萬(wàn)保軍

抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類(lèi)函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類(lèi)問(wèn)題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一，其性質(zhì)常常是隱而不露，但一般情況下，大多是以學(xué)過(guò)的常見(jiàn)函數(shù)為背景，將函數(shù)性質(zhì)通過(guò)代數(shù)表述給出。抽象函數(shù)的相關(guān)題目往往是在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)。高考對(duì)抽象函數(shù)的要求是考查對(duì)函數(shù)的概念和知識(shí)的內(nèi)涵及外延的掌握情況、邏輯推理能力、抽象思維能力和數(shù)學(xué)后繼學(xué)習(xí)的潛能。為了擴(kuò)大讀者的視野，特就抽象函數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)題型及解法分析如下。

一、函數(shù)的基本概念問(wèn)題

1.抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題

例1 已知函數(shù)f（x?）的定義域是[1，2]，求f（x）的定義域。

解：由函數(shù)f（x?）的定義域是[l，2]，得l≤x≤2，則1≤x?≤4。

故函數(shù)f（x）的定義域是[1，4]。

評(píng)析：一般地，已知函數(shù)f（ψ（x））的定義域是A，求f（x）的定義域問(wèn)題，相當(dāng)于已知f（ψ（x））中x的取值范圍為A，據(jù)此求ψ（x）的值域問(wèn)題。

例2 已知函數(shù)f（x）的定義域是[-1，2]，求函數(shù)的定義域。

解： 由函數(shù)f（x）的定義域是[-1，2]，得：在函數(shù)中，

解得

故函數(shù)的定義域是。

評(píng)析：這類(lèi)問(wèn)題的一般形式是：已知函數(shù)f（x）的定義域是A，求函數(shù)f（ψ（x））的定義域。正確理解函數(shù)符號(hào)及其定義域的含義是求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。一般地，若函數(shù)f（x）的定義域是A，則x必須是A中的元素，而不能是A以外的元素，否則f（x）無(wú)意義。因此，如果f（xo）有意義，則必有所以這類(lèi)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于已知ψ（x）的值域是A，據(jù)此求z的取值范圍，即由ψ（x）∈A建立不等式，解出z的范圍。例2和例1形式上正好相反。

2.抽象函數(shù)的求值問(wèn)題

例3 已知定義域?yàn)镽₊的函數(shù)f（x），同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：①f（x）+f（y），求f（3）、f（9）的值。

解：取x=2，y=3，得f（6）=f（2）+f（3）。又，則

取x=y=3，得

評(píng)析：通過(guò)觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地取x=2，y=3，這樣便把已知條件與欲求的f（3）溝通了起來(lái)，這是解決此類(lèi)問(wèn)題的常用技巧。

3.抽象函數(shù)的值域問(wèn)題

例4 已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x>O時(shí)，f（x）<0，f（l）=-2。

（l）求證：f（x）是奇函數(shù)。

（2）證明：f（x）是減函數(shù)。

（3）當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，求f（x）的值域。

解：（l）令x=y=0，得f（O）=f（O）+f（O）=>f（O）=O。

對(duì)任意的x∈R，有f（O）=f（x）十f（-x）=0=>f（-x）=-f（x）。

故f（x）是奇函數(shù)。

（2）設(shè)x1>X2。

由f（x+y）=f（x）+f（y）及（1），得

由，知。又x>0時(shí)，，則

故f（x）是減函數(shù)。

（3）由f（1）=-2及f（x+y）=f（x）+f（y），得：f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2f（1）=-4，f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6。結(jié)合（1）及（2）的結(jié)論，得：當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，f（x）∈[f（3），f（-3）]=[-6，6]。

評(píng)析：由f（x+y）=f（x）+f（y）模型，聯(lián)想到正比例函數(shù)f（x）=kx。若是選擇題或填空題，還可以直接由待定系數(shù)法求出f（x）=-2x，進(jìn)而求值域。

4.抽象函數(shù)的解析式問(wèn)題

例5 設(shè)對(duì)滿(mǎn)足x≠O、x≠1的所有實(shí)數(shù)x，函數(shù)f（x）滿(mǎn)足，求f（x）的解析式。

解：

在（1）中，以代換x，得： 在（l）中，以代換x，得：

聯(lián)立（1）、（2）和（3），可得：

評(píng)析：如果把x和分別看作兩個(gè)變量，怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。

二、研究函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題

1.抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

例6 設(shè)f（x）定義在實(shí)數(shù)集上，當(dāng)x>o時(shí)，f（x）>1，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，有f（x+y）=f（x）f（y），求證：f（x）在R上單調(diào)遞增。

證明：在f（z+y）=f（x）f（y）中，取x=y=O，得f（0）=f2（O），則f（O）=O或f（0）=1。

若f（O）=0，在f（-x+y）=f（x）f（y）中，令x>0，y=0，則f（x）=O，與f（x）>1矛盾，故f（0）≠O。

故f（O）=1。

當(dāng)x>0時(shí)，f（z）>1>O。

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，則f（-x）>1>0。由f（x）f（-x）=f（0）=1，得

當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=1>O。

故對(duì)任意x∈R，f（x）>0。

設(shè)，則

故f（x）在R上單調(diào)遞增。

例7 已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n，均有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且，當(dāng)時(shí)，有f（x）>0，求證：f（x）單調(diào)遞增。

證明：設(shè)，則則

故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增。

評(píng)析：一般地，抽象函數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則，而變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。

2.抽象函數(shù)的奇偶性問(wèn)題

例8 定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b，都有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）成立，且f（0）≠O。試判斷f（x）的奇偶性。

解：令a=b=O，得f（O）+f（0）=2f（O）.f（0），即2f（O）·[f（0）-1]=0。又f（O）≠O，則f（O）=1。

令a=0，b=x，得f（x）+f（-x）=2f（O）.f（x）。又f（0）=1，則f（-x）=f（x）。

故f（x）是R上的偶函數(shù)。

評(píng)析：把握奇偶性的定義，即首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再判定f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）是否成立。解決這類(lèi)問(wèn)題，可以通過(guò)化抽象為具體的方法，即賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式，經(jīng)過(guò)運(yùn)算與推理，最后得出結(jié)論。由三角函數(shù)的和差公式可知cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，觀察題中條件，我們可判斷本題是以余弦函數(shù)f（x）-cos x為模型設(shè)計(jì)的問(wèn)題。

3.抽象函數(shù)的周期性問(wèn)題

例9 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，有f（a+b）+f（a-6）=2f（a）.f（b），且存在C>o，使得，求證：f（x）是周期函數(shù)。

思路分析：因?yàn)閏os（a+b）+cos（a-b）=2cosacosb，且，因而得出函數(shù)f（x）的模型函數(shù)為y=cos x。由y=cos x的周期為2π，可猜想2C為f（x）的一個(gè)周期。要證明2C為f（x）的一個(gè)周期，只需證明f（x+2C）=f（x）。

證明：令，代人中，得

故f（x）是周期函數(shù)，且2C是其一個(gè)周期。

例10 若對(duì)于常數(shù)m和任意實(shí)數(shù)x，等式成立，求證：f（x）是周期函數(shù)。

思路分析：，因而得出函數(shù)f（x）的模型函數(shù)為y=tan x。由于y=tan x的周期是π，恰為的4倍，因而自然猜想4m是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期。要證明4m為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，只需證明f（x+4m）=f（x）。

證明：將已知式中的x換成x+m，可得：

將中的x+2m換成x+4m，可得：

故f（x）是周期函數(shù)，且4m是其一個(gè)周期。

評(píng)析：如果沒(méi)有余弦函數(shù)或正切函數(shù)作為模型，就很難想到2C或4m是所求函數(shù)的一個(gè)周期，解題思路是比較難找的。由此可見(jiàn)，根據(jù)已知條件中的對(duì)應(yīng)法則的結(jié)構(gòu)特征，類(lèi)比所學(xué)過(guò)的一些函數(shù)，尋求或構(gòu)造恰當(dāng)?shù)哪Ｐ秃瘮?shù)，可以為思考與解題指明方向，這是處理抽象函數(shù)問(wèn)題的一種重要策略。

4.抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題

例11 已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)一切實(shí)數(shù)x，都有f（2+x）=f（2-x）。如果方程f（x）=O恰好有4個(gè)不同的實(shí)根，求這些實(shí)根之和。

解：由f（2+x）=f（2-x），知直線(xiàn)x=2是函數(shù)f（x）的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸。

f（x）=O有4個(gè)不同的實(shí)根，現(xiàn)從大到小依次設(shè)為x1，x2，x3，x4則與關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，x2與x3關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，故x1+x4=x2+x3=2×2=4。

x1+x2+x3+x4=8。

評(píng)析：一般地，若函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（a+x）=f（a-x），則直線(xiàn)x=a是函數(shù)f（x）的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸。利用對(duì)稱(chēng)性，數(shù)形結(jié)合，可使抽象函數(shù)問(wèn)題迎刃而解。

三、抽象函數(shù)中的綜合問(wèn)題

例12 定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n，總有f（m+n）=f（m）f（n），且當(dāng)x>0時(shí)，0（l）判斷f（x）的單調(diào)性。

（2）設(shè)，若，試確定a的取值范圍。

解：（l）在f（m+n）=f（m）f（n）中，令m=l，n=0，得f（1）=f（1）·f（0）。又f（1）≠0.則f（0）=1。

當(dāng)x>0時(shí)，O