劉周和

摘 要：文章借助于數(shù)學(xué)建模、力學(xué)分析、以及實(shí)驗(yàn)的方法，在構(gòu)建滾珠絲杠力學(xué)簡(jiǎn)化模型基礎(chǔ)上，對(duì)滾珠絲杠動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行研究，推導(dǎo)滾珠絲杠在集中質(zhì)量的影響下以扭轉(zhuǎn)、支撐彈簧支承的固有頻率公式，在提出固有頻率理論公式的基礎(chǔ)上研究了梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能，提出了基于遺傳算法識(shí)別梁結(jié)構(gòu)邊界條件。利用實(shí)際的低階固有頻率和振型，辨識(shí)出工作臺(tái)質(zhì)量、支承軸承橫向和扭轉(zhuǎn)剛度。結(jié)果表明，該方法具有良好的識(shí)別精度，具有一定的工程實(shí)用性。

關(guān)鍵詞：滾珠絲杠；特征方程；參數(shù)識(shí)別；遺傳算法；固有頻率

中圖分類號(hào)：TH132 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-8937（2015）11-0090-02

關(guān)于機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析，我們經(jīng)常需要知道其結(jié)構(gòu)參數(shù)及一些邊界條件，識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)于結(jié)構(gòu)相對(duì)比較簡(jiǎn)單的一些部件，建立其有限元模型已不是難事，但是對(duì)于結(jié)構(gòu)之間的連接部件，特別是一些相對(duì)復(fù)雜的支承結(jié)構(gòu)，如軸承、彈簧等連接件，其有限元建模和測(cè)量都存在不小的難度，而這恰恰又是工程設(shè)計(jì)所需要的重要信息，因此，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或者有限元分析識(shí)別連接部件或邊界物理參數(shù)越來越受到工程師們的重視，也是近年來許多設(shè)計(jì)制造企業(yè)所關(guān)心的問題。

機(jī)床作為機(jī)械加工的重要工具，決定了工業(yè)加工的精度、速度和制造業(yè)的水平，機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的主要部件為傳動(dòng)絲杠、支撐軸承，工作臺(tái)和驅(qū)動(dòng)電機(jī)，他們的性能很大程度上決定了機(jī)床的質(zhì)量和加工精度，研究進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能對(duì)于機(jī)床，特別是應(yīng)用廣泛的數(shù)控機(jī)床有著非常重要的意義。

連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)振型理論研究已經(jīng)比較成熟了[1-2]，機(jī)床的主軸近似于一細(xì)長(zhǎng)的梁，其橫向振動(dòng)[3]比縱向或扭轉(zhuǎn)振動(dòng)更為普遍，張會(huì)端[4]在彈性支承條件下建立了絲杠的頻率方程和振型函數(shù)，并做了相關(guān)動(dòng)力學(xué)分析，Gu UC、Cheng CC[5]研究了帶移動(dòng)質(zhì)量塊的Timoshenko[6]梁的橫向振動(dòng)，常見的結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別方法有有限元法、直接法等來識(shí)別，朱堅(jiān)民、張統(tǒng)超[7]利用試驗(yàn)?zāi)B(tài)和遺傳算法對(duì)機(jī)床結(jié)合面參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別，并達(dá)到了較高的精度。

1 主軸絲杠橫向振動(dòng)的頻率方程和振型函數(shù)

現(xiàn)在來考察等截面直梁的彎曲振動(dòng)。取梁未變形時(shí)的軸線方向?yàn)閤軸（向右為正），取對(duì)稱面內(nèi)與x軸垂直的方向?yàn)閥軸（向上為正），如圖1所示。梁在彎曲振動(dòng)時(shí)，其撓曲線隨時(shí)間而變化，可表示為下式。

梁微段沿橫向所受外力有：梁微段對(duì)梁產(chǎn)生的力，剪力Q（x）和-Q（x-dx），以及集中質(zhì)量所帶來的力，忽略軸向力。根據(jù)Newton第二定律，梁彎曲自由振動(dòng)微分方程為：

考慮軸承的支承剛度，其橫向振動(dòng)支承模型如圖2所示。

兩端的邊界條件為：

EIY （2）（0）=kT1Y'（0），EIY （3）（0）=k1Y'（0），

EIY （2）（l）=kT2Y'（l），EIY （3）（l）=k2Y'（l），（11）

式中：

Y（x）為梁模型橫向彎曲振動(dòng)的模態(tài)函數(shù)；

EI為梁的抗彎剛度；

kT1、kT2為扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)；

k1、k2為線彈性系數(shù)。

由（11）中的四個(gè)邊界條件可以確定由四個(gè)方程組成的關(guān)于bn，n=1，2，3，4的線性方程組；且該線性方程組可以由BH=0的矩陣形式給出。H由bn，n=1，2，3，4確定；而B由bn的系數(shù)確定。因?yàn)閎n不全為零，可以得到系數(shù)行列式

b11' b12' b13' b14'b21' b22' b23' b24'b31' b32' b33' b34'b41' b42' b43' b44'（12）

其中，bij'是與集中質(zhì)量m，線彈簧k1、k2扭轉(zhuǎn)彈簧kT1、kT2及特征值有關(guān)的項(xiàng)，式（12）即為含有集中質(zhì)量的固有頻率特征值的通用表達(dá)式。帶入各邊界參數(shù)值即可求出特征值（此處，再將特征值帶入式（10）即可求得振型函數(shù)。

2 遺傳算法簡(jiǎn)介

遺傳算法[8-9]是由美國(guó)Michigan大學(xué)的John Holland教授在20世紀(jì)60年代提出的，它是模擬生物在自然環(huán)境中的遺傳和進(jìn)化過程而形成的一種自適應(yīng)全局優(yōu)化概率搜索算法?，F(xiàn)在已廣泛應(yīng)用到了函數(shù)優(yōu)化，組合優(yōu)化，圖像處理等諸多領(lǐng)域。

遺傳算法與傳統(tǒng)搜索算法不同，它以適應(yīng)度函數(shù)為依據(jù)，通過對(duì)種群中的所有個(gè)體實(shí)施遺傳操作，實(shí)現(xiàn)群體內(nèi)個(gè)體結(jié)構(gòu)重組的迭代過程隨機(jī)搜索算法。選擇、雜交、變異構(gòu)成遺傳算法的三個(gè)主要遺傳操作因子。其主要計(jì)算步驟如下：

①選擇一定數(shù)目的個(gè)體構(gòu)成初始種群，并求出種群內(nèi)各個(gè)個(gè)體對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值。

②計(jì)算選擇函數(shù)的值：根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)的優(yōu)劣，通過概率從種群中選擇若干個(gè)個(gè)體。遺傳算法工具箱中提供了幾個(gè)選擇函數(shù)：輪盤選擇算法、歸一化幾何選擇方法等。

③通過染色體個(gè)體基因的復(fù)制、交叉、變異等創(chuàng)造新的個(gè)體，構(gòu)成新的種群。

④進(jìn)行循環(huán)，若終止條件不滿足，則轉(zhuǎn)到步驟②。否則跳出循環(huán)，輸出參數(shù)值。

應(yīng)用遺傳算法來識(shí)別結(jié)構(gòu)的邊界條件，實(shí)際上就是將參數(shù)辨識(shí)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)值優(yōu)化問題，再利用遺傳算法的全局優(yōu)化能力進(jìn)行優(yōu)化，從而得到待識(shí)別參數(shù)的全局最優(yōu)值。

3 遺傳算法識(shí)別結(jié)果

本文利用英國(guó)謝菲爾德大學(xué)開發(fā)的遺傳算法工具箱，聯(lián)合MATLAB編程，對(duì)兩端有軸承支承，中間附帶工作臺(tái)的機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行了識(shí)別，機(jī)床主軸實(shí)際參數(shù)如表1所示。

①本文所需要識(shí)別的邊界條件有五個(gè)：絲杠兩端的線支承彈簧k1、k2、kT1、kT2以及工作臺(tái)的質(zhì)量大小m。

②目標(biāo)函數(shù)。根據(jù)初始種群中各邊界條件的值計(jì)算出的主軸絲杠的前n階固有頻率固有頻率，和前n階（本文中n=3）固有頻率實(shí)測(cè)頻率，建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

A=，

③適應(yīng)度函數(shù)。計(jì)算頻率和實(shí)測(cè)頻率越近越好，本文的適應(yīng)度函數(shù)設(shè)置為：G=。

④遺傳和收斂。選擇、交叉、變異分別選用輪盤賭選擇、單點(diǎn)交叉和均勻變異，這也是遺傳算法中最常用的方法。設(shè)置進(jìn)化代數(shù)終止遺傳操作，進(jìn)化代數(shù)設(shè)置為100代，識(shí)別結(jié)果在前50代就收斂了。機(jī)床主軸的主要參數(shù)見表1。

識(shí)別得到的主軸邊界條件見表2：

根據(jù)識(shí)別邊界條件結(jié)果計(jì)算得到機(jī)床主軸的前3階固有頻率與實(shí)際頻率。

通過分析計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值，可以看出兩者差距不是很大，都在3%以內(nèi)，說明邊界參數(shù)識(shí)別的正確性。

4 結(jié) 語

本文推導(dǎo)了梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，得到了其頻率方程和振型，提出了基于遺傳算法的機(jī)床主軸邊界條件識(shí)別方法，以試驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果與計(jì)算固有頻率差值最小為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，對(duì)絲杠主軸的邊界支承剛度及工作臺(tái)質(zhì)量進(jìn)行了識(shí)別，識(shí)別結(jié)果驗(yàn)證了本方法的有效性，具有一定的工程實(shí)用性，為機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的設(shè)計(jì)制造提供了一定的依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張義民.機(jī)械振動(dòng)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

[2] 清華大學(xué)工程力學(xué)系.機(jī)械振動(dòng)（上冊(cè)）[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1980.

[3] 鐘一鍔，何衍宗.轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1990.

[4] 張會(huì)端，譚慶昌.機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析[D].長(zhǎng)春：吉林大學(xué)，2009.

[5] Cheng CC，Lin JK.Modeling a rotating shaft subjected to a highspeed moving force[J].Jounal of Sound and Vibration，2003，（26）.

[6] 朱堅(jiān)民，張統(tǒng)超.基于改進(jìn)自適應(yīng)遺傳算法的固定結(jié)合面動(dòng)態(tài)特性參數(shù)優(yōu)化識(shí)別[J].中國(guó)機(jī)械工程，2014，（3）.

[7] 應(yīng)光耀，鄭水英，劉淑蓮.遺傳算法在轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用[J].機(jī)械強(qiáng)度，2004，（1）.

[8] Chou J H，Ghaboussi J，Genetic algorithm in structural damage detection[J].Computers&Structures.2001，（14）.

[9] 雷英杰，張善文.MATLAB遺傳算法工具箱及應(yīng)用（第二版）[M].西安電子科技大學(xué)出版社，2014.