【摘要】教材編寫(xiě)和課堂教學(xué)的開(kāi)放性要求，促進(jìn)了開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容的出現(xiàn)與“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”理念的產(chǎn)生，數(shù)學(xué)教師應(yīng)注意提高自身的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)，這是教師專業(yè)發(fā)展的必然要求，也是開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)新設(shè)計(jì)的前提。

【關(guān)鍵詞】開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容；無(wú)邊界學(xué)習(xí)；MPCK

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2015）13-0023-03

【作者簡(jiǎn)介】嚴(yán)兵，江蘇省句容市實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇句容，212400）教科室主任，一級(jí)教師。

一、關(guān)鍵詞的厘清

1.開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容。

教材是組織教學(xué)的重要資源，但國(guó)外很多教師根本不用教材，而是根據(jù)本班的具體情況確定教學(xué)內(nèi)容。這里的開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容是指教材中沒(méi)有或特別精簡(jiǎn)且具有很強(qiáng)開(kāi)放性的教學(xué)內(nèi)容，教師需要根據(jù)學(xué)生實(shí)際，對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行加工、創(chuàng)造，以實(shí)現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的“適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程基本理念。此時(shí)，“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”理念應(yīng)運(yùn)而生。

2.無(wú)邊界學(xué)習(xí)。

“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”是試圖突破既有數(shù)學(xué)教學(xué)格局的“穿越森林之旅”。它通過(guò)柔化學(xué)生難以自主建構(gòu)的開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容的邊界，消解知識(shí)中心的教學(xué)壁壘，打通文本、經(jīng)驗(yàn)、情感、生活之間的聯(lián)系，使學(xué)生的學(xué)習(xí)不再為知識(shí)所束縛，不再為邊界所局限，不再為操練所驅(qū)使，而真正成為一種主客交融、聯(lián)系縱橫的綜合性、整體性學(xué)習(xí)，成為一種具有深沉精神體驗(yàn)的自由、幸福的生活，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)境遇得到質(zhì)的改善?！盁o(wú)邊界學(xué)習(xí)”倡導(dǎo)生活與經(jīng)驗(yàn)、游戲與學(xué)習(xí)、預(yù)設(shè)與生成的無(wú)邊界，倡導(dǎo)師生關(guān)系、課程資源、學(xué)科以及目標(biāo)評(píng)價(jià)的無(wú)邊界，總之，它倡導(dǎo)教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)。

3.MPCK。

美國(guó)斯坦福大學(xué)教授、著名教育家舒爾曼最早提出了教師專業(yè)知識(shí)結(jié)構(gòu)理論，其核心是學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（PCK）。香港中文大學(xué)黃毅英教授把數(shù)學(xué)教師從事專業(yè)教學(xué)所應(yīng)具備的核心知識(shí)稱為數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（MPCK），MPCK由數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）、一般教學(xué)法知識(shí)（PK）、關(guān)于學(xué)生的知識(shí)（CK）和關(guān)于教育技術(shù)的知識(shí)（TK）融合而成，其本質(zhì)是教師如何將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，它對(duì)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展意義重大，數(shù)學(xué)教師對(duì)MPCK的掌握情況可以作為衡量他們教學(xué)水平的重要標(biāo)準(zhǔn)。“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”中對(duì)開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容的創(chuàng)新設(shè)計(jì)正是蘇派名師MPCK水平高的表現(xiàn)，如王俊老師的《平面圖形周長(zhǎng)與面積的關(guān)系》、張齊華老師的《圓的認(rèn)識(shí)》、華應(yīng)龍老師的《你會(huì)用計(jì)算器嗎？》《中括號(hào)》《審題》等。我在近幾年的教學(xué)實(shí)踐中也開(kāi)發(fā)了《神奇的黃金比》《積的末尾有幾個(gè)零？》《展開(kāi)圖》《分?jǐn)?shù)的意義》等十多個(gè)開(kāi)放性教學(xué)課例。這些設(shè)計(jì)打開(kāi)了兒童“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”的大門(mén)，為學(xué)生的自主發(fā)展和終身學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、“奇趣數(shù)學(xué)”：“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”的實(shí)踐與反思

我認(rèn)為，開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)，既要無(wú)限接近學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平，又要為學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展奠定基礎(chǔ)，以真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生的“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”。數(shù)學(xué)內(nèi)容本身和學(xué)習(xí)活動(dòng)散發(fā)出的“奇”“趣”對(duì)學(xué)生非常重要。從尊重學(xué)生的年齡特征和開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)出發(fā)，以“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”理念為指引，我提出了“奇趣數(shù)學(xué)”的教學(xué)主張?！捌嫒?shù)學(xué)”將讀懂學(xué)生作為解讀教材、設(shè)計(jì)教學(xué)的密碼，這里的“奇”是指開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容的“神奇”“奇妙”“奇怪”“奇異”“奇特”“奇思妙想”；“趣”是指“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”過(guò)程中的“興趣”“趣味”“樂(lè)趣”“情趣”“童趣”“妙趣橫生”?！捌嫒?shù)學(xué)”尊重編者的意圖，力求創(chuàng)新，設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)情境和問(wèn)題令學(xué)生耳目一新，使學(xué)生專注于材料和學(xué)習(xí)本身，以培養(yǎng)學(xué)生善聽(tīng)、善思、善問(wèn)、善辯、善練的善學(xué)品質(zhì)。

蘇教版六上“你知道嗎？——黃金比”的內(nèi)容，教師一般都從簡(jiǎn)處理，我卻被其中蘊(yùn)藏著的生動(dòng)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵所吸引，直覺(jué)告訴我，這一內(nèi)容的開(kāi)發(fā)對(duì)學(xué)生而言意義非凡，現(xiàn)將教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄如下：

（一）引入課題：《神奇的黃金比》

讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)對(duì)黃金比的認(rèn)識(shí)并提出質(zhì)疑。引出黃金比的比值是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，通過(guò)找與之接近的小數(shù)、分?jǐn)?shù)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

（二）活動(dòng)一：研究線段上的黃金分割點(diǎn)

1.學(xué)生憑直覺(jué)找東方明珠上黃金分割點(diǎn)的位置。利用維納斯雕像揭示黃金分割的概念。

2.在1分米長(zhǎng)的線段上估計(jì)黃金分割點(diǎn)的位置，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)直覺(jué)判斷、估算與推理發(fā)現(xiàn)比值相等的兩個(gè)比，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

3.通過(guò)延長(zhǎng)線段變中點(diǎn)為黃金分割點(diǎn)，創(chuàng)造黃金分割，引出芭蕾舞演員踮腳動(dòng)作和媽媽穿高跟鞋的例子，讓學(xué)生體驗(yàn)黃金分割點(diǎn)的神奇。

（三）活動(dòng)二：研究黃金矩形

1.模擬心理學(xué)家選一個(gè)最勻稱矩形的實(shí)驗(yàn)。

2.自主探究：知道一條邊長(zhǎng)94mm，創(chuàng)造一個(gè)黃金矩形。出示學(xué)生創(chuàng)造的兩種黃金矩形及與之相對(duì)應(yīng)的名片和明信片的樣子。使學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造黃金矩形的過(guò)程，體驗(yàn)黃金矩形的神奇。

（四）活動(dòng)三：研究斐波那契數(shù)列中的黃金比

組織學(xué)生進(jìn)行填表（如表1）比賽，第一列要求學(xué)生先任意填兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)是前兩個(gè)數(shù)之和，以此類推。許多學(xué)生小組討論后決定從最簡(jiǎn)單的1、1或者1、2開(kāi)始填表，在比賽中完成了對(duì)斐波那契數(shù)列的創(chuàng)造，理解了簡(jiǎn)單就是美。通過(guò)動(dòng)態(tài)演示、數(shù)形結(jié)合，學(xué)生感受到了相鄰兩數(shù)的比值逼近黃金比的過(guò)程，體驗(yàn)到了極限思想和數(shù)列的神奇。

（五）質(zhì)疑解惑，課外延伸

1.學(xué)生繼續(xù)質(zhì)疑。講述“畢達(dá)哥拉斯研究打鐵聲音得到黃金比”的故事，鼓勵(lì)學(xué)生從生活小事中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧秘。讓學(xué)生針對(duì)“折扇”提出自己的問(wèn)題或猜想，了解黃金比中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新精神。

2.感受大自然才是真正的“大師”。動(dòng)畫(huà)演示微觀和宏觀世界中自然創(chuàng)造出來(lái)的黃金比，如動(dòng)物的體形、花瓣數(shù)、向上生長(zhǎng)的植物葉子的排列角度等，讓學(xué)生體驗(yàn)大自然的神奇。

“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”倡導(dǎo)在課堂上給學(xué)生種下快樂(lè)——收獲陽(yáng)光的溫暖，種下好奇——收獲探索的勇氣，種下慧根——收獲改變世界的創(chuàng)造力。這節(jié)課，結(jié)合學(xué)生的年齡特點(diǎn)，挖掘黃金比的深度與廣度，甚至上升到了哲學(xué)的高度，有專家點(diǎn)評(píng)道：“師生共同呈現(xiàn)了一節(jié)神奇的數(shù)學(xué)課，學(xué)生從‘知道黃金比到‘走近黃金比，通過(guò)發(fā)現(xiàn)、感悟、嘗試、創(chuàng)造等一系列活動(dòng)，對(duì)黃金分割有了豐富多元的了解，更可貴的是，整節(jié)課引領(lǐng)學(xué)生探索開(kāi)放性內(nèi)容的深刻邊界，使學(xué)生心中充滿了數(shù)學(xué)的問(wèn)題和好奇，讓他們意猶未盡，給他們留下了無(wú)盡遐想?！?/p>

教學(xué)用書(shū)中強(qiáng)調(diào)：全學(xué)期大約有20%左右的教學(xué)時(shí)間留作機(jī)動(dòng)，以便于教師創(chuàng)造性地安排教學(xué)。這個(gè)機(jī)動(dòng)時(shí)間，大多數(shù)教師安排的是重復(fù)練習(xí)。從上述課例可以看出，教材呈現(xiàn)具有很強(qiáng)開(kāi)放性的教學(xué)內(nèi)容，是為了支持、鼓勵(lì)教師創(chuàng)造性地開(kāi)發(fā)課程資源和組織教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”。在“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”的實(shí)踐過(guò)程中，我還帶學(xué)生讀數(shù)學(xué)繪本、聽(tīng)數(shù)學(xué)故事、解數(shù)學(xué)趣題、做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等，多家雜志對(duì)我?guī)У摹捌嫫婢銟?lè)部”社團(tuán)活動(dòng)作了專題報(bào)道。我還特別重視上好開(kāi)學(xué)第一課、試卷評(píng)講課、“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課、課外延伸課……在實(shí)踐過(guò)程中，我真切地感受到，要實(shí)現(xiàn)“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”倡導(dǎo)的創(chuàng)新設(shè)計(jì)開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容，需要教師具備極高的MPCK水平。

三、MPCK：讓蘇派名師更好地引領(lǐng)兒童“會(huì)學(xué)”數(shù)學(xué)

教師有探索黃金比的意愿和策略，才能去引領(lǐng)兒童探究；教師具備濃厚的興趣和自信，掌握相關(guān)知識(shí)和先進(jìn)的教學(xué)理念，了解學(xué)生的需求和思考方法，知道如何調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的欲望，能利用網(wǎng)絡(luò)收集素材并創(chuàng)設(shè)好學(xué)生自主學(xué)習(xí)的情境，才能幫助學(xué)生進(jìn)行“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”，獲得成功的體驗(yàn)。

1.MK：蘇派名師，怎可缺少對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)？

MK包括數(shù)學(xué)觀念、學(xué)科內(nèi)容知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)史知識(shí)。

蘇派名師都熱愛(ài)數(shù)學(xué)，華應(yīng)龍老師深度鉆研前沿?cái)?shù)學(xué)、蔡宏圣老師潛心研究數(shù)學(xué)史、張齊華老師熱心關(guān)注數(shù)學(xué)文化……他們都對(duì)大量的開(kāi)放性內(nèi)容進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)，例如：華應(yīng)龍老師《臺(tái)灣長(zhǎng)什么樣？》一課設(shè)計(jì)的靈感就源于一本旅游攻略，整節(jié)課不斷引領(lǐng)學(xué)生尋找文字中的數(shù)學(xué)信息，如此睿智非凡的創(chuàng)造力源于他對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)與積淀。課尾有一個(gè)環(huán)節(jié)：大家直觀感覺(jué)到“臺(tái)灣的海岸線比長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)小”，但實(shí)際上并不是。很自然就引發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步思考與探究的愿望，隨后出示雪花曲線等圖形，拓展值得進(jìn)一步研究的課題，這正是對(duì)“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”的最佳詮釋。歷史上就是通過(guò)追問(wèn)“英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)”引出了新的數(shù)學(xué)分支——分形幾何學(xué)。華老師的課引起了我的思考：MK是影響教師專業(yè)發(fā)展水平的重要因素，教師精通數(shù)學(xué)并對(duì)MK充滿興趣，是學(xué)生進(jìn)行“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”的前提。

2.PK：蘇派名師，怎能沒(méi)有獨(dú)特的教學(xué)觀？

PK包括教育觀念、教育理論知識(shí)、課程知識(shí)及教學(xué)知識(shí)。

并非對(duì)學(xué)科本身有興趣、有研究的教師都可以成為優(yōu)秀教師。1953年秋，陳景潤(rùn)被分配到北京的一所中學(xué)，事實(shí)證明他不適合當(dāng)老師。PK作為數(shù)學(xué)教師知識(shí)結(jié)構(gòu)的核心，是區(qū)別數(shù)學(xué)教師與數(shù)學(xué)家或其他學(xué)科教師的重要特征，是數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長(zhǎng)的重要體現(xiàn)。某一特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容該如何進(jìn)行表述、呈現(xiàn)和解釋，以使學(xué)生更容易接受和理解，是蘇派名師關(guān)注的重點(diǎn)。強(qiáng)震球老師《角的度量》一課的教學(xué)徹底打破了傳統(tǒng)的教學(xué)思路，他根據(jù)建構(gòu)主義的教學(xué)理論對(duì)課進(jìn)行了創(chuàng)新設(shè)計(jì)——通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境設(shè)置矛盾，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的需求，引導(dǎo)學(xué)生深入思考、逐步探索，最終使學(xué)生實(shí)現(xiàn)了對(duì)量角工具的再創(chuàng)造，較好地把握了量角器的原理，是“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”的又一典范。

3.CK：蘇派名師，怎能沒(méi)有正確的兒童觀？

CK包括學(xué)生發(fā)展的知識(shí)、學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知因素與非認(rèn)知因素知識(shí)以及學(xué)習(xí)環(huán)境的知識(shí)。

“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”特別重視對(duì)學(xué)生的關(guān)注。魏潔老師十分注重研究學(xué)生，聽(tīng)課時(shí)喜歡坐在學(xué)生身邊，觀察并反思他們的思考過(guò)程。她自己教學(xué)時(shí)更關(guān)注每一位學(xué)生，課前注重調(diào)查學(xué)情；課中關(guān)注數(shù)學(xué)思想的滲透以及學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的理解；課后及時(shí)收上作業(yè)紙，不斷反思教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題。她最大限度地關(guān)注每個(gè)學(xué)生，滿足他們的學(xué)習(xí)需求，開(kāi)啟他們的智慧與潛能，這和“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”的追求是完全一致的。

4.TK：蘇派名師，豈會(huì)缺乏過(guò)硬的教育技術(shù)？

TK包括傳統(tǒng)教學(xué)媒體的知識(shí)以及有關(guān)現(xiàn)代教育技術(shù)的知識(shí)。

開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)，需要教師具備借助網(wǎng)絡(luò)收集、整合信息的能力，并能制作與教學(xué)思想相統(tǒng)一的課件或微課，營(yíng)造現(xiàn)實(shí)又富有吸引力的學(xué)習(xí)環(huán)境，蘇派名師往往都注重傳統(tǒng)媒體與現(xiàn)代技術(shù)的綜合運(yùn)用，使技術(shù)為學(xué)生服務(wù)，以有效地激發(fā)學(xué)生的興趣，同時(shí)演繹過(guò)程、啟發(fā)思維。

綜上所述，就開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容而言，并非教得越簡(jiǎn)單越直白越好，任何一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以用合適的方式傳達(dá)給兒童。彌爾頓說(shuō)：“兒童引導(dǎo)成人，如同晨光引導(dǎo)白晝?！苯虒W(xué)過(guò)程是兒童和教師進(jìn)行互動(dòng)、生成的過(guò)程，在“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”理念的指導(dǎo)下，開(kāi)放性教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)把關(guān)注兒童的發(fā)展作為首要目標(biāo)，以知識(shí)教學(xué)為載體，通過(guò)各種教具、學(xué)具和網(wǎng)絡(luò)、多媒體等現(xiàn)代化的手段，創(chuàng)造有利于兒童的生動(dòng)、活潑、自主的學(xué)習(xí)環(huán)境，促使兒童在主動(dòng)探索的過(guò)程中全面發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]馬立平.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)[M].李士锜，吳穎康，等，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

[3]張俊平.名師的教學(xué)主張[M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2011.

[4]童莉.數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的新視角——數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（MPCK）[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010（2）：23-27.

注：本文獲2014年江蘇省“教海探航”征文競(jìng)賽一等獎(jiǎng)，有刪改。