梅磊
研究高考數(shù)學(xué)試題是高中數(shù)學(xué)教師的日常工作之一.2012年和2013年湖北卷有兩道類似的高考題,試題如下:
試題1(2012年高考湖北卷理科第6題)設(shè)a,b,c,x,y,z是正數(shù),且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,則=
A. B. C. D.
試題2(2013年高考湖北卷理科第13題)設(shè)x,y,z∈R,且滿足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,則x+y+z=_______.
兩道試題主要考查柯西不等式,考生也很容易想到要用柯西不等式.但是文“一道高考題的幾種思考視角”[1]卻給出試題1的5種解法,文“題不在大 有魂則靈”[2]卻給出試題2的8種解法,美其名曰“一題多解”.
這兩道試題,有沒有必要一題多解呢?
眾所周知,一題多解是指對一道試題從多種不同角度進行分析與探究,進而得到多種解法,一題多解的目的在于從多種解法中,探尋最自然的解法和最簡單的解法.讀完文獻[1][2]給出的多種解法,我們不難發(fā)現(xiàn)柯西不等式法既是解答這兩道試題最自然的解法,又是解答這兩道試題最簡單的解法,是名副其實的最佳解法,所以對這兩道試題完全沒有必要一題多解.特別是文[1]的解法4和文[2]的解法8,就像“魔術(shù)師的帽子突然變出了兔子”一樣,高中生很不容易想到;文[2]的解法6很復(fù)雜,高中生很難完成,有點無病呻吟,故弄玄虛之嫌.
既然這兩道試題完全沒有必要一題多解,那么湖北命題組為什么會連續(xù)兩年考查同一問題呢?
我們一起來探尋這兩道試題的價值.柯西不等式是新課程新增加的教學(xué)內(nèi)容,因為“高考支持課程改革”,所以考查.此外,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》已經(jīng)將“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”作為高中數(shù)學(xué)課程的基本理念之一,而柯西不等式有著重要的文化價值.
柯西不等式雖然形式上比較簡單,但在數(shù)學(xué)各個分支里都有著極其廣泛的應(yīng)用.它在不同的領(lǐng)域有著不同的表現(xiàn)形式,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的內(nèi)通性、滲透性和統(tǒng)一性.
柯西不等式在各領(lǐng)域中常見的表現(xiàn)形式如下:
命題1 ?ai,bi∈R,i=1,2,…,n,有
aibi≤[a2][i][bi][2] . 當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)k1,k2,使得k1ai+k2bi=0,i=1,2,…,n時,等號成立.
命題2 ?f(x),g(x)∈C[a,b],有
f(x)g(x)dx≤f2(x)dx·g2(x)dx. 當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)k1,k2,使得k1f(x)+k2g(x)=0時,等號成立.
命題3 ?向量α,β,有(α,β)≤αβ.當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)k1,k2,使得k1α+k2 β=0時,等號成立.
命題4 ?隨機變量ξ,η,若Eξ2,Eη2存在,則有[Eξη]2≤Eξ2·Eη2.當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)k1,k2,使得P(k1ξ+k2η=0)=1時,等號成立.
命題1是高中數(shù)學(xué)形式,命題2是大學(xué)數(shù)學(xué)分析形式,命題3是大學(xué)高等代數(shù)形式,命題4是大學(xué)概率論形式,雖然問題的涉及角度不同,但表現(xiàn)形式極其相似,命題1~4的左右兩邊結(jié)構(gòu)及各變量之間涉及的運算是多么地對偶、和諧、統(tǒng)一.
命題1~4雖涉及的數(shù)學(xué)對象不同,但其本質(zhì)都反映了不同變量間的某種不等關(guān)系,且等式成立都體現(xiàn)了它們之間的線性關(guān)系.在不同領(lǐng)域,證明方式紛呈多樣,但其證明均與b2-4ac≤0有著類似的地方,故構(gòu)造一個非負的二次函數(shù),利用判別式法是證明的通法.
命題1~4不僅形式對稱,證法統(tǒng)一,而且相互之間滲透著內(nèi)在聯(lián)系.命題1和命題2只不過是命題3在不同向量空間中的具體表述,也只不過是命題4在不同測度空間中的具體表述,命題3和命題4更具有一般性和抽象性.它體現(xiàn)了代數(shù)與分析,概率與分析,高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間相互滲透,相互促進的內(nèi)在聯(lián)系.正如希爾伯特所說:“數(shù)學(xué)是一有機整體,它的生命力依賴于各部分的聯(lián)系.”
數(shù)學(xué)家的故事是數(shù)學(xué)文化的一種重要展示形式,人教A版課本選修4-5特別安排了“閱讀與思考”《法國科學(xué)家柯西》.柯西最重要的貢獻在微積分、復(fù)變函數(shù)和微分方程等方面.在微積分方面,他率先定義了級數(shù)的收斂性,數(shù)列和函數(shù)的極限,并給出了級數(shù)收斂準(zhǔn)則和一些判別法;提出關(guān)于極限理論的ε-δ(ε-N)方法,給出了函數(shù)連續(xù)性的概念、定積分的第一個確切定義,以及廣義積分的定義等等.在復(fù)變函數(shù)方面,他系統(tǒng)地總結(jié)了復(fù)數(shù)理論,探討了柯西—黎曼條件,建立了柯西積分定理和公式;定義了留數(shù),建立了留數(shù)定理.在微分方程方面,他研究了微分方程解的存在唯一性定理,開創(chuàng)了微分方程研究的新領(lǐng)域.柯西一生共出版7部著作和800多篇論文,數(shù)學(xué)中許多公式和定理都以他的名字命名.
綜上所述,上述兩道試題是我們進行關(guān)于柯西不等式研究性學(xué)習(xí)的極好素材,對于我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法,認識數(shù)學(xué)文化價值有著重要意義.試題的文化價值是試題的靈魂,我們在研究高考試題時,千萬不能片面追求一題多解,而忽視了試題的文化價值,否則,就會舍本逐末,得不償失.
參考文獻:
[1] 黃清波.一道高考題的幾種思考視角[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2012(11):84.
[2] 查正開.題不在大 有魂則靈——2013年湖北高考理科第13題的解法賞析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2013(10):52-54.
教學(xué)月刊·中學(xué)版(教學(xué)參考)2015年5期