莊元奮

[摘 要]基于一道高中數(shù)學(xué)習(xí)題，提出一些思考，以期培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高課堂教學(xué)效率.

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué) 習(xí)題教學(xué) 變式 反思

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，習(xí)題課是重要的課堂教學(xué)模式，對典型習(xí)題適當進行拓展、變換，可強化學(xué)生的反思意識，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣，深化對問題的理解，探究解題規(guī)律，從而達到舉一反三、觸類旁通的目的.筆者以高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一道常見的關(guān)于直線與圓位置關(guān)系的題為例，簡單談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)習(xí)題教學(xué).

【例題】 已知圓C：（x-4）2+（y-5）2=8，過點P（2，4）的直線l與圓交于A、B兩點，當弦AB最短時，求直線l的方程.

解析：教師讓學(xué)生結(jié)合圖像獨立研究，容易得到結(jié)論：當直線l與CP垂直時，弦AB最短，此時直線l方程為2x+y-8=0.通過直觀感受，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.為了加深學(xué)生對問題的認識，可以讓學(xué)生證明此結(jié)論，由關(guān)系式d2+（AB2）2=r2，r2=8，d2≤CP2=5可知當d2=5，即CP⊥AB時，弦AB最短，這樣通過引導(dǎo)學(xué)生推理論證，培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性.緊接著讓學(xué)生思考該題的變式.

變式1 已知圓C：（x-4）2+（y-5）2=8，過點P（2，4）的直線l與圓交于A、B，當△ABC的面積最大時，求直線l方程.

分析：適當?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生思考三角形的面積可以如何表示，學(xué)生通常會選擇圓心C到直線l的距離為d或θ=∠ACB來表示三角形的面積，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進行分析、研究.

解法1：設(shè)圓心C到直線的距離為d（0≤d≤5），

S△ABC=12AB·d=r2-d2·d= （r2-d2）d2 ≤（r2-d2）+d22=4 ，

當且僅當r2-d2=d2，即d=22r=2 時，△ABC的面積最大，此時分兩種情況求直線;方程：（1）當直線l斜率不存在時，方程x=2符合題意; （2）當直線l斜率存在時，設(shè)直線l方程為y-4=k（x-2），由d=|4k-5-2k+4|1+k2 =2，求得k=-34，則直線l方程為3x+4y-22=0，所以所求的直線有兩條.學(xué)生容易將直線l斜率不存在時，直線方程x=2的情況忽略，從而導(dǎo)致出錯.

解法2：設(shè)θ=∠ACB，S△ABC=12AC·BCsin∠ACB ，容易得到當∠ACB=90°時，△ABC的面積最大，此時d=22r，從而求最值及直線方程.

歸納以上兩種解法，讓學(xué)生找到其中的不同點與相同點.不同點是面積的表示方法不同;相同點是最后都得到d=22r，從而解決問題.通過多種方法解決同一問題，深化學(xué)生對問題的認識，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

變式2 已知圓C：（x-4）2+（y-5）2=8，過點P（3，4）的直線l與圓交于A、B，當△ABC的面積最大時，求直線l方程.

解析：稍微改變題目的條件，學(xué)生容易按照上題的解答方法解答，設(shè)圓心C到直線l的距離為d，S△ABC=12AC·BCsin∠ACB ，容易得到當∠ACB=90°時，△ABC的面積最大，此時d=22r，從而求最值及直線方程.通過分析發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生錯誤的原因為函數(shù)表示中沒有注意自變量的取值范圍，這里圓心到直線的距離不是0≤d≤5，而是0≤d≤2，∠ACB也取不到90°.當d=2，也就是∠ACB取最小值120°時，△ABC的面積最大，求出此時直線方程即可.以上問題解決后再給出以下訓(xùn)練題，鞏固對問題的認識，開闊學(xué)生的思維.

變式3 已知圓C：（x-4）2+（y-5）2=8，過點P（2，4）互相垂直的直線l1與l2分別與圓交于A、B及E、F，當AB+EF最大時，求直線l方程.

解析：設(shè)圓心C到直線l1的距離為d1，設(shè)圓心C到直線l2的距離為d2，易得d21+d22=5，結(jié)合d21+（AB2）2=r2=8 ，d22+（EF2）2=r2=8 ， 得AB2+EF2=44，（AB+EF）2=AB2+EF2+2AB·EF≤44+AB2+EF22=88 ，當且僅當AB=EF，即d21=d22=52時，AB+EF最大，利用圓心到直線l的距離求出直線方程，這樣即可將問題轉(zhuǎn)化為前面幾個問題，又培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力和歸納類比的能力.

教材中的典型習(xí)題具有較強的代表性、遷移性，是知識發(fā)展的源泉.教師在教學(xué)過程中應(yīng)高度重視此類例題的挖掘和推廣，加強知識的橫向聯(lián)系，有目的地、有針對性地進行變式教學(xué)，提高課堂教學(xué)效率;通過拓展延伸、一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和深刻性，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.