陶 忠，魯亞飛，贠平平，龐 瀾，楊遠(yuǎn)成

（1.西安應(yīng)用光學(xué)研究所，陜西 西安710065；2.國(guó)防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410073）

引言

典型伺服系統(tǒng)由驅(qū)動(dòng)電機(jī)、傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、執(zhí)行機(jī)構(gòu)、傳感器以及控制系統(tǒng)等組成，而傳動(dòng)機(jī)構(gòu)作為伺服系統(tǒng)的重要組成部分，它的性能的好壞，直接關(guān)系到整個(gè)伺服系統(tǒng)工作品質(zhì)的高低［1－3］。

新一代精密指向機(jī)構(gòu)高精度、高動(dòng)態(tài)特性等技術(shù)特點(diǎn)對(duì)機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)提出了高剛度、無(wú)空回、高精度、小慣量的特性需求，而典型齒輪傳動(dòng)、帶傳動(dòng)以及鏈傳動(dòng)等存在的固有空回、摩擦等非線性因素制約了精密指向機(jī)構(gòu)伺服性能的提高［4－7］。

1 傳動(dòng)空回模型

傳動(dòng)空回又稱為傳動(dòng)回程誤差，主要由傳動(dòng)系統(tǒng)間隙、傳動(dòng)鏈彈性變形以及機(jī)械構(gòu)件受載變形等因素組成［8］。

隨著控制要求不斷提高和空回非線性研究逐步深入，空回非線性模型也經(jīng)歷了不斷地出新和完善。描述空回非線性的模型主要以遲滯模型、死區(qū)模型及“振－沖”模型最為廣泛［9］。

假設(shè)動(dòng)力傳遞過(guò)程中2個(gè)機(jī)械部件的傳動(dòng)示意圖如圖1所示，圖中θm為驅(qū)動(dòng)端輸出轉(zhuǎn)角，θL為從動(dòng)端輸出轉(zhuǎn)角，K為剛性系數(shù)，c為阻尼系數(shù)，2j為傳動(dòng)空回，i為傳動(dòng)比，τ為系統(tǒng)傳遞轉(zhuǎn)矩。

圖1 機(jī)械傳動(dòng)部件傳動(dòng)空回示意圖Fig.1 Schematic diagram of transmission backlash of mechanical transmission assembly

1.1 空回遲滯模型

空回非線性的遲滯模型可表示如下：

式中，t－、t＋分別表示控制過(guò)程發(fā)生的前后時(shí)刻。

空回非線性遲滯模型假設(shè)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)部分在空回期間從動(dòng)部件輸出恒定，即從動(dòng)部件由于存在大阻尼而在齒隙期間靜止不動(dòng)，或者由于驅(qū)動(dòng)部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及阻尼比較小，在控制信號(hào)作用下可以很快躍過(guò)齒隙與從動(dòng)部分接觸。

1.2 空回死區(qū)模型

空回非線性的死區(qū)模型廣泛應(yīng)用于描述控制系統(tǒng)中的齒隙非線性。其模型描述如下：

式中z＝θm（t）－iθL（t）。

死區(qū)非線性模型通過(guò)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)與從動(dòng)部分的傳遞力矩來(lái)描述齒隙，它包含了系統(tǒng)剛性和阻尼的影響。對(duì)比發(fā)現(xiàn)遲滯模型的輸入是位置，反映了輸入與輸出的位移關(guān)系，沒(méi)有考慮阻尼，且假設(shè)傳動(dòng)是純剛性的，而死區(qū)模型的輸入是相對(duì)位置，輸出是力矩，反映了系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)和從動(dòng)部分的力矩傳遞關(guān)系，同時(shí)考慮了系統(tǒng)剛性及阻尼的影響。實(shí)際系統(tǒng)中，空回非線性只與輸入和輸出的相對(duì)位置有關(guān)，因而死區(qū)模型更符合實(shí)際情況。

1.3 基于Sigmoid函數(shù)的近似死區(qū)函數(shù)

由于遲滯模型和死區(qū)模型是不可微的，使得控制器的設(shè)計(jì)變得比較復(fù)雜，因此提出了一個(gè)連續(xù)的微分方程建立空回模型。

傳統(tǒng)的死區(qū)近似函數(shù)如圖2（a）所示，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式如（3）式［10－11］：

圖2 機(jī)械傳動(dòng)部件傳動(dòng)死區(qū)模型Fig.2 Transmission dead zone model of mechanical transmission assembly

為了替換上式中的分段連續(xù)不可微函數(shù)，采用一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)來(lái)近似表示死區(qū)函數(shù)，如圖2（b）所示。其由線性部分L＝z和非線性部分D＝η（z）兩部分組成，表達(dá)式如下：

代入理想空回死區(qū)模型，得到連續(xù)的近似空回死區(qū)模型如下：

式中z＝θm－iθL。

（5）式即連續(xù)的近似死區(qū)模型，它反映了系統(tǒng)中驅(qū)動(dòng)和從動(dòng)部分的力矩傳遞關(guān)系，它的輸入是相對(duì)位移z，輸出是力矩τ，采用該可微模型雖然引入了有界誤差，但由于誤差較小，且克服了傳統(tǒng)死區(qū)模型不可微的硬特性，方便了控制器的設(shè)計(jì)，并能改善系統(tǒng)的控制性能，增強(qiáng)使用性。

2 基于可微近似空回模型的機(jī)電伺服系統(tǒng)建模

針對(duì)典型的機(jī)電位置伺服系統(tǒng)，假設(shè)電機(jī)通過(guò)傳動(dòng)比為i的減速器驅(qū)動(dòng)負(fù)載以指定的速度轉(zhuǎn)動(dòng)到目標(biāo)位置。

設(shè)θm，θL分別為主、從動(dòng)輪軸的轉(zhuǎn)角、、Jm、JL、bm、bL分別為主、從動(dòng)輪軸的角加速度、角速度、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和粘性摩擦系數(shù)，c和k為主從動(dòng)輪結(jié)合部的阻尼系數(shù)和剛性系數(shù)，Ma為系統(tǒng)的輸入轉(zhuǎn)矩，τ為主從動(dòng)輪接觸時(shí)的傳遞力矩，空回為2j，則該伺服系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中，Kd是電機(jī)扭轉(zhuǎn)常數(shù)。

采用近似齒隙死區(qū)模型，則（6）式中τ（t）可表示成：

式中z＝θm－iθL。

令

則τ（t）＝kx3＋cx4，它表示受空回非線性影響的傳遞力矩。系統(tǒng)的狀態(tài)方程可寫為

利用該伺服系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，即可分析空回特性對(duì)系統(tǒng)伺服特性的影響。圖3即考慮傳動(dòng)空回影響的伺服系統(tǒng)控制框圖。

圖3 考慮傳動(dòng)空回的機(jī)電伺服系統(tǒng)控制框圖Fig.3 Control block diagram of considering transmission backlash of mechatronic servo system

圖3中Fun即近似齒隙死區(qū)模型，它以相對(duì)角位移z＝θm－iθL為輸入，傳遞負(fù)載轉(zhuǎn)矩τL。基于考慮傳動(dòng)空回的機(jī)電伺服系統(tǒng)控制框圖，可以對(duì)傳動(dòng)空回對(duì)伺服性能的影響進(jìn)行進(jìn)一步的分析。

3 傳動(dòng)空回對(duì)伺服性能影響的仿真實(shí)例

為了更加直觀地分析傳動(dòng)空回對(duì)伺服性能的影響，基于可微近似空回模型在Matlab／Simulink環(huán)境下對(duì)傳動(dòng)空回對(duì)某典型伺服回路的特性進(jìn)行仿真，Simulink模型如圖4所示，仿真參數(shù)如下：

圖4 基于可微近似空回模型的機(jī)電伺服系統(tǒng)Simulink仿真模型Fig.4 Simulink simulation model of mechatronic servo system based on approximation differentiable backlash model

1）傳動(dòng)空回對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性能的影響

在傳動(dòng)鏈的輸入端輸入一個(gè)幅值為1°的正弦信號(hào)φm＝sin（ωt）時(shí)，由于傳動(dòng)空回的存在，其輸出波形為截頂?shù)恼也?，并產(chǎn)生一個(gè)β角的相位滯后，如圖5所示。2個(gè)圖通過(guò)不同形式表征傳動(dòng)空回存在系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，右邊圖為輸入轉(zhuǎn)角和輸出轉(zhuǎn)角隨時(shí)間的變化，可以直觀表現(xiàn)產(chǎn)生的相位滯后，左邊圖表征這個(gè)過(guò)程中輸入轉(zhuǎn)角和輸出轉(zhuǎn)角的關(guān)系，可以直觀表征滯回曲線。這種滯后隨著輸入信號(hào)幅值的減小而增大。在輸入信號(hào)較小時(shí)，甚至可以造成90°的相位滯后，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖5 傳動(dòng)空回引起的伺服系統(tǒng)相位滯后Fig.5 Lag phase of servo system caused by transmission backlash

2）傳動(dòng)空回對(duì)系統(tǒng)控制精度的影響

對(duì)圖4中基于可微近似空回模型的機(jī)電伺服系統(tǒng)Simulink仿真模型，在位置閉環(huán)情況下，施加幅值為1°，頻率為0.2Hz的方波激勵(lì)信號(hào)，同時(shí)測(cè)出負(fù)載端的角位置響應(yīng)信號(hào)，如圖6所示。由圖6可以發(fā)現(xiàn)，伺服系統(tǒng)出現(xiàn)明顯的極限環(huán)振蕩。振蕩過(guò)程是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，造成了自振靜態(tài)誤差。

傳動(dòng)空回引起極限環(huán)振蕩產(chǎn)生自振靜態(tài)誤差的物理過(guò)程：在伺服系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)特定位置調(diào)轉(zhuǎn)θm的過(guò)程中，由于空回的存在，起始狀態(tài)下，電機(jī)需要轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)空回的相應(yīng)角度，而在空回范圍內(nèi)，電機(jī)軸上的負(fù)載幾乎為零，電機(jī)帶動(dòng)傳動(dòng)鏈的輸入輪會(huì)以很大的加速度撞擊傳動(dòng)鏈的輸出輪，而后帶動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)，沖擊的作用會(huì)使得負(fù)載以較大的速度沖過(guò)預(yù)定角度θm，形成反極性的誤差電壓，使得電機(jī)反轉(zhuǎn)。而在反轉(zhuǎn)過(guò)程中，由于空回的存在，電機(jī)仍以極大的速度和加速度轉(zhuǎn)過(guò)空回的相應(yīng)角度后才重新拖動(dòng)負(fù)載反轉(zhuǎn)，如此反復(fù)，就產(chǎn)生了極限環(huán)振蕩。這種振蕩不完全是由于負(fù)載的慣性作用產(chǎn)生，還附加了在空回范圍內(nèi)所積累的動(dòng)能作用，因此，即使有足夠的阻尼，也不能阻止由空回引起的系統(tǒng)的持續(xù)振蕩。

圖6 傳動(dòng)空回引起機(jī)電伺服系統(tǒng)自振靜態(tài)誤差Fig.6 Vibration and static error of electromechanical servo system caused by transmission backlash

4 結(jié)論

作為伺服系統(tǒng)中的重要組成部分，傳動(dòng)系統(tǒng)的剛度、傳動(dòng)誤差、空回、摩擦等因素對(duì)伺服系統(tǒng)的靜動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生較大的影響。處在控制閉環(huán)內(nèi)的傳動(dòng)空回對(duì)伺服系統(tǒng)的影響主要表現(xiàn)在2個(gè)方面：一是引起相位滯后，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性；二是引起極限環(huán)振蕩產(chǎn)生自振靜態(tài)誤差。

改善或消除傳動(dòng)系統(tǒng)非線性對(duì)伺服控制性能的影響途徑可以分為2個(gè)方面：

1）通過(guò)控制手段，采用自適應(yīng)補(bǔ)償或者提高控制器增益等方法提高伺服系統(tǒng)的控制精度。然而，由于傳動(dòng)系統(tǒng)特性帶來(lái)的固有非線性誤差，采用控制方法往往難以有效地提升伺服性能，且在一定程度上增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性和設(shè)計(jì)成本。

2）研究新型傳動(dòng)方式，從原理上降低或者消除傳動(dòng)系統(tǒng)固有的空回、摩擦等非線性因素。該方法從傳動(dòng)系統(tǒng)本身著手，可以從根本上消除傳動(dòng)因素對(duì)伺服控制性能的影響。

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