思考有密切的聯(lián)系.教者不能僅僅滿足于帶領(lǐng)學(xué)生尋求問(wèn)題的答案，而更應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生注意解題之后的回顧反思，反思解題中用到了哪些知識(shí)？哪些方法？這些知識(shí)和方法是怎樣聯(lián)系起來(lái)的？是怎么想到它們的？困難在哪里？關(guān)鍵是什么？遇到過(guò)什么障礙？后來(lái)是怎么解決的？是否還有別的解決方法？命題能夠推廣嗎？……羅增儒教授認(rèn)為，只有如此不斷地追問(wèn)與反思，才能不斷地改進(jìn)和完善眼前的解題，提煉出對(duì)未來(lái)解題有指導(dǎo)作用的信息，使理解進(jìn)入到深層結(jié)構(gòu).

1.化動(dòng)為靜

運(yùn)動(dòng)類(lèi)問(wèn)題大都是以動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線或者幾何圖形整體運(yùn)動(dòng)為載體的，在分析問(wèn)題時(shí)，首先就要弄清楚運(yùn)動(dòng)的相關(guān)要素，如運(yùn)動(dòng)的對(duì)象、方向、速度等，并將這些要素以某種形式呈現(xiàn)出來(lái)，使動(dòng)態(tài)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的有靜態(tài)味道的幾何圖形問(wèn)題.比如分析本題時(shí)，我們首先就要弄明白動(dòng)點(diǎn)P、動(dòng)線m的運(yùn)動(dòng)方向及運(yùn)動(dòng)速度，把動(dòng)線m的運(yùn)動(dòng)加載到動(dòng)點(diǎn)H上，得到BP=3t、CP=10-3t、DH= 2t、AH=8-2t等，以此為基礎(chǔ)，再分析圖3或者圖4，就使問(wèn)題顯得更為清晰.

2.重視數(shù)形結(jié)合

運(yùn)動(dòng)類(lèi)問(wèn)題以運(yùn)動(dòng)為表象，其內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想主要是分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、方程等思想，解題中，我們要特別注意數(shù)形結(jié)合，根據(jù)動(dòng)態(tài)變化的不同狀態(tài)來(lái)展開(kāi)研究.就本題而言，無(wú)論是證明四邊形是菱形、研究三角形面積的極值，還是研究三角形的形狀，其實(shí)都是運(yùn)動(dòng)類(lèi)問(wèn)題中的常規(guī)形式，應(yīng)當(dāng)早已在平時(shí)的復(fù)習(xí)訓(xùn)練過(guò)程中“覆蓋”過(guò)若干次的.教學(xué)中，我們要特別注意借助于數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)我們的學(xué)生養(yǎng)成將問(wèn)題切割成若干小問(wèn)題的意識(shí)，有敢于將“母圖”分解為若干“子圖”的勇氣，形成一（?。﹩?wèn)題一（子）圖的態(tài)勢(shì).如第（3）問(wèn)，要引導(dǎo)學(xué)生理解，我們的常規(guī)策略就是針對(duì)直角可能出現(xiàn)的三種情況，果斷地將其切割為三個(gè)“子問(wèn)題”，畫(huà)出三個(gè)對(duì)應(yīng)的“子圖”，然后由易到難，各個(gè)擊破.

3.注重利用信息技術(shù)動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，突破難點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)類(lèi)問(wèn)題的思維障礙有時(shí)就在于分辯不清各種可能出現(xiàn)的情況，因此教學(xué)中，教者要引導(dǎo)學(xué)生想辦法讓圖形動(dòng)起來(lái)，在動(dòng)中觀察和思考.比如，有些問(wèn)題是涉及三角板運(yùn)動(dòng)的，就可以用三角板的移動(dòng)來(lái)幫助思考等.教師當(dāng)然也可以采用一些信息技術(shù)手段，輔助呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)的圖形，使學(xué)生直觀地感知到變化的不同狀態(tài)，達(dá)到理解題意、突破難點(diǎn)、貫穿思路之目的，從而促進(jìn)他們思維能力的發(fā)展與提高.本題第（3）問(wèn)的教學(xué)，我們就可以運(yùn)用幾何畫(huà)板，直觀地呈現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)線m的運(yùn)動(dòng)情況，當(dāng)然我們也可以借助于幾何畫(huà)板測(cè)量角度的功能測(cè)量相關(guān)的角度，或者通過(guò)建立相應(yīng)模型等方式幫助學(xué)生理解△PEF，比如，我們過(guò)點(diǎn)E、F分別畫(huà)EF的垂線、并以EF為直徑作圓，如圖8所示，則只有當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到此虛線模型之上時(shí)，△PEF才可能為直角三角形.這些手段，都可以有效地促進(jìn)學(xué)生理解能力的提高.

4.注重變式訓(xùn)練

圖8

運(yùn)動(dòng)變化類(lèi)的問(wèn)題，一定要注意加強(qiáng)變式，以一變多.變式訓(xùn)練是我國(guó)數(shù)學(xué)教育在解題教學(xué)中的一個(gè)優(yōu)良傳統(tǒng).羅增儒教授說(shuō)：“變式練習(xí)的作用，首先是通過(guò)變換方式或添加次數(shù)而增強(qiáng)效果、鞏固記憶、熟練技能；其次，是通過(guò)必要的實(shí)踐來(lái)積累基本問(wèn)題，積累理解所需要的操作數(shù)量、活動(dòng)強(qiáng)度和經(jīng)驗(yàn)體會(huì).”本題的變式，我們可以引導(dǎo)學(xué)生向以下幾個(gè)方面拓展.

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，△PEF的面積是多少？（這樣的設(shè)計(jì)，可以使問(wèn)題從第（1）問(wèn)的特殊，發(fā)展到第（2）問(wèn)的一般，使兩小題形成為一個(gè)完整的問(wèn)題系統(tǒng).當(dāng)然，也可以追問(wèn)圖中其他部分的面積）

（2）可以將第（3）問(wèn)改為“是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.”（對(duì)等腰三角形的討論，也是運(yùn)動(dòng)變化類(lèi)問(wèn)題中的常規(guī)設(shè)計(jì)，此問(wèn)三種情況均存在）

（3）將第（3）問(wèn)改為“是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形EFPB為平行四邊形？”（一樣的是延續(xù)前面存在性設(shè)問(wèn)風(fēng)格，不同的只是追問(wèn)其他發(fā)生變化的圖形部分）

（4）請(qǐng)求出tan∠PEF的值.（在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠PEF的大小其實(shí)是保持不變的，這也就是為什么圖4不存在的原因，理解了這一點(diǎn)，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)線m的結(jié)果，疊加在線段PE中，就使線段PE表現(xiàn)為以點(diǎn)B為位似中心的放大，當(dāng)我們?cè)趲缀萎?huà)板中追蹤線段PE時(shí)，可以清楚地看到線段PE的變換方式，如圖9）

當(dāng)然，如果愿意鉆研，本題也還可以從交換動(dòng)點(diǎn)P、動(dòng)線m的運(yùn)動(dòng)速度，或者讓動(dòng)線m從A向D運(yùn)動(dòng)等來(lái)展開(kāi)研究.

圖9

三、寫(xiě)在最后

運(yùn)動(dòng)變化類(lèi)問(wèn)題是一類(lèi)對(duì)知識(shí)的綜合程度、能力要求都很高的題型，在惜時(shí)如今的考場(chǎng)上，對(duì)絕大多數(shù)學(xué)生而言，當(dāng)然是一個(gè)嚴(yán)峻的考驗(yàn)，這也正是在這樣的題型上學(xué)生得分率普遍不高的原因所在.但所謂“萬(wàn)變不離其宗”，在面對(duì)運(yùn)動(dòng)變化類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們就是要引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握其中的常規(guī)，使萬(wàn)變歸“宗”.雖然這并不容易，但它的長(zhǎng)期積累會(huì)升華為學(xué)生出色的數(shù)學(xué)才華，并促進(jìn)他們反省思維的生成與發(fā)展.

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