李 俊，陳 琳，2＊

（1.安順學(xué)院數(shù)理學(xué)院，貴州 安順 561000；2.蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

一類CSL代數(shù)上的完全有界上同調(diào)群

李 俊1，陳 琳1，2＊

（1.安順學(xué)院數(shù)理學(xué)院，貴州 安順 561000；2.蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

設(shè)L是可分Hilbert空間H上由有限多個(gè)無(wú)關(guān)的套生成的交換子空間格，Alg L是其對(duì)應(yīng)的子空間格代數(shù).證明了系數(shù)在超弱閉Alg L雙模（包含Alg L）上的n階完全有界上同調(diào)群是平凡的.

有限寬；CSL代數(shù)；完全有界上同調(diào)群

導(dǎo)子作為算子代數(shù)上的重要映射［1－3］，對(duì)算子代數(shù)上導(dǎo)子內(nèi)性的研究實(shí)際上是探討算子代數(shù)上的一階上同調(diào)群是否平凡.1972年，Johnson［4］從上循環(huán)的角度確立了Banach代數(shù)上的上同調(diào)理論.此后，計(jì)算算子代數(shù)上的上同調(diào)群成為算子代數(shù)研究的一個(gè)重要內(nèi)容.Forrest等［5］給出了系數(shù)在其對(duì)偶雙模的三角Banach代數(shù)上的2階上同調(diào)群的計(jì)算，Gr?nb?k［6］證明了系數(shù)在其對(duì)偶雙模的具有與矩陣代數(shù)相似結(jié)構(gòu)的一類Banach代數(shù)上的n階上同調(diào)群是平凡的，F(xiàn)eizi等［7］對(duì)系數(shù)在其雙模的Beurling代數(shù)上的n階上同調(diào)群進(jìn)行了研究，Lance［8］證明了系數(shù)在其雙模的套代數(shù)上的n階上同調(diào)群是平凡的，Hou等［9］證明了系數(shù)在其雙模的套代數(shù)上的n階完全有界上同調(diào)群是平凡的.本文主要證明由有限多個(gè)無(wú)關(guān)套生成的交換子空間格（CSL）對(duì)應(yīng)的交換子空間格代數(shù)（CSL代數(shù)）上的完全有界上同調(diào)群是平凡的.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A是含單位元I的Banach代數(shù)，M是含單位元的Banach A雙模.對(duì)正整數(shù)n，Cn（A，M）表示從A×A×…×A到M的有界n重線性映射構(gòu)成的線性空間，Cn（A，M）中的元素稱n上鏈.?φ∈Cn（A，M），定義上邊緣算子δ：Cn（A，M）→Cn＋1（A，M）為

本文中，B（H）表示復(fù)數(shù)域上Hilbert空間H上的有界線性算子的全體.?x，y∈H，秩一算子x?y定義為：z〈z，y〉x，?z∈H.設(shè)L是H的一族閉子空間，若它包含0和H，并且在集合交和集合并的閉包運(yùn)算下封閉，則稱L是H上的子空間格.若L中的任意兩個(gè)元素關(guān)于乘法可交換，則稱L為交換子空間格，簡(jiǎn)記為CSL，其對(duì)應(yīng)的交換子空間格代數(shù)簡(jiǎn)稱為CSL代數(shù).設(shè)L是H上的子空間格，定義其對(duì)應(yīng)的子空間格代數(shù)Alg L＝｛T∈B（H）：TP?P，?P∈L｝.全序的子空間格稱為套，其對(duì)應(yīng)的子空間格代數(shù)稱為套代數(shù).關(guān)于套代數(shù)，子空間格代數(shù)的詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)文獻(xiàn)［10］.設(shè)L是一個(gè)套，定義

2 主要結(jié)果

情形1Ω＝?，即?i∈｛1，2，…，n｝，有≠I.令.由 L1，L2，…，Ln是無(wú)關(guān)的套，知N≠0.選取y∈N且‖y‖＝1，?x∈H，由文獻(xiàn)［12］中引理1，得x?y∈Alg L.對(duì)任意A1，…，An－1∈Alg L，定義φ∈Cn－1（Alg L，B（H））為φ（A1，…，An－1）x＝（－1）nσ（A1，…，An－1，x?y）y.于是，由得

這說(shuō)明δφ＝σ.下證φ完全有界.當(dāng)k＝1時(shí)，由

得‖φ‖≤‖σ‖.當(dāng)k≥2時(shí)，令M k（Alg L）表示Alg L上k×k階算子矩陣B＝［B（i，j）］的全體，其中B（i，j）是B的第i行第j列位置的元素.定義n－1重線性映射φk：M k（Alg L）×M k（Alg L）×…×M k（Alg L）→M k（B（H））?B（Hk）為

其中B l＝［B l（i，j）］∈Mk（Alg L），l＝1，…，n－1.取x＝（x1，…，x k）τ∈Hk，且‖x‖≤1，于是

這說(shuō)明φk（B1，B2，…，B n－1）x＝（－1）nσk（B1，…，B n－1，B n）y，其中y＝（y，0，…，0）τ.從而，

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Completely bounded cohomology of certain CSL algebra

LI Jun1，CHEN Lin1，2＊

（1.Sch of Math ＆Phys，Anshun Coll，Anshun 561000，China；2.Sch of Math Sci，Soochow Univ，Suzhou 215006，China）

Let L be a commutative subspace lattice generated by finitely many independent nests，and Alg L be the associated CSL algebra.In this paper，it is proved that alln－th completely bounded cohomology groups of Alg L acting on separate Hilbert space are trivial when the coefficients lie in any ultra－weakly closed Alg L－bimodule containing Alg L.

finite width；CSL algebra；completely bounded cohomology

O 177.1

A

1007－824X（2015）03－0016－04

2015－01－12.＊ 聯(lián)系人，E－mail：linchen198112＠163.com.

貴州省科技廳－安順市政府－安順學(xué)院聯(lián)合科研資助項(xiàng)目（黔科合J字LKA［2013］04號(hào)）.

李俊，陳琳.一類CSL代數(shù)上的完全有界上同調(diào)群 ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，18（3）：16－19.

（責(zé)任編輯 青 禾）