張金伙

【摘要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)要求之一，就是培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力.同時(shí)，良好的思維能力，又是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備的.本文擬從四個(gè)方面，就數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，提出筆者的一些認(rèn)識(shí)和做法.一是剖析概念，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；二是類比聯(lián)想，培養(yǎng)思維的廣闊性；三是轉(zhuǎn)換變通，培養(yǎng)思維的辯證性；四是逐層引導(dǎo)，培養(yǎng)思維的深刻性.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)；思維能力；嚴(yán)謹(jǐn)性；廣闊性；辯證性；深刻性

數(shù)學(xué)，被人稱之為“思維的體操”.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，也明確提出要培養(yǎng)學(xué)生的“發(fā)散思維和求異思維”.可見(jiàn)不管是數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)，還是要把數(shù)學(xué)學(xué)好，都離不開(kāi)對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng).具體地說(shuō)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念的剖析，符號(hào)組合的分析，圖形的證明，計(jì)算的變化等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生在邏輯思維、抽象概念、對(duì)稱欣賞、表象創(chuàng)造、變化聯(lián)想等方面，得到數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維能力，使思維具備敏捷性、變通性、嚴(yán)謹(jǐn)性、廣闊性、深刻性、創(chuàng)造性等良好品質(zhì).

培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，既是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)要求之一，同時(shí)良好的思維能力，又是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可缺少的，甚至對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)生活、工作，都是大有益處的.培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力，既是目標(biāo)，也是手段；既是要求，也是途徑.

如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，可以說(shuō)“仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智”，方法、手段、措施不少.筆者多年從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)，下面擬就此問(wèn)題，結(jié)合自己的教學(xué)，粗淺地談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)、體會(huì)和做法.

一、剖析概念，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

高中數(shù)學(xué)涉及的概念很多.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要內(nèi)容，對(duì)教學(xué)概念理解是否全面、準(zhǔn)確，不但直接影響到學(xué)生判斷能力、遷移能力、化歸能力等的高低，而且有可能由于學(xué)生對(duì)概念理解掌握的模糊，導(dǎo)致推理不當(dāng)，結(jié)論錯(cuò)誤.

數(shù)學(xué)中的不少概念，表達(dá)嚴(yán)密，有的是充滿唯一性，有的充滿必要性，有的條件、限制極強(qiáng)，表達(dá)中缺了一點(diǎn)，漏了一項(xiàng)，都有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤.為此，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念的深入細(xì)致分析，關(guān)鍵點(diǎn)的反復(fù)強(qiáng)調(diào)，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.具體地說(shuō)，教學(xué)中教師可以通過(guò)對(duì)概念的講解，復(fù)述，辨析等方法達(dá)到訓(xùn)練培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維的目的.特別是采用辨析題的形式，不失為一種好方法.

例1判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由.

1f（x）=x3+x；2f（x）=x2+x12；

3f（x）=0；4f（x）=0，x∈（-3，4].

通過(guò)對(duì)以上四個(gè)函數(shù)奇、偶性的分析，學(xué)生對(duì)奇、偶函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一隱含條件定會(huì)有更深刻的認(rèn)識(shí)，從而養(yǎng)成要判斷函數(shù)奇、偶性，先必須考慮函數(shù)定義域的良好習(xí)慣.

在講解概念中，除了正常的講述外，教師可以設(shè)置幾個(gè)與正確全面理解概念有關(guān)的選擇判斷題，讓學(xué)生在思考判斷、辨析選擇中，既加深對(duì)概念的全面準(zhǔn)確理解，又訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，不但是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所需要的，也是學(xué)習(xí)其他學(xué)科，乃至今后步入社會(huì)，在社會(huì)工作、生活中也是必不可少的.

二、類比聯(lián)想，培養(yǎng)思維的廣闊性

類比聯(lián)想，就是將新舊知識(shí)之間進(jìn)行形式的或內(nèi)在的對(duì)比或比較，從而發(fā)現(xiàn)它們的特征和規(guī)律，進(jìn)而提出猜想和判斷.它是依據(jù)兩個(gè)對(duì)象或兩類事物間存在的相同或不同屬性而聯(lián)想到另一類事物也可能具有這種屬性的思維方式.高中數(shù)學(xué)中的立體幾何，代數(shù)，解析幾何，它們都具有一定的獨(dú)立性，但又有著千絲萬(wàn)縷的不可分割的緊密聯(lián)系.這些不同分支的數(shù)學(xué)門類，它們相互滲透，互相依存，很多時(shí)候只是外在形式的不同，其實(shí)本質(zhì)是一致的，所謂“萬(wàn)變不離其宗”和“條條大路通羅馬”.數(shù)學(xué)中的幾何問(wèn)題可以用代數(shù)來(lái)體現(xiàn)，而反過(guò)來(lái)代數(shù)問(wèn)題可以用幾何來(lái)體現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合，抽象與直觀結(jié)合，這正是數(shù)學(xué)無(wú)窮的奧妙和變化多端的所在.為此，在教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要通過(guò)用類比聯(lián)想的方法，有效提高解題的速度和準(zhǔn)確性，同時(shí)也借此化解疑難，促進(jìn)學(xué)生思維廣闊性的培養(yǎng).在教學(xué)中具體地做法是：在解決幾何問(wèn)題時(shí)，教師要求學(xué)生聯(lián)想運(yùn)用代數(shù)原理和方法，在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)，要求學(xué)生聯(lián)想運(yùn)用幾何問(wèn)題原理和方法，同時(shí)講解例題和練習(xí)、測(cè)驗(yàn)，也注意篩選相應(yīng)的題目.

例2求函數(shù)y=x2+4x+13+x2-2x+5的最小值.

單獨(dú)分析此函數(shù)，比較繁瑣，即含有二次函數(shù)，又是兩個(gè)根式相加，而且兩個(gè)二次函數(shù)的單調(diào)性又不相同，要求其最小值，確有一定難度.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析，原函數(shù)可化為y=（x+2）2+9+（x-1）2+4，則可觀察出兩個(gè)根式與解析幾何中的距離公式相似，從而有了進(jìn)一步的變形：y=（x+2）2+（0-3）2+（x-1）2+（0-2）2，于是便可聯(lián)想到此式的幾何意義：即求點(diǎn)（-2，3）與點(diǎn)（1，2）到x軸上點(diǎn)的距離之和的最小值.然后用幾何作圖，即可獲解.

在教學(xué)中，教師有意識(shí)的多進(jìn)行類比聯(lián)想的講解訓(xùn)練，可以有助于學(xué)生思維聯(lián)系性和廣闊性的培養(yǎng)，不但使學(xué)生在教學(xué)學(xué)習(xí)中，舉一反三，聯(lián)系貫通，化難為易，化繁為簡(jiǎn)，提升能力.同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生全面看待問(wèn)題，聯(lián)系發(fā)展觀點(diǎn)看待問(wèn)題，盡力刪繁就簡(jiǎn)，快速解決問(wèn)題的能力，從而使得思維更加廣闊，在今后學(xué)習(xí)，生活，工作中，不囿于一點(diǎn)，不拘于一面，在更廣闊的視野和思維空間，更高效地解決問(wèn)題.

三、變通轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)思維的辯證性

在有限的時(shí)間里，解答數(shù)學(xué)命題，很多時(shí)候，不能一條道走到底，需要的是另辟蹊徑，需要的是變換一個(gè)角度，這就如同改打一座山頭，當(dāng)正面強(qiáng)攻硬碰有難度，攻不下時(shí)，需要采用迂回戰(zhàn)術(shù)，這樣往往可以收到奇效.

例3求拋物線y2=4x上的點(diǎn)與圓（x-4）2+y2=1上的點(diǎn)間的最小距離.

分析：兩個(gè)點(diǎn)都在運(yùn)動(dòng)，如果分別在拋物線與圓周上各任取一點(diǎn)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求，的確太繁瑣了，而且總覺(jué)得還缺點(diǎn)什么.還有其他方法嗎？能否在動(dòng)中找出不動(dòng)的因素？思路便可由此展開(kāi)，圓周上任一點(diǎn)到圓心的距離相等，于是乎，兩動(dòng)變?yōu)橐粍?dòng)一靜，問(wèn)題便簡(jiǎn)化多了.

在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要交給學(xué)生“正難則反，化動(dòng)為靜，數(shù)形結(jié)合，辯證分析”等解題的原則和方法，盡可能的要求學(xué)生一題多解，要求學(xué)生注意從不同角度分析問(wèn)題.這樣學(xué)習(xí)一項(xiàng)內(nèi)容，一個(gè)章節(jié)知識(shí)，能將多項(xiàng)內(nèi)容，多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，互相聯(lián)系起來(lái)，融會(huì)一體，即達(dá)到溫故而知新，融會(huì)貫通的效果，又培養(yǎng)了多角度看待問(wèn)題，聯(lián)系發(fā)展全面看待問(wèn)題的辯證思維能力.辯證思維能力的培養(yǎng)，不僅對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，大有裨益，同時(shí)也能使學(xué)生在成長(zhǎng)過(guò)程中，能更清醒，更理智，更全面的看待問(wèn)題，經(jīng)得起困難挫折的挑戰(zhàn)，受得了成功榮譽(yù)的考驗(yàn).

四、逐層引導(dǎo)，培養(yǎng)思維的深刻性

數(shù)學(xué)，最忌諱的是觀察停留在表面，不能深入分析發(fā)現(xiàn)，那種浮光掠影的表象膚淺思維，是很難把數(shù)學(xué)學(xué)好的.數(shù)學(xué)需要的是由表及里，由淺入深，由外到內(nèi)的解析，只有思維的深刻，才有可能去偽存真，抽絲剝繭，層層深入，最終全面準(zhǔn)確的解決問(wèn)題.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

要培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，教師在教學(xué)中可采用層層設(shè)凝，步步激趣，逐層引導(dǎo)的方式，由此訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生思維的探索性和深刻性.

例4若以（2，0），（2，2）為焦點(diǎn)的橢圓與拋物線y2=8x有公共點(diǎn)，求長(zhǎng)軸最短的橢圓方程.

此題涉及兩次曲線的焦點(diǎn)問(wèn)題，看似超出了大綱要求.有些學(xué)生試圖求出兩曲線相切時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)而求解此題，計(jì)算量非常之大.不能力敵，便設(shè)法智取.

師：“所求橢圓滿足幾個(gè)條件？”

生：“兩個(gè).一是要與拋物線相交，二是長(zhǎng)軸最短.”

師：“怎樣從另外一種角度看這個(gè)問(wèn)題？”

生：……（茫然）

師：“相交，即有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)便具有雙重性：既在拋物線上，又在橢圓上，橢圓的長(zhǎng)軸又怎樣求？”

生：“哦，公共點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和便等于長(zhǎng)軸長(zhǎng).”

生：“此題可這樣敘述：在拋物線上找一點(diǎn)，使得它到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和最小……”

繼而分析可知：拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，再根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線距離相等的特性，便可簡(jiǎn)易求解.

從上述教學(xué)案例中，不難看出，由于教學(xué)其高度的抽象性，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓裕Y(jié)論的確定性和應(yīng)用的廣泛性等特征，決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有其難度，一些學(xué)生對(duì)此心存畏懼，為此在教學(xué)中采用這種逐層引導(dǎo)的方式，不但是其學(xué)科特點(diǎn)所需要的，而且讓學(xué)生能清楚了解和掌握其變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)變換的奧妙，激發(fā)求知探索的興趣，培養(yǎng)思維的深刻性.這種滲入探究的深刻思維，是一個(gè)人良好思維品質(zhì)的體現(xiàn)，也更加有助于學(xué)生今后健康的成長(zhǎng)和成才.

數(shù)學(xué)，與其說(shuō)是一門與計(jì)算有關(guān)的學(xué)問(wèn)，還不如說(shuō)是一門講究思維的學(xué)問(wèn)，換句話說(shuō)就是“數(shù)學(xué)離不開(kāi)思維”.只有良好的思維品質(zhì)，才能把數(shù)學(xué)學(xué)好.教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有注重培養(yǎng)學(xué)生的這些思維品質(zhì)和思維能力，才有可能把數(shù)學(xué)教好，同時(shí)才能培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，這不僅對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要，對(duì)于其余學(xué)科的學(xué)習(xí)，對(duì)于學(xué)生各方面良好素質(zhì)的形成，也是大有意義的.