朱天斌

從2016年起，全國大部分省份（包括湖北省）將使用全國卷，因此大家應(yīng)該多研究教材，多體會近幾年的全國卷. 從總體情況看，新課標(biāo)的文、理科數(shù)學(xué)試卷整體結(jié)構(gòu)沒有變化，分值也保持不變，知識點(diǎn)的分布與覆蓋上保持相對穩(wěn)定. 堅持對基礎(chǔ)知識，數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查.

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出：“從學(xué)科整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計試題，使對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查達(dá)到必要的深度.”通過分析近幾年的高考試題，一些回歸教材的基礎(chǔ)題知識以及新題型、新思維的交織給新高考增添了許多魅力.具體體現(xiàn)在以下幾個方面.

概念遷移后與定性或定量思考交織，注意分析，淡化運(yùn)算

例1 如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動，記∠BOP=x. 將動點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則f（x）的圖象大致為（ ）

[A B C D]

解析 （1）當(dāng)點(diǎn)[P]在[BC]邊上運(yùn)動時，即[0≤x≤π4]時，

[PA+PB=tan2x+4+tanx].

（2）當(dāng)點(diǎn)[P]在[CD]邊上運(yùn)動時，即[π4≤x≤3π4.]

①[x≠π2]時，[PA+PB=（1tanx-1）2+1+（1tanx+1）2+1.]

②當(dāng)[x=π2]時，[PA+PB=22].

（3）當(dāng)點(diǎn)[P]在[AD]邊上運(yùn)動時，即[3π4≤x≤π]時，

[PA+PB=tan2x+4-tanx].

從點(diǎn)[P]的運(yùn)動過程可以看出，軌跡關(guān)于直線[x=π2]對稱，且[f（π4）>f（π2）]，且軌跡非線型.

答案 B

知識交織點(diǎn) 本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)， “P到A，B兩點(diǎn)距離之和”是橢圓概念的遷移，表面看覺得很難，但是如果認(rèn)真審題，讀懂題意，通過點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡來判斷圖象的對稱性以及特殊點(diǎn)函數(shù)值的比較，也可較容易找到答案.

賞析 此題難點(diǎn)在于橢圓概念的遷移應(yīng)用，若[P]在以[AB]為焦點(diǎn)的橢圓上，函數(shù)[f（x）]是定值（長軸長）. [P]點(diǎn)的變化分別對應(yīng)了相應(yīng)長軸長的變大→變小→變大→變小，具有對稱性且非直線型，所以選B. 類似的題目如2013年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第1題.

例2 已知函數(shù)[f（x）=2x]，[g（x）=x2+ax]（其中[a∈R]）.對于不相等的實(shí)數(shù)[x1，x2]，設(shè)[m=f（x1）-f（x2）x1-x2]，[n=g（x1）-g（x2）x1-x2]. 現(xiàn)有如下命題：

（1）對于任意不相等的實(shí)數(shù)[x1，x2]，都有[m>0]；

（2）對于任意的[a]及任意不相等的實(shí)數(shù)[x1，x2]，都有[n>0]；

（3）對于任意的[a，]存在不相等的實(shí)數(shù)[x1，x2]，使得[m=n]；

（4）對于任意的[a，]存在不相等的實(shí)數(shù)[x1，x2]，使得[m=-n].

其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號）.

解析 設(shè)[A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x1，g（x1）），D（x2，g（x2））.]

對于（1），從[y=2x]的圖象可看出，[m=kAB>0]恒成立，故正確.

對于（2），直線[CD]的斜率可為負(fù)，即[n<0]，故不正確.

對于（3），由[m=n]得，[f（x1）-f（x2）=g（x1）-g（x2）]，

即[f（x1）-g（x1）=f（x2）-g（x2）].

令[h（x）=f（x）-g（x）=2x-x2-ax]，

則[h（x）=2xln2-2x-a].

由[h（x）=0]得，[2xln2=2x+a]，

作出[y=2xln2，y=2x+a]的圖象知，

方程[2xln2=2x+a]不一定有解，所以[h（x）]不一定有極值點(diǎn).

即對于任意的[a]，不一定存在不相等的實(shí)數(shù)[x1，x2]，使得[h（x1）=h（x2）]. 即不一定存在不相等的實(shí)數(shù)[x1，x2]，使得[m=n]. 故不正確.

對于（4），由[m=-n]得，[f（x1）-f（x2）=g（x2）-g（x1）]，

即[f（x1）+g（x1）=f（x2）+g（x2）].

令[h（x）=f（x）+g（x）=2x+x2+ax]，

則[h（x）=2xln2+2x+a].

由[h（x）=0]得，[2xln2=-2x-a]，

作出[y=2xln2，y=-2x-a]的圖象知，

方程[2xln2=-2x-a]必一定有解，

所以[h（x）]一定有極值點(diǎn).

即對于任意的[a]，一定存在不相等的實(shí)數(shù)[x1，x2]，使得[h（x1）=h（x2）].

即一定存在不相等的實(shí)數(shù)[x1，x2]，使得[m=-n]. 故正確.

答案 （1）（4）

知識交織點(diǎn) 以拉格朗日中值定理為背景，將導(dǎo)數(shù)、極值、不等式與數(shù)形結(jié)合交織考查.

賞析 高考四川卷第15題歷來是一個異彩紛呈的題，個中精彩可從解析中體會到. 解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想，通過轉(zhuǎn)化使問題得以解決. 如果數(shù)學(xué)知識非常豐富，直接從以拉格朗日中值定理入手，此題更易解答.

構(gòu)造函數(shù)與分類討論，突破常規(guī)

例3 設(shè)函數(shù)[f（x）=aexlnx+bex-1x]，曲線[y=f（x）]在點(diǎn)（1，[f（1）]）處的切線為[y=e（x-1）+2].

（1）求[a，b]；

（2）證明：[f（x）>1].

解析 （1）[a=1，b=2.]

（2）由（1）知，[f（x）=exlnx+2xex-1].

從而[f（x）>1]等價于[xlnx>xe-x-2e].

設(shè)函數(shù)[g（x）=xlnx]，則[g（x）=1+lnx].

所以當(dāng)[x∈（0，1e）]時，[g（x）<0]；

當(dāng)[x∈（1e，+∞）]時，[g（x）>0].

故[g（x）]在[（0，1e）]上單調(diào)遞減，在[（1e，+∞）]上單調(diào)遞增.

從而[g（x）]在[（0，+∞）]上的最小值為[g（1e）=-1e.]

設(shè)函數(shù)[h（x）=xe-x-2e]，則[h（x）=e-x（1-x）.]

所以，當(dāng)[x∈（0，1）]時，[h（x）>0]；

當(dāng)[x∈（1，+∞）]時，[h（x）<0].

故[h（x）]在[（0，1）]上單調(diào)遞增，在[（1，+∞）]上單調(diào)遞減.

從而[h（x）]在[（0，+∞）]上的最大值為[h（1）=-1e.]

綜上，當(dāng)[x>0]時，[g（x）>h（x）]，即[f（x）>1.]

知識交織點(diǎn) 本題考查導(dǎo)數(shù)的基本概念與導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用.

賞析 在第二問的證明過程中將不等式分拆為兩個函數(shù)的最大值與最小值的比較，使整個問題得到巧妙的解決，特別是不等式中出現(xiàn)了[lnx]和[ex]相關(guān)表達(dá)式一般分解為兩個函數(shù). 此種思考方式在2011年的遼寧卷，2013年的全國卷也有所體現(xiàn).

例4 已知函數(shù)[f（x）=x3+ax+14，g（x）=-lnx].用[minm，n]表示[m，n]中的最小值，設(shè)函數(shù)[h（x）=][minf（x），g（x）（x>0）]，討論[h（x）]零點(diǎn)的個數(shù).

解析 （1）當(dāng)[x∈（1，+∞）]時，[g（x）=-lnx<0]，

從而[h（x）≤g（x）<0]，則[f（x）]無零點(diǎn).

（2）當(dāng)[x=1]時，若[a≥-54]，

則[f（1）=a+54≥0]，[h（1）=min{f（1），g（1）}=g（1）=0]，

則[x=1]是[f（x）]的零點(diǎn)。

若[a<-54]，

則[f（1）=a+54<0]，[h（1）=min{f（1），g（1）}=f（1）<0]，

故[x]=1不是[h（x）]的零點(diǎn).

（3）當(dāng)[x∈（0，1）]時，[g（x）=-lnx>0]，

所以只需考慮[f（x）]在（0，1）上的零點(diǎn)個數(shù).

（ⅰ）若[a≤-3]或[a≥0]，

則[f（x）=3x2+a]在（0，1）上無零點(diǎn)，故[f（x）]在（0，1）上單調(diào).

而[f（0）=14]，[f（1）=a+54]，

所以當(dāng)[a≤-3]時，[f（x）]在（0，1）上有一個零點(diǎn)；

當(dāng)[a≥]0時，[f（x）]在（0，1）上無零點(diǎn).

（ⅱ）若[-3則[f（x）]在（0，[-a3]）上單調(diào)遞減，在（[-a3]，1）上單調(diào)遞增，

故當(dāng)[x]=[-a3]時，[f（x）]取得最小值，

最小值為[f（-a3）]=[2a3-a3+14].

①若[f（-a3）]>0，即[-34]<[a]<0，則[f（x）]在（0，1）上無零點(diǎn).

②若[f（-a3）]=0，即[a=-34]，

則[f（x）]在（0，1）上有惟一零點(diǎn).

③若[f（-a3）]<0，即[-3