王開杰

前景提要：

作為參加工作17年的我，可以毫不夸張地說自己是看著、聽著、學(xué)習(xí)著吳正憲老師的數(shù)學(xué)課一步步成長的。2014年11月17日經(jīng)緯小學(xué)，我有幸第四次在哈爾濱現(xiàn)場聆聽吳正憲老師的數(shù)學(xué)課。回想前面三次，場景依然歷歷在目。翻出過往的文字，細(xì)細(xì)品讀，仍然讓我心潮澎湃。再次寫下一組文字，記錄下我的敬意，也書寫下我的成長！

見與不見——見

再次見到吳老師，見到了吳老師一直掛在嘴邊的熟悉微笑，見到了吳老師的數(shù)學(xué)課堂，見到了學(xué)生真正喜歡的課堂，見到了學(xué)生們課堂結(jié)束時(shí)的戀戀不舍。毫無疑問，再次見到的是帶有吳老師明顯風(fēng)格特征的數(shù)學(xué)課堂。這種風(fēng)格特征一切如常，親切自然，真摯生動，智慧深刻，回味綿長。如5年前香濱小學(xué)的初見，又仿佛2年前、1年前的再相見，抑或是與吳老師同臺杭州“千課萬人”展示活動，吳老師的風(fēng)格特征愈加清晰，愈加讓人印象深刻，今天這種風(fēng)格特征更是彌漫充盈在整個(gè)會場中，無處不見！

對于“商不變的規(guī)律”這一教學(xué)內(nèi)容而言，有一個(gè)最難把握又是不可回避的問題：大多數(shù)學(xué)生對于規(guī)律（被除數(shù)和除數(shù)都乘或除以一個(gè)相同的不為零的數(shù)，商不變）早有了解。這份了解源于已有大量相關(guān)除法知識的積累，源于逐步形成的運(yùn)算能力發(fā)揮的潛移默化作用，也可能源于過早的提前學(xué)習(xí)等。面對這份學(xué)生的了解，老師們的選擇大多是兩類，要么是對于學(xué)生已有認(rèn)知視若不見，全當(dāng)新知來展開教學(xué)；另一種則是將這部分規(guī)律教學(xué)視如雞肋，一帶而過。

而見到吳老師的課堂卻是另一番景象：簡潔情境引入，再輔以二維的正比例數(shù)量關(guān)系，繼而借兩組例子引發(fā)學(xué)生的思考，充分引導(dǎo)學(xué)生暴露自己對于問題的初始想法，再通過同伴之間的比較辨析、交流碰撞進(jìn)而逐步完善、建立模型?！懊鎸芏鄬W(xué)生已經(jīng)知道的問題，要不要學(xué)，該怎樣學(xué)？”吳老師的這節(jié)課做了精彩的回答，對于老師們來說極具借鑒價(jià)值。

見與不見——不見

李玉貴老師（臺灣）曾說過：“ 一個(gè)好的課堂，是上著上著老師就不見了 ?！痹谶@節(jié)“商不變的規(guī)律”課堂上，我看見了這樣的吳老師，又或者說“我看不見吳老師了”。

吳老師真正退到了后面，學(xué)生們走向了前臺。學(xué)生由略顯青澀的表達(dá)開始，到侃侃而談，針鋒相對，再到互幫互助，智慧迸發(fā)，思維的火花不時(shí)閃現(xiàn)。生生的精彩互動，正是吳老師課堂中最美、最獨(dú)特的風(fēng)景！

從本節(jié)課學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)來看，不同學(xué)生所處的認(rèn)知階段各不相同：有完全不知道規(guī)律的，有了解一點(diǎn)的，有熟悉掌握的，更有可以進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)進(jìn)而實(shí)際應(yīng)用的……如何讓不同的學(xué)生得到發(fā)展，這正是“看不見的吳老師”在發(fā)揮著作用。這“看不見”中，有吳老師對教學(xué)內(nèi)容的深刻理解；這“看不見”中，有吳老師對學(xué)生學(xué)情的充分預(yù)設(shè)；這“看不見”中，更有吳老師對課上問題的及時(shí)判斷、敏銳把握與適時(shí)介入。面對學(xué)生都要求回答的場面，該選誰來講呢？那發(fā)人深省的“意義同學(xué)”怎么會出現(xiàn)得這樣恰到好處呢？教師退到后面，則須要更敏銳地關(guān)注前面。課堂上該如何不著痕跡地巧妙引導(dǎo)，吳老師為我們上了精彩的一課！

見與不見——我見

課后，我爭取到了與吳老師對話的機(jī)會：

“吳老師您好！向您提一個(gè)問題：在場有很多老師，大家往往受課時(shí)計(jì)劃所限，不能有很大的駕馭空間。就如，這一內(nèi)容的課時(shí)安排只是一課時(shí)，如何處理本節(jié)課未完的其他內(nèi)容，如果一定要在一節(jié)課既講完又練到，哪些部分可以刪減呢？”

吳老師給出了大課程觀的提法，講到課程安排有時(shí)可做加法，有時(shí)可做減法的答案。更是呼吁要給教師上課、備課多些空間的提法……

會后，有老師與我交流，講我是在明知故問，說我是借吳老師的話，回應(yīng)諸多領(lǐng)導(dǎo)對老師們平時(shí)的“苛刻”要求！我一笑置之。在此不作評價(jià)，以下只是表達(dá)我參與此次課堂教學(xué)觀摩的感受：

1. 教什么——看清方能提升

一節(jié)數(shù)學(xué)課“教什么”本不應(yīng)該是有爭議的話題，因?yàn)檫@是開展一切教學(xué)活動的前提。但觀摩吳老師的課卻可以帶給教師們一些啟示與思考，即數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計(jì)要從整體（知識體系建構(gòu)與學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展）來思考，可以不拘泥于一節(jié)課，一個(gè)知識點(diǎn)，可整合、可取舍、可加減。

商不變的規(guī)律即“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），商不變”。吳老師與學(xué)生們呈現(xiàn)的課堂中并沒有處理規(guī)律中的除法（被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以一個(gè)相同的數(shù)），也沒有處理“0除外”這一特殊情況。這樣的選擇（教什么）看上去有些異于常理，課后吳老師從課程觀的角度（前面提到的），以及培養(yǎng)學(xué)生的角度出發(fā)，對其中的原因做了細(xì)致的解讀。吳老師的見解高屋建瓴、引人深思，應(yīng)該說帶給一線老師們極大的啟發(fā)。

在這里要補(bǔ)充一點(diǎn)我的理解，其實(shí)吳老師對于這一教學(xué)內(nèi)容的取舍及教學(xué)目標(biāo)（教什么）的設(shè)定，在一定程度上是受其教學(xué)風(fēng)格（怎么教）影響的。吳老師的課堂總是能夠極大地凸顯學(xué)生中心的理念，開放、包容的課堂總是充滿了活力。同時(shí)學(xué)生又并不是單一的中心，吳老師的教學(xué)又總能巧妙地體現(xiàn)一種平衡（時(shí)而見時(shí)而不見），既以學(xué)生為中心又以教師為中心，這兩個(gè)中心通過有效的問題預(yù)設(shè)和敏銳的問題捕捉做了很好的銜接。

但這樣課堂就會遇到一個(gè)難以回避的掣肘，即借班上課的師生須要建立默契（更多指向的是學(xué)生對于老師教學(xué)理念、教學(xué)方法的適應(yīng)）。師生難免要有一個(gè)試探（甚至是反復(fù)試探）的過程，而這一打破陌生建立默契的過程恰恰又是吳老師課堂極為閃光之處?？呻S之而來的也就是要想在規(guī)定的時(shí)間（40分鐘）完成規(guī)定的內(nèi)容（教材中的內(nèi)容）那顯然是不可能的事情。由此，我們解讀很多觀摩課并不以限定的時(shí)間作為嚴(yán)格的卡尺，這是有原因的。

由此也產(chǎn)生了一個(gè)期待：名師們帶著自己的學(xué)生上課，那定會是更勝一籌的美妙。

可對于更普適的數(shù)學(xué)課堂，教什么呢？一節(jié)課40分鐘，按照教材編排展開教學(xué)，按照課時(shí)計(jì)劃走的教師還是大多數(shù)（絕大多數(shù)），從這一角度去思考一節(jié)常態(tài)、適合大多數(shù)老師自己的實(shí)踐課，也許會更受益！更普適地教，開展更普適的教研活動希望成為一個(gè)方向。

向吳老師學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)、揣摩、實(shí)踐這師生雙中心顯然任重而道遠(yuǎn)，須要腳踏實(shí)地，非一日之功。如果回到更為平常的課堂，暫且拋開高大上的理念與做法，先來弄清這一內(nèi)容（商不變的規(guī)律）的教學(xué)目標(biāo)到底是什么。我覺得應(yīng)達(dá)到的知識與能力目標(biāo)至少有“經(jīng)歷探索‘商不變的規(guī)律全過程；在觀察、比較、討論、交流中發(fā)現(xiàn)‘商不變的規(guī)律；能運(yùn)用這一規(guī)律進(jìn)行一些除法的簡便計(jì)算。更進(jìn)一步可能還有“相關(guān)規(guī)律的遷移類比（見2.怎么教）等”。

由此，我想表明一種觀點(diǎn)，吳老師的課（教什么）顯然不是商不變的規(guī)律唯一的上法。老師們的特點(diǎn)不一、風(fēng)格迥異。每一位教師都應(yīng)該有對待問題的獨(dú)立思考與冷靜判斷，否則就只會學(xué)到熱鬧，偏離門道。吳老師基于大課程觀的理解，基于自己對課堂、教材的把握，基于借班上課的學(xué)生實(shí)際，她的課不會適合下面的每一位老師，也不可能適合每一位老師。面對精彩的課堂，我們不應(yīng)只是心動、激動，簡單地模仿，更要看清、學(xué)習(xí)、借鑒執(zhí)教者的思考與研究，進(jìn)而結(jié)合自己現(xiàn)有的實(shí)際來提升視野，豐富課堂，乃至形成風(fēng)格。

2. 怎么教——還可以怎樣教

“就這節(jié)‘商不變的規(guī)律，吳老師是怎么教的，還可以怎樣教呢？如果我來上，會有怎樣的突破呢？”這是觀摩學(xué)習(xí)中，我一直不斷思考的另一個(gè)問題。冒昧借吳老師課的思路為線索，展開一些自己的思考，歡迎批評指正。

吳老師在這節(jié)課的課后交流中提到，特別看重通過學(xué)生自主合作交流，通過數(shù)學(xué)表達(dá)（語言表達(dá)、文字表達(dá)、圖示表達(dá)）來建構(gòu)數(shù)學(xué)模型（商不變的規(guī)律），感受數(shù)學(xué)思想，尤其提到將這節(jié)課重點(diǎn)放在理解商不變的規(guī)律中“乘”的基本規(guī)律上。這一解讀切中教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)了吳老師對于知識的深刻把握，課堂的呈現(xiàn)也更是淋漓盡致地體現(xiàn)了吳老師的設(shè)計(jì)意圖。

對照一下人教版教材（左圖），顯然吳老師處理的是“例8（3）”中的左半部分“被除數(shù)和除數(shù)都乘一個(gè)相同的數(shù)，商不變”。

借此我們再來分析一下教材，同一頁教材中“例8（1）、（2）、（3）”，這三道小題給出了三個(gè)層次，兩個(gè)角度對除法規(guī)律的解讀。這里是否可以一起引入它們，借助辨析比較會不會對商不變規(guī)律的建模更有幫助呢？

隨之而來的問題就是，吳老師的這節(jié)課已然滿滿，如何再加入這樣的內(nèi)容呢？換種問法，這節(jié)課中可不可以對某些環(huán)節(jié)進(jìn)行整合，有些方式是不是可以變化呢？

吳老師課堂中看重學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)，學(xué)生的交流互動，但有了更好（多樣、有層次）的數(shù)學(xué)表達(dá)就代表學(xué)生對商不變規(guī)律有了更本質(zhì)的提升嗎？試想，不同的學(xué)生的表達(dá)方式并不相同，學(xué)習(xí)風(fēng)格也不盡相同?？赡苡懈票磉_(dá)的學(xué)生，也自然會有學(xué)生屬于“茶壺煮餃子”倒不出來的，這不應(yīng)是辨別學(xué)生學(xué)習(xí)、理解掌握知識情況的唯一途徑。借助外在的數(shù)學(xué)表達(dá)讓學(xué)生來質(zhì)疑與深化規(guī)律的理解，應(yīng)該只是一種方式，而非唯一的方式。整合一些表達(dá)環(huán)節(jié)，壓縮一些時(shí)間，進(jìn)而借助前面的三道小題，三個(gè)層次，兩個(gè)角度，引導(dǎo)學(xué)生揭示規(guī)律，體會規(guī)律的不同變式，對于深入理解規(guī)律也許是一種有益的嘗試。豐富的變式對于概念的建構(gòu)將起到重要的作用。

再如從“商不變”可以聯(lián)想到“被除數(shù)不變、除數(shù)不變”；同樣也可以聯(lián)想到“積不變，和不變，差不變”；進(jìn)而繼續(xù)延伸到“商變”等一系列規(guī)律的探索。這樣的聯(lián)想類比會更豐富學(xué)生對于運(yùn)算本質(zhì)的理解，提升學(xué)生的運(yùn)算能力。更遠(yuǎn)些，在學(xué)習(xí)了小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算以后，規(guī)律也可以再提升?！皵?shù)學(xué)思想主要反映了認(rèn)識的深度，那么，就只有從較為廣泛的角度去進(jìn)行分析，也即十分重視視角的廣度，我們才能達(dá)到較大的深度，也即準(zhǔn)確地揭示出相關(guān)知識內(nèi)容中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想?！保ㄠ嵷剐耪Z。）

當(dāng)然知易行難，說永遠(yuǎn)比做要容易。再次感謝吳老師的課堂帶給我的啟示與思考，實(shí)踐的道路永遠(yuǎn)艱辛，與走在這條路上的老師們一起共勉。