葛 靜，陳曉東，張群英

（1.揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚州 225002；2.淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 淮安 223300；3.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 淮安 223200）

一類受食物資源影響的禽流感模型的漸近性態(tài)

葛 靜1，2，陳曉東3，張群英1＊

（1.揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚州 225002；2.淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 淮安 223300；3.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 淮安 223200）

研究一類新的禽流感模型，考察了禽類食物資源對禽流感傳播過程的影響.分別給出禽類系統(tǒng)和全系統(tǒng)的基本再生數(shù)，并且分析了兩種系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì).理論結(jié)果和數(shù)值模擬表明，禽類豐富的食物資源增加了人類和禽類感染禽流感的風(fēng)險.

傳染病模型；禽流感；食物資源；穩(wěn)定性

自1997年發(fā)現(xiàn)禽流感病毒在人群中傳播以來，高致病的禽流感病毒嚴重威脅著人類的生命和財產(chǎn)安全.數(shù)學(xué)上對傳染病的研究主要通過建立反映傳染病動力學(xué)特性的模型，并對模型動力學(xué)性態(tài)進行定性、定量分析和數(shù)值模擬，以揭示其發(fā)展規(guī)律，預(yù)測其變化趨勢，尋求對其預(yù)防和控制的最優(yōu)策略.最早用于研究傳染病的數(shù)學(xué)模型是著名的SIR倉室模型［1］.近年來，人們應(yīng)用大量的數(shù)學(xué)模型分析各種類型的傳染病，如Xu［2］，朱佳怡［3］和李天擎［4］等分別考慮了潛伏期、溫度、政府干預(yù)等因素對傳染病傳播過程的影響，Lei等［5］研究了具自由邊界的傳染病模型.最近，Iwami等［6］提出利用一種禽類－人類的禽流感傳染病模型來解釋變異禽流感的傳播，Kim［7－8］和Tang［9］等又將該涉及變異禽流感的模型推廣到帶時滯項的反應(yīng)擴散系統(tǒng).上述這些禽流感模型均沒有考慮食物資源對禽類的影響，常常假設(shè)禽類總數(shù)是常數(shù)或者滿足簡單的Logistic方程.通常禽流感傳播的周期很短，因此不妨假設(shè)一個地區(qū)人類的出生率和死亡率相等，即人口總數(shù)是常數(shù).事實上，由于受地區(qū)禽類食物資源的影響，禽流感的傳播在不同地區(qū)不盡相同，本文將修改文獻［6］3中禽類的增長方程，從而推廣經(jīng)典的SIR倉室模型.

1 模型的建立

本文主要研究如下禽流感系統(tǒng)：

其中B（t）表示t時刻一個地區(qū)的禽類總數(shù)；Bi（t）表示t時刻感染禽流感病毒的禽類數(shù)量；b表示禽類的自然死亡率；r表示禽類的出生率，且r＞b；k表示禽類內(nèi)部對食物的競爭率；H表示一個地區(qū)的人口總數(shù)；H i（t）表示t時刻感染禽流感病毒的人數(shù)；H m（t）表示t時刻感染變異禽流感病毒的人數(shù)；ν1表示感染禽流感病毒之人的恢復(fù)率；ν2表示感染變異禽流感病毒之人的恢復(fù)率；β1表示未感染禽流感之人接觸感染禽流感禽類的概率；β2表示未感染禽流感之人接觸感染變異禽流感患者的概率；ω表示未感染的禽類接觸感染禽流感禽類的概率；m表示禽類的因病死亡率；α表示一個地區(qū)禽類食物資源的分布情況，α越小表明該地區(qū)禽類的食物資源越豐富；以上這些變量和參量均取正值.

2 穩(wěn)定性分析

由于系統(tǒng)（1）中第一、第二個方程僅與禽類有關(guān)且是獨立的，故考慮它們組成的禽類系統(tǒng)

定理1 系統(tǒng)（2）在e01＝（0，0）處總是不穩(wěn)定的，且

（i）當r0＜1時，在e02＝（B＊，0）處局部漸近穩(wěn)定；

（ii）當r0＞1時，在e02＝（B＊，0）處不穩(wěn)定，此時在正平衡點e＋＝（B＊，）處局部漸近穩(wěn)定.

證明 在e01，e02，e＋處分別對系統(tǒng)（2）進行線性化，得到相應(yīng)的特征方程.對于e01而言，其對應(yīng)的特征方程為［λ－（r－b）］（λ＋b＋m）＝0.顯然它有一個正根r－b，所以系統(tǒng)（2）在e01處總是不穩(wěn)定的.對于e02而言，其相應(yīng)的特征方程為（λ＋rαB＊e－αB＊＋k B＊）［λ－ωB＊＋（b＋m）］＝0.當r0＜1時，該特征方程的兩個根均為負，故在e02＝（B＊，0）處是局部漸近穩(wěn)定的；當r0＞1時，該特征方程有一個正根λ＝ωB＊－（b＋m），故系統(tǒng)（2）在e02＝（B＊，0）處是不穩(wěn)定的.對于正平衡點e＋＝（B＊，），其對應(yīng)的特征方程為（λ＋rαB＊e－αB＊＋k B＊）（λ＋）＝0.該方程的兩根顯然為負，故當r0＞1時，系統(tǒng)（2）在正平衡點e＋＝（B＊，）處是局部漸近穩(wěn)定的.

接下來討論全系統(tǒng)（1）的平衡點及其穩(wěn)定性.

易知全系統(tǒng)（1）有平凡平衡點P01＝（0，0，0，0）；無病平衡點P02＝（B＊，0，0，0）；感染禽流感平衡點P03＝（B＊，Bi＊，β1／（ν1＋β1），0）；當β2H＞ν2時，存在感染變異禽流感平衡點P04＝（0，0，0，H－ν2／β2），P05＝（B＊，0，0，H－ν2／β2）；而當r0＞1時，若取，則R0＞1時，存在唯一的正平衡點P＊＝（），即感染禽流感和變異禽流感的平衡點，其中B＊，如前所述，

定理2 系統(tǒng)（1）在P01，P04處總是不穩(wěn)定的，

（i）當r0＜1且β2H＜ν2時，在P02處是局部漸近穩(wěn)定的；

（ii）當r0＞1且R0＜1時，在P03處局部漸近穩(wěn)定；

（iii）當r0＞1且R0＞1時，在P＊處局部漸近穩(wěn)定；

（iv）當r0＜1且β2H＞ν2時，在P05處是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 由定理1的證明知，系統(tǒng)（1）在P01，P04處總是不穩(wěn)定的.

（i）對系統(tǒng)（1）線性化，得P02＝（B＊，0，0，0）處的特征方程為

當r0＜1且β2H＜ν2時，該方程的根均為負值，故系統(tǒng)（1）在P02處是局部漸近穩(wěn)定的.

（iv）系統(tǒng)（1）在P05＝（B＊，0，0，H－ν2／β2）處的特征方程為

易知當r0＜1且β2H＞ν2時，該方程的根均為負值，這說明系統(tǒng)（1）在P05處是局部漸近穩(wěn)定的.

注1 注意到r0關(guān)于α單調(diào)遞減，而R0關(guān)于α單調(diào)遞增，這表明一個地區(qū)豐富的食物資源易導(dǎo)致禽類禽流感的發(fā)生，且人類較易感染普通禽流感病毒，但此時人類感染變異禽流感病毒的概率反而會降低.

3 數(shù)值模擬

利用 Matlab軟件對系統(tǒng)（1）進行數(shù)值模擬，選取合適的數(shù)據(jù)如下［10－11］：

不妨假設(shè)初始時刻禽類總數(shù)B為500個.為考察食物資源對禽流感傳播的影響，首先選擇α＝0.001，此時r0＝0.747＜1，β2H＝0.14＞ν2＝0.07，可繪出系統(tǒng)（1）的模擬曲線，見圖1.由圖1可觀察到，當t→＋∞時，H i→0，Bi→0，即感染禽流感的人或禽類逐漸消失，這與定理2（iv）的理論結(jié)果一致；其次，選擇α＝0.000 1，此時r0＝1.007＞1，R0＝1.371＞1，可繪出系統(tǒng)（1）的模擬曲線，見圖2.由圖2可觀察到，當t→＋∞時，感染禽流感和變異禽流感的人或禽類總是存在的，這與定理2（iii）的理論結(jié)果一致.

圖1 當α＝0.001時，感染禽流感的人或禽類逐漸消失Fig.1 Whenα＝0.001，human and bird infected with avian influenza disappear gradually

圖2 當α＝0.000 1時，感染禽流感的人或禽類總存在Fig.2 Whenα＝0.000 1，human and bird infected with avian influenza always exist

［1］馬知恩，周義倉，王穩(wěn)地，等.傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究 ［M］.北京：科學(xué)出版社，2006：4－10.

［2］XU Rui.Global dynamics of an SEIS epidemic model with saturation incidence and latent period［J］.Appl Math Comput，2012，218（15）：7927－7938.

［3］朱佳怡，朱曉萍，林支桂.2013年H7N9型禽流感疫情的數(shù)學(xué)分析 ［J］.揚州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，17（3）：6－8，18.

［4］李天擎，張磊，劉燕紅，等.政府干預(yù)對H7N9禽流感疫情的影響 ［J］.揚州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，18（2）：22－25.

［5］LEI Chengxia，KIM K I，LIN Zhigui.The spreading frontiers of avian－h(huán)uman influenza described by the free boundary［J］.Sci China Math，2014，57（5）：971－990.

［6］IWAMI S，TAKEUCHI Y，LIU Xianning.Avian－h(huán)uman influenza epidemic model［J］.Math Biosci，2007，207（1）：1－25.

［7］KIM K I，LIN Zhigui.Asymptotic behavior of an SEI epidemic model with diffusion［J］.Math Comput Modelling，2008，47（11／12）：1314－1322.

［8］KIM K I，LIN Zhigui，ZHANG Lai.Avian－h(huán)uman influenza epidemic model with diffusion［J］.Nonlinear Anal：Real Word Appl，2010，11（1）：313－322.

［9］TANG Qiulin，GE Jing，LIN Zhigui.An SEI－SI avian－h(huán)uman influenza model with diffusion and nonlocal delay［J］.Appl Math Comput，2014，247：753－761.

［10］JUNG E，IWAMI S，TAKEUCHI Y，et al.Optimal control strategy for prevention of avian influenza pandemic［J］.J Theoret Biol，2009，260（2）：220－229.

［11］WAN Hui，ZHU Huaiping.The impact of resource and temperature on malaria transmission［J］.J Biol Syst，2012，20（3）：285－302.

The asymptotic behavior of an avian－h(huán)uman influenza model with the impact of food resource

GE Jing1，2，CHEN Xiaodong3，ZHANG Qunying1＊

（1.Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China；2.Sch of Math Sci，Huaiyin Norm Univ，Huai’an 223300，China；3.Jiangsu Union Tech Inst，Huai’an 223200，China）

This paper deals with a new model describing the avian－h(huán)uman influenza.The impact of food resources for birds on the transmission of disease is considered.The basic reproduce numbers for the bird system and full system are provided and a dynamical analysis for the system is given.Theoretical results and numerical simulations show that the abundance of food resources for birds increases the risk for the bird and human to be infected by the avian influenza.

epidemic model；avian－h(huán)uman influenza；food resource；stability

O 175.26

A

1007－824X（2015）03－0012－04

2015－05－04.＊ 聯(lián)系人，E－mail：qyzhang＠yzu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目（11501494）；江蘇省2012年“青藍工程”資助項目；江蘇省2015年高校研究生科研創(chuàng)新計劃資助項目（KYLX15－1353）.

葛靜，陳曉東，張群英.一類受食物資源影響的禽流感模型的漸近性態(tài) ［J］.揚州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，18（3）：12－15.

（責任編輯 青 禾）