劉金林

解決有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題，不僅要用到圓錐曲線的定義、性質(zhì)，還要了解解決圓錐曲線的常用方法。在高考數(shù)學(xué)體系中，圓錐曲線占有很重要的地位。而平面向量又是新增的內(nèi)容，它體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，它作為工具性知識(shí)兼具代數(shù)和幾何形式的雙重身份，故它是聯(lián)系多項(xiàng)知識(shí)的媒介，成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)。而圓錐曲線對(duì)高中數(shù)學(xué)的許多知識(shí)點(diǎn)都有一定的親和力。在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處出題是考試命題的主導(dǎo)思想。因此在眾多方法中，我們更應(yīng)該注重平面向量在圓錐曲線問(wèn)題解決中的作用。在此根據(jù)題目自身的特點(diǎn)歸納和總結(jié)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量的模在解決圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用。

1向量的共線的應(yīng)用

1.1求相關(guān)量的取值范圍

運(yùn)用向量的共線的相關(guān)知識(shí)，可以較容易地處理涉及三點(diǎn)共線、定比分點(diǎn)、直線等問(wèn)題。在處理圓錐曲線中求相關(guān)量的取值范圍、求直線的方程、求待定字母的值、證明過(guò)定點(diǎn)等問(wèn)題時(shí)，如能恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用平面向量共線的相關(guān)知識(shí)，常常能使問(wèn)題較快捷的得到解決。

例1：給定拋物線C： ，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線 與C相交于A、B兩點(diǎn)，且 ，求 在y軸上的截距的變化范圍。

分析：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將向量間的共線關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，再求出 在y軸上的截距，利用函數(shù)的單調(diào)性求其變化范圍。

解：設(shè) ，由 得： 即

由②得 ，因 ， ，

所以 ③，聯(lián)立①③得， 。

而 ，所以 ；當(dāng)直線 垂直于x軸時(shí)， ，不符合題意。

∴直線 的方程為 ，直線 在y軸上的截距為 。由 知， 在 上單調(diào)遞減，所以 ，

于是直線 在y軸上的截距的變化范圍是 。

評(píng)注：圓錐曲線與向量綜合進(jìn)行考查，試題以圓錐曲線為載體，以探討直線和圓錐曲線的位置為切入點(diǎn)，以向量為工具，重點(diǎn)考查圓錐曲線的基本數(shù)學(xué)思想方法和綜合解題能力。

1.2求待定字母的值

例2：已知兩定點(diǎn) ，滿足條件 的點(diǎn)的軌跡是曲線E，直線 ：y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)，如果 ，且曲線E上存在一點(diǎn)C，使得 ，求m的值

分析：設(shè)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，將題目中的向量關(guān)系代數(shù)化，聯(lián)立直線和雙曲線，通過(guò)韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等進(jìn)行計(jì)算。

解：由雙曲線的定義知，曲線E是以 為焦點(diǎn)的

雙曲線的左支（見(jiàn)圖3），，且 易知 。故

曲線E的方程為： ①。

設(shè) ，直線 的方程代入 ①

得 。又已知直線與曲線E相交與A、B兩點(diǎn)，有 ，解得 .

又 ，整理得： ，但 ，所以 。故直線AB的方程為：

設(shè) ，由已知 ，得 ，又

= ， ，所以點(diǎn)C ，將C的坐標(biāo)代入曲線E的方程，得 ，但當(dāng) 時(shí)，所得的點(diǎn)不在雙曲線的左支上，不合題意，所以

評(píng)注：通過(guò)適當(dāng)?shù)脑O(shè)點(diǎn)，將向量關(guān)系代數(shù)化，再根據(jù)圓錐曲線的定義以及一些性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題。

1.3證明過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

例3：如圖4，直線 交拋物線 于 、 兩點(diǎn)，且 ，又點(diǎn)M在y軸上，且M（0，-2），求證：直線AB經(jīng)過(guò)M點(diǎn)。

解：設(shè) 、 ，因?yàn)?，

所以 ，又 ，所以 。

要證直線AB經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，即需證 共線，即需

證存在非零實(shí)數(shù) ，使得 成立，又

，

所以只需證 。

又因?yàn)?/p>

，所以 共線，即證得直線AB過(guò)M點(diǎn)

評(píng)注：本題以圓錐曲線為載體，證明過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，本題用了向量的共線來(lái)證明，是否可以用直線的斜率相等來(lái)證明？直線的斜率和向量之間有方向向量可以聯(lián)系。

從以上的幾個(gè)例子，不難發(fā)現(xiàn)在圓錐曲線的解題中運(yùn)用平面向量的共線的相關(guān)知識(shí)，往往是依題將題目中涉及到共線的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的代數(shù)關(guān)系，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

2向量的夾角的應(yīng)用

通常當(dāng)圓錐曲線問(wèn)題中涉及到求夾角的大小、求相關(guān)量的取值范圍等內(nèi)容時(shí)，往往可以考慮運(yùn)用平面向量的夾角的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決。

2.1求相關(guān)量的取值范圍

例4：橢圓 的焦點(diǎn)為 、 ，P為該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 為鈍角的時(shí)候，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍。

解： 可以看成向量 與 的夾角，由向量的數(shù)量積的定義可知：

，由于 、 為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以有： 、 ， ，則 ①，又因?yàn)镻點(diǎn)在橢圓上，所以： ，代入①得， 解得： ，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍：

3向量的數(shù)量積

向量的數(shù)量積將一些幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)充分的聯(lián)系在一起，它可以處理垂直、長(zhǎng)度、三角形面積和三角函數(shù)等問(wèn)題。所以在解決圓錐曲線中的一些問(wèn)題時(shí)，它通?？梢赃\(yùn)用在探索點(diǎn)、線的存在性、求參數(shù)的取值范圍和求圓錐曲線的方程等方面。

3.1探索點(diǎn)、線的存在性

例14：已知A、B為拋物線 上的兩點(diǎn)，直線AB過(guò)該拋物線焦點(diǎn)F，且A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為C、D。

（1） 若 ，求拋物線的方程。

（2） 拋物線的準(zhǔn)線上是否恒存在一點(diǎn)K，使得 ？

解：（1）顯然過(guò)A、B的直線斜率不存在時(shí)不滿足題意。故可設(shè)直線的方程為： ，代入拋物線方程，得 ，不妨設(shè) ，所以有： ，則有， ，

則 ，所以拋物線的方程為：

（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為T，則

.

所以存在點(diǎn)K，即線段AB的中點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影，使得 成立。

結(jié)論發(fā)散1：x軸上是否存在一點(diǎn)K，使得 ？

結(jié)論發(fā)散2：求證：存在實(shí)數(shù) ，使得 .

縱觀以上幾個(gè)例子，可以發(fā)現(xiàn)：在圓錐曲線問(wèn)題中運(yùn)用向量的數(shù)量積，往往題目中出現(xiàn)了向量的數(shù)量積或構(gòu)造向量的數(shù)量積，通過(guò)向量的數(shù)量積的表達(dá)式、意義和運(yùn)算性質(zhì)，從而達(dá)到將問(wèn)題簡(jiǎn)化的目的。

通過(guò)以上相關(guān)例題的分析，我們不難得出這樣一個(gè)結(jié)論：平面向量的坐標(biāo)表示、模、共線、夾角、數(shù)量積等知識(shí)在圓錐曲線中的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：（1）求待定字母的值（2）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（3）求相關(guān)圓錐曲線的方程（4）探索點(diǎn)、線的存在性（5）求相關(guān)量的取值范圍（6）證明過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題。

平面向量的幾何意義、性質(zhì)、數(shù)量積等的坐標(biāo)運(yùn)算與圓錐曲線本身的特點(diǎn)（坐標(biāo)化）結(jié)合比較緊密。在圓錐曲線中涉及到長(zhǎng)度、角度、垂直等諸多問(wèn)題中，如能適當(dāng)?shù)臉?gòu)造向量，利用向量的幾何意義和運(yùn)算法則，將其轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，往往使問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲解。

縱觀以上例題，我們可以發(fā)現(xiàn)：平面向量在圓錐曲線有關(guān)問(wèn)題中出現(xiàn)往往有兩種形式：一類是給出的問(wèn)題中已經(jīng)有平面向量出現(xiàn)，即可以用向量作為工具來(lái)解決圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題；另一類是在題目中未出現(xiàn)平面向量的面孔，即以平面向量為載體來(lái)考察圓錐曲線等知識(shí)。當(dāng)題目中出現(xiàn)向量時(shí)，往往我們很容易的想到用向量的有關(guān)知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化；當(dāng)題目中沒(méi)出直接出現(xiàn)向量時(shí)，我們就需要充分的挖掘題目隱含的內(nèi)容，積極的與向量的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，爭(zhēng)取能運(yùn)用向量這個(gè)工具來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，特別是題目中出現(xiàn)了長(zhǎng)度、夾角、垂直、三角形的面積、共線等內(nèi)容時(shí)，往往可以運(yùn)用向量來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題。

但是，并不是圓錐曲線中的任何問(wèn)題都必須由平面向量來(lái)解決，也并不是圓錐曲線的問(wèn)題用平面向量的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決都的比較簡(jiǎn)單。