劉懷成

化歸轉(zhuǎn)化就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到目的的一種方法.一般總是將復雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題；將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.

條件轉(zhuǎn)化要全面

例1 函數(shù)[f（x）]的定義域[D={x|x≠0}]，且滿足對于任意[x1，x2∈D]，有[f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）].

（1）求[f（1）]的值；

（2）判斷[f（x）]的奇偶性并證明；

（3）如果[f（4）=1]，[f（3x+1）+f（2x-6）≤3]，且[f（x）]在（0，+∞）上是增函數(shù)，求[x]的取值范圍.

分析 由抽象不等式轉(zhuǎn)化為一般不等式的過程中，一定要注意到定義域和單調(diào)區(qū)間，不能認為[f（x）]在定義域[D]上單調(diào)遞增.

解 （1）令[x1=x2=1]，

有[f（1×1）=f（1）+f（1）]，解得[f（1）=0].

（2）[f（x）]為偶函數(shù)，證明如下：

令[x1=x2=-1]，有[f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）]，

解得[f（-1）=0].

令[x1=-1]，[x2=x]，有[f（-x）=f（-1）+f（x）]，

∴[f（-x）=f（x）]，∴[f（x）]為偶函數(shù).

（3）[f（4×4）=f（4）+f（4）=2]，

[f（16×4）=f（16）+f（4）=3].

由[f（3x+1）+f（2x-6）≤3]，

變形為[f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）].①

∵[f（x）]為偶函數(shù)，

∴[f（-x）=f（x）=f（|x|）].

∴不等式①等價于[f[|（3x+1）（2x-6）|]≤f（64）].

又∵[f（x）]在（0，+∞）上是增函數(shù)，

∴[|（3x+1）（2x-6）|≤64]，且[（3x+1）（2x-6）≠0].

解得[-73≤x<-13]或[-13

∴[x]的取值范圍是[{x|-73≤x<-13]或[-13

點評 在對題目進行分析時，條件的梳理、轉(zhuǎn)化是解題的重點，在條件轉(zhuǎn)化時，一定要對條件進行全面考慮，挖掘隱含條件，不能顧此失彼，造成轉(zhuǎn)換不等價.

轉(zhuǎn)化過程要準確

例2 在等腰直角三角形ABC中，直角頂點為C，在∠ACB的內(nèi)部，以C為端點任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM

分析 本題是幾何概型的概率問題，根據(jù)題意，選擇角度作為幾何概型的度量.本題易發(fā)生的錯誤是認為點M隨機落在線段AB上，認為線段AB為基本事件的區(qū)域，認為是長度型的幾何概型.

解 由于在∠ACB內(nèi)作射線CM，所以CM在∠ACB內(nèi)等可能分布（如圖所示），因此基本事件的區(qū)域應是∠ACB，在AB上取點C′，使得AC′=AC，

所以[P（AM

點撥 解題過程中運用一些定理、公理或結(jié)論時，必須保證過程準確，不能錯用或漏用條件，和公理、定理的適用條件進行比對，轉(zhuǎn)化過程中推理變形要等價.

轉(zhuǎn)化思路要靈活

例3 如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，[PA=2AB=2].

（1）求四棱錐P-ABCD的體積；

（2）若F為PC的中點，求證：PC⊥平面AEF；

（3）求證：CE∥平面PAB.

分析 在證明線面關(guān)系時，可以利用線線關(guān)系，也可以利用面面關(guān)系，第（3）步證明中既可在平面PAB中作一直線，使其和CE平行；也可以過CE作一平面，使其和平面PAB平行.

解 （1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，

∴BC=[3]，AC=2.

在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，

∴CD=[23]，AD=4.

∴SABCD=[12]AB·BC+[12]AC·CD

=[12]×1×[3]+[12]×2×[23]=[523].

則V=[13]×[523]×2=[533].

故四棱錐P-ABCD的體積為[533].

（2）證明：∵PA=CA，F(xiàn)為PC的中點，∴AF⊥PC.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC.

∴CD⊥PC.

∵E為PD的中點，∴EF∥CD，則EF⊥PC.

∵AF∩EF=F，

∴PC⊥平面AEF.

（3）證明：（方法一） 取AD中點M，連接EM，CM.如圖所示.

則EM∥PA.

∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，∴EM∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，

∴∠ACM=60°.

而∠BAC=60°，∴MC∥AB.

∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB.

∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB.

∵CE?平面EMC，∴CE∥平面PAB.

（方法二）延長DC，AB，設它們交于點N，連接PN.如圖所示.

∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，

∴C為ND的中點.

∵E為PD的中點，∴CE∥NP.

∵CE?平面PAB，NP?平面PAB，

∴CE∥平面PAB.

點撥 解決數(shù)學問題的過程就是一個由條件到結(jié)論的等價轉(zhuǎn)化的過程，其轉(zhuǎn)化過程往往不是惟一的.在解題時我們要從條件出發(fā)，靈活轉(zhuǎn)化，從不同的角度解決問題.