宋煜陽

[摘 要]數(shù)學(xué)思考需要好的學(xué)習(xí)材料為載體。在設(shè)計(jì)和選擇學(xué)習(xí)素材時(shí)，需要講求數(shù)學(xué)眼光，關(guān)注情境性素材的抽象轉(zhuǎn)化與直觀表征；需要講求整體感知，關(guān)注比照性素材的關(guān)系概括與類比推理；需要講求路徑習(xí)得，關(guān)注梳理性素材的方法追溯與策略提煉。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思考 學(xué)習(xí)素材

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）14-005

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，而學(xué)會數(shù)學(xué)思考，通俗地說就是學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式想問題。無論是學(xué)生想問題意愿的激發(fā)，還是想問題經(jīng)驗(yàn)方法的積累，學(xué)習(xí)素材至關(guān)重要。

那么，什么樣的學(xué)習(xí)素材能觸發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考呢？筆者認(rèn)為，這種素材首先需要“誘導(dǎo)性”，所蘊(yùn)含的學(xué)習(xí)任務(wù)富有適度的挑戰(zhàn)性和吸引力，有助于學(xué)生獨(dú)立思考，體會數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維方式；其次具有“適切性”，其思維含量落點(diǎn)和學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)是匹配的，多數(shù)學(xué)生通過“跳一跳”能夠“摘到桃子”。因此，在設(shè)計(jì)和選擇學(xué)習(xí)素材時(shí)，我們需要關(guān)注情境性素材的抽象轉(zhuǎn)化與直觀表征，促使學(xué)生“由表及里地想”；需要關(guān)注比照性素材的關(guān)系概括與類比推理，促使學(xué)生“居高臨下地想”；需要關(guān)注梳理性素材的方法追溯與策略提煉，促使學(xué)生“瞻前顧后地想”。

一、情境性素材，發(fā)展數(shù)學(xué)眼光，促進(jìn)抽象轉(zhuǎn)化和直觀表征

用數(shù)學(xué)的思維方式想問題，首先得善于運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光從實(shí)際事物中發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題。而數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、提取過程，是一個(gè)“由表及里”的數(shù)學(xué)化過程，它本身就是數(shù)學(xué)思考的行為，且需要敏銳的數(shù)學(xué)眼光。當(dāng)然，數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)需要長期的積累，尤其離不開借助情境性學(xué)習(xí)素材所進(jìn)行的抽象轉(zhuǎn)化和直觀表征訓(xùn)練。

一方面，數(shù)學(xué)眼光講求透過生活現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，能夠?qū)⒕唧w的現(xiàn)實(shí)情境問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。這就要求在選取和設(shè)計(jì)具體情境話題時(shí)，既要充分考慮素材對于學(xué)生的吸引力，又要關(guān)注到數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于實(shí)現(xiàn)初步的數(shù)學(xué)化。比如，教學(xué)“圓的認(rèn)識”時(shí)，特級教師朱樂平呈現(xiàn)了學(xué)生熟悉的套圈游戲，討論“一字形”、“正方形”、“圓形”三種站隊(duì)方案游戲的公平性，并即時(shí)把套圈游戲的實(shí)物情景圖抽象為“定點(diǎn)”的數(shù)學(xué)示意圖，學(xué)生自然從“哪種套圈游戲方案公平”的生活問題的討論進(jìn)入“兩點(diǎn)之間距離是否相等”這一數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的思考。而特級教師黃愛華教學(xué)“圓的認(rèn)識”時(shí)，呈現(xiàn)的是生活中常見的窨井蓋圖，拋出了“為什么窨井蓋要做成圓形”這一學(xué)生既熟悉又陌生的生活問題，學(xué)生即刻進(jìn)入了圓的本質(zhì)特點(diǎn)的思考與討論。兩位名師學(xué)習(xí)素材選取不盡相同，但都是情境性素材，且體現(xiàn)了貫通生活問題與數(shù)學(xué)本質(zhì)的特點(diǎn)。

另一方面，數(shù)學(xué)眼光講求透過錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)情境發(fā)現(xiàn)內(nèi)隱的關(guān)鍵問題，能夠通過直觀表征將其予以外顯，逼近本質(zhì)思考。這就要求我們對于本身比較復(fù)雜抽象、關(guān)鍵信息隱含的數(shù)學(xué)問題，要有意識地引導(dǎo)學(xué)生通過畫一畫、擺一擺等外在的表現(xiàn)形式來尋找思考的線索。比如，在人教版歸總問題“媽媽的錢買6元一個(gè)的碗，正好可以買6個(gè)。用這些錢買9元一個(gè)的碗，可以買幾個(gè)？”中，由于“這些錢”這條關(guān)鍵信息是隱含的，學(xué)生在解讀題意時(shí)往往感知刺激不強(qiáng)烈，一時(shí)無法捕捉到總量不變這一本質(zhì)特點(diǎn)。教學(xué)中就需要介入線段圖表征題意，要在線段圖上反映出總量長度相等，又要用不等長的線段區(qū)分出“6元”“9元”價(jià)錢不一，學(xué)生往往在“等長”和“不等長”的圖示表達(dá)中顧此失彼。在表征中，學(xué)生容易出現(xiàn)類似下圖的典型錯(cuò)誤：

此時(shí)圍繞“整條線段表示什么？”“同樣長是反映哪條信息？”“不同樣長想表達(dá)什么信息？”等系列問題開展討論，學(xué)生在外化的線段圖“說長道短”中梳理了各信息之間的內(nèi)在聯(lián)系，較好感知了歸總問題的本質(zhì)特點(diǎn)。

情境性素材的設(shè)計(jì)和選擇，既要善于將學(xué)生置身于“它和我們學(xué)過的什么數(shù)學(xué)知識有關(guān)聯(lián)”的思考，實(shí)現(xiàn)生活情境數(shù)學(xué)化；又要善于讓學(xué)生利用幾何直觀手段來描述分析數(shù)學(xué)情境，實(shí)現(xiàn)抽象數(shù)學(xué)問題直觀化，促發(fā)學(xué)生由表及里地想，從而培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光。

二、比照性素材，追求整體感知，促進(jìn)關(guān)系概括和類比推理

學(xué)會思考的本質(zhì)是學(xué)會概括、學(xué)會推理，而支持概括能力和推理能力最為核心的要素是關(guān)系的感知與聯(lián)想。教學(xué)中，要善于運(yùn)用整體感知的方式，擴(kuò)展感知面、拉長感知過程，讓學(xué)生在“是什么，不是什么”的對比材料和“它們之間有什么聯(lián)系”的類比材料中實(shí)現(xiàn)自我概括與判斷推理，充分發(fā)揮遷移內(nèi)化的作用，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和推理能力。

比如，在概念教學(xué)中許多教師習(xí)慣于將概念屬性進(jìn)行分解，給定若干個(gè)學(xué)習(xí)材料組織學(xué)生進(jìn)行分步觀察比較、逐級抽取概念屬性，最終完成整個(gè)概念的歸納概括，學(xué)生經(jīng)歷的是從局部到整體的過程感知。而概念各種屬性之間關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，更有賴于整體感知，更需借助于整體性對比材料，讓學(xué)生置身于對概念全部屬性的一次性觀察、比較、分析和歸納概括。以認(rèn)識長方形為例，可以呈現(xiàn)下列整組材料讓學(xué)生進(jìn)行觀察思考。

（1）這些是長方形。

（2）這些不是長方形。

（3）哪些是長方形？

（4）你能用自己的話說一說什么是長方形嗎？

（5）根據(jù)自己寫下的定義，仔細(xì)檢查是否適合上面舉出的例子。

（6）反饋交流，歸納長方形特征。

上述概念的概括過程，教師先直接提供“這些是長方形”的肯定例證和“這些不是長方形”的否定例證，再提供一組具體例證讓學(xué)生進(jìn)行判別，然后組織學(xué)生嘗試概括特征并提醒學(xué)生進(jìn)行比對，最后進(jìn)行交流概括。在這個(gè)對比分析過程中，一直是以圖形的整體特征來推進(jìn)，促使學(xué)生從邊和角兩個(gè)核心要素對長方形與其他圖形之間關(guān)系作出分化與類化，有效提升了概括能力。

在規(guī)律、性質(zhì)序列學(xué)習(xí)中，后續(xù)規(guī)律、性質(zhì)的學(xué)習(xí)通常是采用類比推理的方式歸納、概括出新結(jié)論。教學(xué)中，要積極尋找新舊事物間相似性材料，激發(fā)學(xué)生在原有結(jié)論基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，試著猜想、概括新結(jié)論，并在舉例驗(yàn)證中確認(rèn)新結(jié)論，實(shí)現(xiàn)有意義的同化。比如，在比的基本性質(zhì)之前學(xué)習(xí)了商不變的性質(zhì)和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，學(xué)生已經(jīng)積累了一些歸納規(guī)律（性質(zhì)）的經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)中可以通過“3÷5=（ ）÷10=12÷（ ）”、“■=■=■”一組材料讓學(xué)生進(jìn)行回憶復(fù)習(xí)，并類比比的基本性質(zhì)。

概念間關(guān)系的感知與聯(lián)想，“仰仗”于學(xué)習(xí)素材對于學(xué)習(xí)者的外在刺激和內(nèi)化反映。在概念、法則、定律、性質(zhì)等內(nèi)容教學(xué)中，教師要積極搭建概括、推理交鋒的平臺，提供一組或幾組對比、類比材料，引導(dǎo)學(xué)生從整體、宏觀的角度居高臨下地思考，以切實(shí)提升學(xué)生分化、分類水平，發(fā)展自我概括、自我推理能力。

三、梳理性素材，著力路徑習(xí)得，促進(jìn)方法追溯和策略凝練

當(dāng)學(xué)生明確要想的數(shù)學(xué)問題后，思考的方法就尤為重要了。教學(xué)中，要充分讓學(xué)生經(jīng)歷想問題的過程，并通過學(xué)習(xí)素材的梳理，體會想問題的思路與方法，積累想問題的經(jīng)驗(yàn)，形成一些想問題的策略。根據(jù)問題解決的步驟，想問題方法與策略的回顧梳理，一般有問題解決前的啟蒙式梳理和問題解決后的反思式梳理兩種情形。

問題解決前的啟蒙式梳理，一方面通過學(xué)習(xí)素材回憶原先問題解決的基本思路和一般步驟，考量其能否在新問題上加以借鑒，起到定向作用；另一方面，如果原有的思路方法不能在新問題中直接應(yīng)用，兩者間的缺口或困難是什么必須加以明確，以起到聚焦作用。比如在用假設(shè)法解決工程問題中，教材安排了“一條道路，如果甲隊(duì)單獨(dú)修，12天修完；如果乙隊(duì)單獨(dú)修，18天才能修完。如果兩隊(duì)合修，多少天能修完？”的實(shí)際問題。前測顯示，絕大多數(shù)學(xué)生由于第一次面臨這種新問題，缺乏方法層面的經(jīng)驗(yàn)，無法自主產(chǎn)生“假設(shè)法”這一策略。教學(xué)中，可以先通過“24噸救災(zāi)物資運(yùn)送到魯?shù)?，甲運(yùn)輸公司6天能運(yùn)完，乙運(yùn)輸公司只要3天，如果兩個(gè)運(yùn)輸公司一起運(yùn)，幾天能運(yùn)完？”具體問題的解決和思路步驟分析，再給出上述問題，促發(fā)學(xué)生聯(lián)想到“增加具體路長這個(gè)條件，新問題就轉(zhuǎn)化為老問題”這一節(jié)點(diǎn)，此時(shí)就有部分學(xué)生自主萌生假設(shè)法。又如，圓的面積公式推導(dǎo)中，首先回顧平行四邊形、三角形和梯形面積公式推導(dǎo)的過程，得出轉(zhuǎn)化方法和推導(dǎo)的步驟，然后再組織學(xué)生在原有的割補(bǔ)法和倍拼法中進(jìn)行思辨“轉(zhuǎn)化方法中的割補(bǔ)法和倍拼法，你覺得對圓來說哪一種方法更合適？為什么？”這就是一個(gè)探究方法定向選擇的梳理過程。

問題解決后的反思式梳理，重在歸類比較、融會貫通。通過反思“我們剛才解決問題的方法和原來的方法有什么相同和區(qū)別？”“如果碰上類似的問題，該如何解決？”等問題，促使學(xué)生對一類問題解決的方法進(jìn)行梳理，從而提升能力。比如，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是在多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，也是整數(shù)乘法學(xué)習(xí)的最后階段，教學(xué)中有必要圍繞“影響整數(shù)乘法筆算的基本核心要素有哪些”進(jìn)行計(jì)算規(guī)則的提煉和歸類?？梢酝ㄟ^一組反思問題來梳理：問題1“三位數(shù)乘兩位數(shù)與三位數(shù)乘一位數(shù)在計(jì)算方法上有哪些異同？”組織學(xué)生明確兩者在乘的順序（數(shù)位上）是一致的，不同的是積的層數(shù)不同；問題2“三位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)在計(jì)算方法上有哪些異同？”組織學(xué)生明確兩者都需要兩層積疊加，不同的是后者每層積要少乘一個(gè)數(shù)位；問題3“剛才我們是從哪幾個(gè)方面對筆算乘法進(jìn)行比較思考的？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，整數(shù)筆算乘法主要從乘的順序、積的疊加層數(shù)兩個(gè)核心要素對計(jì)算法則進(jìn)行關(guān)注。此時(shí)，再拋出問題4“如果遇上三位數(shù)乘三位數(shù)筆算乘法，你認(rèn)為在計(jì)算方法上會有什么特點(diǎn)？”學(xué)生已經(jīng)能夠水到渠成地從整數(shù)乘法的核心要素進(jìn)行思考。

事實(shí)上，無論是學(xué)習(xí)方法的追溯還是解決問題策略的提煉，都需要梳理性學(xué)習(xí)材料加以刺激，只有在“原來怎么想”、“現(xiàn)在怎么想”和“以后怎么想”的不斷溝通梳理中，數(shù)學(xué)思考的意識和能力才能日益增長。

（責(zé)編 金 鈴）