成樹明

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn).此類問(wèn)題涉及圓心的確定、半徑和周期及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的計(jì)算等。若勻強(qiáng)磁場(chǎng)發(fā)生周期性變化，則需要注意條件變化的限制?，F(xiàn)舉兩例，與同學(xué)們分享。

例1在地面附近的真空中，存在著豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直電場(chǎng)方向水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖l甲所示。磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B（圖像中的B。未知）隨時(shí)間t的變化情況如圖1乙所示。該區(qū)域中有一條水平直線MN，D是MN上的一點(diǎn)。在t=0時(shí)刻，有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的小球（可看成質(zhì)點(diǎn)），從M點(diǎn)開始沿著水平直線以速度v₀向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，t₀時(shí)刻恰好到達(dá)N點(diǎn)。經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，小球在2t₀至3t₀。時(shí)間內(nèi)的某一時(shí)刻，又豎直向下經(jīng)過(guò)直線MN上的D點(diǎn)，并且以后小球多次水平向右或豎直向下經(jīng)過(guò)D點(diǎn)。不考慮地磁場(chǎng)的影響，則（）。

A.電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為

B.小球運(yùn)動(dòng)的周期為4t₀

C.小球運(yùn)動(dòng)的周期為6t₀

D.小球運(yùn)動(dòng)的周期為8t₀

解析：小球從M點(diǎn)沿直線勻速運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)，由受力平衡知qE=mg，解得E=，選項(xiàng)A正確。小球從M點(diǎn)到N點(diǎn)所用時(shí)間為t₀，小球在t₀～2t₀時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)3/4個(gè)圓周到達(dá)P點(diǎn)，小球在2t₀～3t₀時(shí)問(wèn)內(nèi)勻速向卜-運(yùn)動(dòng)且經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，小球在3f?！?t。，時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)3/4個(gè)圓周，小球在4t₀～5t₀。時(shí)間內(nèi)勻速向左運(yùn)動(dòng)，小球在5t₀～6t₀時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)3/4個(gè)圓周，小球在6t₀～7t₀時(shí)間內(nèi)勻速向上運(yùn)動(dòng)，小球在7t₀～8t₀時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)3/4個(gè)圓周且回到M點(diǎn)，軌跡如圖2所示，所以小球的運(yùn)動(dòng)周期T= 8t₀，選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤，D正確。答案為AD。

點(diǎn)評(píng)：本題中的電場(chǎng)始終存在且靜電力與重力大小相等、方向相反，而磁場(chǎng)周期性地變化，磁場(chǎng)不存在時(shí)帶電小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)存在時(shí)帶電小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。解答該類問(wèn)題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是帶電小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁場(chǎng)變化的周期相關(guān)聯(lián)，二是畫出帶電小球運(yùn)動(dòng)的軌跡草圖，且軌跡圖具有周期性，借助圖像進(jìn)行直觀分析。

例2 如圖3甲所示，在xOy平面內(nèi)存在均勻、大小隨時(shí)間周期性變化的磁場(chǎng)和電場(chǎng)，變化規(guī)律分別如圖3乙、丙所示（規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向、y軸正方向?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度的正方向）。在t=0時(shí)刻由原點(diǎn)O發(fā)射初速度大小為v₀方向沿y軸正方向的帶負(fù)電粒子（不計(jì)重力）。已知v₀、t₀B₀、E₀，且，粒子的比荷，x軸上有一點(diǎn)A，坐標(biāo)為（，o）。

（1）求 時(shí)粒子的位置坐標(biāo)。

（2）求粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中偏離x軸的最大距離。

（3）粒子經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間經(jīng)過(guò)A點(diǎn)？

解析：（1）在0～t₀。時(shí)間內(nèi)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得，解得，周期。則在時(shí)間內(nèi)粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，所以在時(shí)，粒子的位置坐標(biāo)為

（2）在t₀～2₀時(shí)間內(nèi)，設(shè)粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后的速度為v，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4所示。有，解得。在2₀～3₀時(shí)間內(nèi)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑r₂=2r₁=，故粒子偏離x軸的最大距離

（3）粒子在xoy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)周期為4t₀。，粒子在一個(gè)周期內(nèi)向右運(yùn)動(dòng)的距離d=2r₁，A、O間的距離為，所以粒子運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)所需的時(shí)間t=32t₀。

點(diǎn)評(píng)：本題中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)均做周期性變化，但細(xì)心觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)電場(chǎng)和磁場(chǎng)并不同時(shí)存在。只存在磁場(chǎng)時(shí)帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只存在電場(chǎng)時(shí)帶電粒子做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，其軌跡具有周期性和對(duì)稱性。根據(jù)畫出的軌跡草圖從宏觀上把握粒子的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，并在粒子運(yùn)動(dòng)的每個(gè)階段分別應(yīng)用對(duì)應(yīng)的物理規(guī)律，這樣該類問(wèn)題便可迎刃而解。

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖5甲所示，在直角坐標(biāo)系O≤x≤L的區(qū)域內(nèi)有沿z軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)區(qū)域右側(cè)有一個(gè)圓心在x軸上、半徑為L(zhǎng)的圓形區(qū)域，圓形區(qū)域與x軸的交點(diǎn)分別為M、N?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電荷量為e的正電子（重力忽略不計(jì)），從y軸上的A點(diǎn)以速度v₀。沿y軸負(fù)方向射入電場(chǎng)，飛出電場(chǎng)后從M點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，此時(shí)正電子的速度方向與x軸的夾角為30°。同時(shí)，在圓形區(qū)域加如圖5乙所示的周期性變化磁場(chǎng)，以垂直于紙面向里為磁場(chǎng)正方向。正電子在運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后于t=2T時(shí)刻從N點(diǎn)飛出，且此時(shí)正電子的速度方向與其進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相同。則（）。

A.勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小為

B.勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小為

c.磁感應(yīng)強(qiáng)度B。的大小為

D.磁感應(yīng)強(qiáng)度B。的大小為

2.如圖6甲所示，M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個(gè)小孔O、O'且正對(duì)，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖6乙所示（規(guī)定垂直于紙面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎较颍?。有一群正離子在t=0時(shí)垂直于M板從小孔O射人磁場(chǎng)。已知正離子質(zhì)量為m，帶電荷量為q，正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T₀，不考慮由于磁場(chǎng)變化而產(chǎn)生的電場(chǎng)的影響，不計(jì)正離子所受的重力。求：

（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大??；

（2）若正離子從O'孔垂直于N板射出磁場(chǎng)所用的時(shí)間最短，請(qǐng)畫出其運(yùn)動(dòng)軌跡并求出該最短時(shí)間；

（3）要使正離子從O'孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，正離子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₀。的可能值。

參考答案：1.BC

2.（1）；（2）如圖7所示，t_min=T₀；（3）v₀=。