馮劍鋒

【摘要】在我國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教學(xué)方法是多種多樣的.而在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，數(shù)與形是兩個(gè)最基本的概念，數(shù)形結(jié)合的思想既是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是一種重要的教學(xué)思想方法.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，能夠提高學(xué)生的思維能力，提高教師的教學(xué)質(zhì)量和效率.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)

在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)生活圖形進(jìn)行觀察和分析，把生活中的圖形和數(shù)字進(jìn)行結(jié)合；同時(shí)，對(duì)于一些抽象的數(shù)學(xué)問題，需要通過圖形把它形象具體化.因此，在教學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的滲透，把握教學(xué)教材，以形助數(shù)，以數(shù)解形，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想去學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)和解決高中數(shù)學(xué)問題.

一、數(shù)形結(jié)合方法解決高中數(shù)學(xué)問題的分類

作為一種常用的數(shù)學(xué)方法，數(shù)形結(jié)合方法被廣泛應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué).一般而言，數(shù)形結(jié)合方法主要用于解決以下幾類數(shù)學(xué)問題，如表1所示.

1集合問題借助數(shù)軸、Venn圖來處理集合運(yùn)算中的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算簡化問題，讓運(yùn)算變得更為快捷、明了

2函數(shù)問題研究函數(shù)圖像，分析函數(shù)的基本性質(zhì)（如函數(shù)的單調(diào)性、連續(xù)行、周期性、對(duì)稱性等）將函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合在一起，深化函數(shù)知識(shí)的掌握

3方程與不等式問題處理關(guān)于方程根問題時(shí)，可將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題；在處理不等式問題時(shí)，可分析其幾何意義，聯(lián)合相關(guān)函數(shù)，從題目的條件和結(jié)論出發(fā)，進(jìn)行高效求解快速找到解決問題的思路，提高解題效率

4三角函數(shù)問題憑借單位圓或者三角函數(shù)圖像，讓三角函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性，周期性一目了然，準(zhǔn)確確定三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，比較三角函數(shù)數(shù)值的大小降低求解難度，提高求解質(zhì)量

5線性規(guī)劃問題通過圖形的分析，確立目標(biāo)函數(shù)，在數(shù)形結(jié)合中解決問題簡化計(jì)算

6數(shù)列問題將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式均視為關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，通過對(duì)函數(shù)圖像的直觀分析，把數(shù)列問題轉(zhuǎn)換成函數(shù)問題來高效解決簡化解題難度，拓展解題空間

7解析幾何問題通過分析圖像，了解幾何的點(diǎn)、線、曲線的性質(zhì)及它們之間的關(guān)系理清點(diǎn)、線、曲線之間的關(guān)系，提高解題效率

8立體幾何問題對(duì)立體幾何的點(diǎn)、線、面進(jìn)行分析，將抽象的結(jié)合問題轉(zhuǎn)換成純粹的代數(shù)問題簡化問題

二、以形助數(shù)，用形來解決數(shù)學(xué)中數(shù)的問題

在高中數(shù)學(xué)中，經(jīng)常運(yùn)用圖形的方法來解題.而圖形解題方法的關(guān)鍵是圖形的構(gòu)造，在對(duì)圖形分析的時(shí)候就要抓住圖形中一些關(guān)鍵的量以及它們之間的關(guān)系，然后通過巧妙的運(yùn)用數(shù)學(xué)中的概念、式子規(guī)律去刻畫它們內(nèi)在的關(guān)系.圖形解題方法一般有三種途徑：應(yīng)用平面幾何知識(shí)，應(yīng)用立體幾何知識(shí)，應(yīng)用解析幾何知識(shí)將數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題.例如通過圖形可以很好地刻畫相反數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的單調(diào)性等.在學(xué)習(xí)人教A版《必修一》1.1.3：《集合的基本運(yùn)算》時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生用韋恩圖法解決集合的關(guān)系問題.一般，集合都是用圓來表示，有公交元素時(shí)則用兩圓相交來表示，沒有公共元素用兩圓相離來表示.用韋恩圖法就能夠讓學(xué)生很容易理解集合與求解之間的關(guān)系，以及集合與求解關(guān)系之間的問題.例：一個(gè)班共有48名學(xué)生，要求每一名學(xué)生都要參加一個(gè)活動(dòng)小組，參加化學(xué)、物理、數(shù)學(xué)小組的人數(shù)分別是15、25、28同時(shí)參加化學(xué)、數(shù)學(xué)的是6人，同時(shí)參加物理、化學(xué)的是7人，那么同時(shí)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)的小組人數(shù)是多少？在解答這個(gè)數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，教師可以在黑板上用圓A、B、C分別來代表參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的學(xué)生人數(shù)，然后用這三個(gè)圓共同的部分來表示同時(shí)參加數(shù)理化小組的學(xué)生人數(shù).假設(shè)用N來表示集合的元素，那么就有N（A）+N（B）+N（C）-N（A∩B）-N（A∩C）-N（B∩C）+N（A∩B∩C）=48即28+25+15-8-6-7+N（A∩B∩C）=48所以N（A∩B∩C）=1，即同時(shí)參加數(shù)理化的同學(xué)只有一人.這樣進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，通過圖形來思考數(shù)，就將復(fù)雜問題簡單化了，學(xué)生更容易理解題目，教師的教學(xué)也更加生動(dòng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和解決問題的能力也在無形中提高著.

三、以數(shù)解形，用數(shù)來解決數(shù)學(xué)中形的問題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)將幾何問題轉(zhuǎn)換成代數(shù)問題來討論，教師將抽象的問題具體化的來討論，這樣便于學(xué)生對(duì)題目的理解，更能提高學(xué)生的解題能力，比如在引入三角函數(shù)的時(shí)候，就是用代數(shù)方法解決幾何問題.在幾何中也常用數(shù)量關(guān)系去研究圖形位置.特別在立體幾何的證明與求值上，通過引入空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量的運(yùn)算，可將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化純粹的代數(shù)運(yùn)算.例如在求直線與平面所成的角、二面角時(shí)，用傳統(tǒng)的幾何法找它們的平面角難度就比較大.而運(yùn)用空間向量的法向量去求值就大大降低了難度.幾何與代數(shù)有著密不可分的聯(lián)系，通過數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行教學(xué)，解決數(shù)學(xué)問題，可以減輕學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使得學(xué)生可以更直觀，更形象，更快速的學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué).

四、把握題目條件和結(jié)論之間的關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合解決問題

在平常的教學(xué)活動(dòng)中，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問題的分析能力.通過數(shù)量與圖形的結(jié)合，對(duì)問題所提出的條件和結(jié)論進(jìn)行分析，更好掌握數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用.比如在學(xué)習(xí)必修五3.3.2《簡單的線性規(guī)劃問題》時(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生將二元一次不等式轉(zhuǎn)換成平面區(qū)域，這樣就可以將不等式的關(guān)系式轉(zhuǎn)換成了平面的關(guān)系，把代數(shù)不等式問題轉(zhuǎn)成了平面區(qū)域問題，導(dǎo)出我們的結(jié)論，從而解決問題.教師通過在平常教學(xué)的點(diǎn)滴滲透數(shù)形結(jié)合思想，使得學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，養(yǎng)成看到數(shù)就能聯(lián)想到形，看到形就聯(lián)想到數(shù)的學(xué)習(xí)模式，自然使用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題，從而提高思維能力和學(xué)習(xí)效率

五、引導(dǎo)學(xué)生在直觀中去理解數(shù)學(xué)概念，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

在數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，教師可以就所給圖形或者隨機(jī)繪制圖形來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察和研究，分析出圖形中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，教師通過圖形的形象描繪，使得學(xué)生將形象思維與抽象思維進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合.教師這種形助數(shù)的教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)化繁為簡，由難變易.也便于學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行想象和分析，最終形成數(shù)學(xué)概念，用學(xué)生自己的思維方式記住和理解數(shù)學(xué)概念，在解答問題的時(shí)候更好的運(yùn)用數(shù)學(xué)概念.這樣潛在數(shù)形之間的關(guān)系教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的去解決問題，學(xué)會(huì)將抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，將一些難點(diǎn)、重點(diǎn)的學(xué)習(xí)知識(shí)，通過圖形的結(jié)合方式來理解和記憶.這樣數(shù)形結(jié)合的思想教學(xué)可以幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，便于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的解題能力.

六、在教學(xué)活動(dòng)中教師要借助多媒體技術(shù)實(shí)施數(shù)形的結(jié)合

目前我國普遍的數(shù)學(xué)教學(xué)都是比較枯燥乏味的，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使課堂教學(xué)更加的生動(dòng)和形象，也為了將高中數(shù)學(xué)中復(fù)雜，抽象的問題簡單和形象化，教師可以將多媒體引進(jìn)到平常的教學(xué)活動(dòng)中來，通過計(jì)算機(jī)的計(jì)算，圖形，圖像等一些功能，為一些數(shù)學(xué)上的抽象思維模式提供直觀的模型，使得數(shù)學(xué)概念更加的簡單，明了.從而使學(xué)生更直接的去探索數(shù)學(xué)規(guī)律，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高他們思考和創(chuàng)新的能力.

在高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法是高常用教學(xué)方法，這是因?yàn)閿?shù)形結(jié)合方法可以將數(shù)學(xué)問題更加的簡單化和直觀化，使得枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變動(dòng)生動(dòng)了.這樣的教學(xué)一方面有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，在學(xué)生的腦海中形成了數(shù)學(xué)模型，便于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶.另一方面，這樣數(shù)形結(jié)合的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.因此在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要積極的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生的個(gè)人能力，進(jìn)一步提高教師的教學(xué)水平，為社會(huì)的發(fā)展提供優(yōu)秀的人才.

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