孫秀清??馮志剛

【摘要】由插值多項(xiàng)式出發(fā)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)牡瘮?shù)系，通過迭代得到分形插值曲面.該方法解除了邊界插值節(jié)點(diǎn)共線和縱向尺度因子相等的限制，從而使得分形插值更具有實(shí)用價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】插值多項(xiàng)式；迭代函數(shù)系；分形插值曲面

【基金項(xiàng)目】國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51079064）；中國(guó)礦業(yè)大學(xué)煤炭資源與安全開采國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目（SKLCRSM10KFA02）

1.引言

20世紀(jì)80年代美國(guó)數(shù)學(xué)家Barnsley首先提出了分形插值方法，根據(jù)給定的插值節(jié)點(diǎn)，可以構(gòu)造適當(dāng)?shù)牡瘮?shù)系（IFS），使得迭代函數(shù)系的不變集是一個(gè)插值函數(shù)的圖像.根據(jù)Barnsley分形插值的思想，Massopust給出了三角區(qū)域上分形插值曲面的構(gòu)造方法，為了保證得到的分形插值曲面的連續(xù)性，附加了邊界上插值節(jié)點(diǎn)共面的條件.Geronimo和Hardin通過將多邊形區(qū)域分割成若干個(gè)三角形的方法，研究了多邊形上的分形插值問題.Malysz在迭代函數(shù)系中引用反射變換，給出了任意插值節(jié)點(diǎn)的分形插值函數(shù)的構(gòu)造方法，但在此方法中要求縱向尺度因子都相等.縱觀以上研究可以發(fā)現(xiàn)，為了保證分形插值曲面的連續(xù)性，對(duì)插值節(jié)點(diǎn)或縱向尺度因子都附加了一些條件.Feng給出了矩形區(qū)域分形插值曲面連續(xù)的一般條件，但由于該條件需要考慮生成的分形插值曲面的邊界曲線，因此它在曲面生成之前無法判斷.對(duì)于矩形區(qū)域上任意插值節(jié)點(diǎn)的情形，F(xiàn)eng等在迭代函數(shù)系中引入了函數(shù)縱向尺度因子，從而保證了分形插值曲面的連續(xù)，但由于函數(shù)縱向因子的引入，使得這類分形插值曲面的維數(shù)難以控制.

本文討論矩形區(qū)域格點(diǎn)上任意插值節(jié)點(diǎn)、一般常數(shù)縱向尺度因子的分形插值曲面的構(gòu)造方法.其基本步驟是先構(gòu)造過插值節(jié)點(diǎn)的二元插值多項(xiàng)式，根據(jù)這個(gè)多項(xiàng)式構(gòu)造含有常數(shù)尺度因子的迭代函數(shù)系，該迭代函數(shù)系的不變集就是過插值節(jié)點(diǎn)的分形插值曲面.通過改變分形縱向尺度因子的大小可以調(diào)節(jié)分形插值曲面的粗糙程度.