鮑祥平

【摘要】隨著現(xiàn)代科學技術(shù)的日新月異，往往有些東西需要我們反復的探討研究重新去發(fā)現(xiàn)他的價值及正確性。如多維復數(shù)是否存在，復數(shù)的運算法則怎么來的，復變函數(shù)導數(shù)的幾何意義是什么，又如復數(shù)指數(shù)函數(shù)是怎么回事，特別是其定義很抽象很難懂，所以有必要給出一個形象直觀的描述。

【關(guān)鍵詞】復數(shù)的四則運算 連續(xù)，光滑，可導，可微 導數(shù)的幾何意義 復數(shù)的復數(shù)指數(shù)函數(shù) 復數(shù)E 多維復數(shù)

㈠預備知識：

（N維）復數(shù)包含兩部分：一個是模，另一個是復角信息；復數(shù)包含兩個層面：一個是”數(shù)值”層面，一個是數(shù)字層面。我們把只關(guān)系到”數(shù)值”層面的表達式a+bi稱為向量表達式；而數(shù)字層面關(guān)系到模及所有復角，其表達式為指數(shù)表達式或三角表達式ea+bi，a（cosα+isinα）。Z=x（cosα+isinβ）.復數(shù)的四則運算與向量法則有關(guān)，與i無關(guān)，但i在一般情況下可做替代運算。復數(shù)的加法一般用向量法則進行，但有時為了需要我們必須分析它的復角在加法中的變化。下面給出一種帶復角的復數(shù)加法運算：ex[cos（α+2kπ+2nπ）+isin（α+2kπ+2nπ）]+ey[cos（β+2nπ）+isin（β+2nπ）]=ex+i2nπ[cos（α+2kπ）+isin（α+2kπ）]+ey+i2nπ[cos（β）+isin（β）]=ez[cos（γ+2kπ+2nπ）+isin（γ+2kπ+2nπ）]，x，y，z為實數(shù)。加數(shù)無論復角有多大，真正起作用的是”運算主值”面的角（0--2π），與加數(shù)所含有的周期數(shù)無關(guān)；得數(shù)與被加數(shù)含有的周期數(shù)一致，再加上主值里面的角度因加數(shù)而產(chǎn)生的變化。被加數(shù)稱為原始量，加數(shù)被稱為影響因子，得數(shù)稱為相對于原始量的改變量，加法運算時原始量逆向旋轉(zhuǎn)，角度增大，減法順時針旋轉(zhuǎn)，角度減小。函數(shù)也分為數(shù)值式和數(shù)字式，數(shù)值式只考慮復角0到2π，至于數(shù)字式這里不做介紹。之所以做這樣的規(guī)定是為復數(shù)的乘法定律做鋪墊，為復變函數(shù)的研究，比如復數(shù)的復數(shù)指數(shù)形式的研究提供據(jù)依據(jù)。

乘法定律：我們把這樣一類求復數(shù)的倍數(shù)或者求等分或者求旋轉(zhuǎn)一個角度的復數(shù)加減法的組合形式的特殊運算叫復數(shù)的乘法或者除法；見《論三維復數(shù)的存在性》。

㈡ 復變函數(shù)光滑可導的定義

如果一元函數(shù)在其定義域里每點導數(shù)連續(xù)我們稱其連續(xù)光滑。如果f（x，y）在定義域里兩個偏導數(shù)（或者方向?qū)?shù)）存在且連續(xù)我們稱f（x，y）是連續(xù)光滑的。（有導數(shù)不存在點時，函數(shù)也有可能是連續(xù)光滑的）

復變函數(shù)光滑可導的定義：復變函數(shù)f（z）=u+vi自變量以任意方向（光滑路徑）趨近定義域里的某一點時，那么復變函數(shù)FZ趨向相應點的充分小的鄰域里的路徑也是光滑的，都近似直線或是直線，則稱其在該點是光滑的，如果復變函數(shù)在該點偏導數(shù)dx（u），dy（v），dx（v），dy（u）存在且dx（u）=dy（v），dx（v）=-dy（u）稱復變函數(shù)在該點光滑可導，如果在復變函數(shù)有定義的區(qū)域里每一點都是光滑的，且偏導數(shù)dx（u），dy（v），dx（v），dy（u）存在且dx（u）=dy（v），dx（v）=-dy（u）則稱復變函在該定義域數(shù)光滑可導。

㈢復變函數(shù)導數(shù)的幾何意義

下圖只畫了一個曲面的其中一條空間曲線，方向?qū)?shù)等于dz/（dx?+dy?）?。隨著ae與X軸的夾角的變化，其方向?qū)?shù)也在不斷變化。方向?qū)?shù)和偏導數(shù)的關(guān)系：dz/（dx?+dy?）?=[dx（z）+dy（z）]/（△x?+△y?）?=[dx（z）+dy（z）]/（△x?+[f′（x）△x]?）?=△x[fx（z）+fy（z）f′（x）]÷|△x|[1+|f′（x）|]?。

三維圖形切線方向?qū)?shù)如下圖：

u，v的方向?qū)?shù)存在且連續(xù)dx（u）=dy（v），dx（v）=-dy（u）那么f′（z）的復角為定值。f（z）可導導數(shù)復角必為定值。

虛擬定義：我們建立如下坐標系：把Z的復平面當做X軸，F(xiàn)（z）所處的復平面當做Y軸建立坐標系，稱復數(shù)四維空間虛擬簡化坐標系。復變函數(shù)F（z）的導數(shù)Fˊ（z）表示在四維空間里復變函數(shù)的圖形上的“切線的斜率”。我們把形如F（z）=z1×z稱為線性復函數(shù)。必須用復數(shù)的眼光來看待復變函數(shù)隨復數(shù)自變量的變化規(guī)律，沒有真實的四維圖形，我們看四維空間的圖形，其實是看的那種規(guī)律。

復變函數(shù)導數(shù)分析：選定一點z0，當z趨近z0時F（z）趨近F（z0），z充分趨近z0時，z，F(xiàn)（z）以輻射的（近似）直線分別光滑趨近z0，F(xiàn)（z0），如（圖一）。這時|Fˊ（z）|等于F（z）在F（z0）點的改變量的模|F（z）-F（z0）|相對于Z在Z0點的改變量的模|z-z0|的比值，或模變化率。它相當于Z在z0點以α+δ=β的α角度變化時F（z）的模的變化量[|F（z）|-|F（z0）|]相對于Z的改變量的模|z-z0|的比值。|Fˊ（z）|cosδ等于當Z在z0點以角度α=β變化時F（z）的模的變化量[|F（z）|-|F（z0）|]相對于Z的改變量的模|z-z0|的比值，或軸向變化率。|Fˊ（z）|sinδi等于當z在z0點以角度α=β變化時F（z）在F（z0）點繞（0，0）點做旋轉(zhuǎn)的圓周速度。F'（z）復角δ表示dF（z）在F（z0）點的變化方向與Z在Z0點的變化方向的角度之差。他隨著z以角度α趨近z0時的呈現(xiàn)“保角性”，（令α=x+2kπ）argF'（z）+α叫做z以角度α趨近z0時dF（z）在F（z0）的變化方位角，如果F（z）在z0的函數(shù)值F（z0）的復角為β，（β=xˊ+2kπ）那么argF'（z）+α-β為dF（z）在F（z0）點的變化方位角與F（z0）點的復角之差，稱 dF（z）相對于F（z0）的相對變化角。γ為z0復角，γ在范圍[2Nπ，2（N+1）π]里變化，β在另一個范圍[2Kπ，2（K+1）π]里變化）。

下面提供一個從自變量復平面上其中一條路徑分析復變函數(shù)圖

㈣復數(shù)的復數(shù)指數(shù)函數(shù)

由于復數(shù)的復數(shù)指數(shù)函數(shù)本身沒有實際意義，針對這個問題我們可以建立復數(shù)的復數(shù)指數(shù)函數(shù)與復數(shù)的一種對應，以滿足復數(shù)運算的需要，賦予它一種抽象的意義，從而闡明它存在的價值。

定義：如果z0z有意義，那么其取值在復數(shù)域里，我們把f（z）=z0z=e（x+yi）（a+bi）稱為復數(shù)的復數(shù)指數(shù)函數(shù)一般表達式，并且和復數(shù)有著唯一的一一對應關(guān)系，求導法則和實數(shù)域里一樣。

下面來說明這種對應的存在性和唯一性，以及求導性質(zhì)。

存在性：首先從特殊形式分析，我們先假定F（z）=ez=ex+yi，令F（z）=ez=ex+yi有意義，那么其值必定在復數(shù)域里，假設ez=Z1=a1+b1i，存在F（z）=ez=ex+yi滿足指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，F(xiàn)（Z1）F（Z2）=F（Z1+Z2）=ez1+z2=ez1ez2，那么ex+yi可以唯一展開成exeyi這種形式的兩部分之積（一部分只含有x的項，另一部分只含有yi的項），那么就應該有Z1=f（x）f（yi）=ex+yi=exeyi我們知道復數(shù)Z1=a1+b1i可以變形為ex1（cosy1+isiny1）且ex1=（a1?+b1?）?，cosy1=a1/（a1?+b1?）?，siny1=b1/（a1?+b1?）?。那么x1與y1是不是我們所求的ex+yi中的x與y呢？下面令F（z）=ex（cosy+isiny），F(xiàn)（z）=ez=ex+yi我們只需證明它們有連續(xù)的N階導數(shù)且相等，那么它們的泰勒級數(shù)展開式相同了，故而一定是同一函數(shù)，因此x1與y1是我們所求的ex+yi中的x與y。dx[ex（cosy+isiny）]/dx=ex（cosy+isiny），dyi[ex（cosy+isiny）]/dyi=ex（cosy/dyi+isiny/dyi）=ex（cosy+isiny），另外dxex+yi=eyiex=ex+yi=ex（cosy+isiny），dyiex+yi=exdyieyi=exeyi（e△yi-1）/△yi由假設F（z）=ez=ex+yi=ex（cosy+isiny）所以（e△yi-1）/△yi=[（cos△y+isin△y）-1]/△yi=1（分子分母同趨于零，所以上下同時求導得1，或者利用等價無窮小也得一）所以exeyi（e△yi-1）/△yi=ex+yi[（cos△y+isin△y）-1]/△yi=ex+yi=ex（cosy+isiny）。（注意：以前ex+yi與ex（cosy+isiny）的關(guān)系是通過ex+yi對y求導然后分析其泰勒級數(shù)展開式得來的，實際上F（z）=ez=ex+yi對y求導沒關(guān)系，yi是一個整體，在求導過程中一般沒必要單獨只對y求導）。用同樣的方法可以證明 d（x+yi）[ex（cosy+isiny）]/d（x+yi）=ex（cosy+isiny）=ex+yi=dx+yiex+iy/d（x+yi）。

d（x+yi）ex+yi=ex+yi﹙e△（x+yi）-1）/△x+yi=ex+yi﹙e△xe△yi-1）/△（x+yi）=ex+yi（e△xcos△y+e△xisin△y-1）/△（x+yi）=ex+yi△（x+yi）/△（x+yi）=ex+yi

dx+yi[ex（cosy+isiny）]/dx+yi=﹛ex+△x[cos（y+△y）+isin（y+△y]-ex（cosy+isiny）﹜/△（x+yi）=ex+yi（e△xcos△y+e△xisin△y-1）/△（x+yi）=ex+yi=ex（cosy+isiny）（e△x∝1+△x，cos△y∝1-?△y?，sin△y∝△y）因此ex+yi與ex（cosy+isiny）N階連續(xù)偏導數(shù)存在且分別相等，那么它們的泰勒級數(shù)展開式相同了，因此是同一函數(shù)。證明了它們是同一函數(shù)之后還需分析其四則運算的一致性，因為它們同時也代表一個具體的數(shù)，但這點很直觀，容易證明，（證明略）存在性得證。

至于Z1=a1+b1i=ex1（cosy1+isiny1）其它形式的變形，要么就是ex1（cosy1+isiny1）的等價變換最終化簡還是ex1（cosy1+isiny1）這種形式；要么就是其它類型的函數(shù)，那么與ex1（cosy1+isiny1）是不同函數(shù)，則與F（z）=ez=ex+yi也是不同的函數(shù)，所以對應無法建立。唯一性得證。

通過前面預備知識復數(shù)有兩個層面，當用數(shù)字層面運用到復數(shù)的指數(shù)形式或?qū)?shù)形式時，就不會有多值的問題，分析問題會相對簡潔。

對于一般形式z1x+yi由于可能不可導（除F（z）=ez=ex+yi外）所以按同樣的方法做對應不成立，所以唯一可以把z1x+yi變形為e（x+yi）（a+bi）的形式去求出對應關(guān)系。所以這種對應關(guān)系是唯一的一一對應關(guān)系。

復變函數(shù)F（z）=ez=ex+yi=ex（cosy+isiny）他們之間相互關(guān)系可以用實變函數(shù)F（y）=x×x=x?加以比較。ez=ex+yi描述ex（cosy+isiny）是怎么得來的；x×x描述x?怎么得來的。

F（z）=ez=ex+yi=ex（cosy+isiny）

F（y）=x×x = x?

復數(shù)領(lǐng)域的E=（1+△x+△iy）1/△x+△iy=[e（△x+△iy）]1/△x+△iy（1+△x+△iy與e（△x+△iy）是等價無窮小）

對[e（△x+△iy）]1/△x+△iy取對數(shù)

ln[e（△x+△iy）]1/△x+△iy

=1/（△x+△iy）ln[e（△x+△iy）]

=（△x+△iy）/（△x+△iy）=1

則（1+△x+△iy）1/△x+△iy

=[e（△x+△iy）]1/△x+△iy=e

1+△x+△iy與e（△x+△iy）是等價無窮小，由泰勒級數(shù)可以推導出。

e（x+iy）=f（0）/0！+[f′（0）/1！]（x+yi）+[f′′（0）/2！]（x+yi）2+…+[fn（0）/n！]（x+yi）n+Rn（x+yi）

當x，y同時趨近0時

e（△x+i△y）=f（0）+（△x+△iy）+1/2（△x+△iy）2+…[fn（0）/n！]（△x+△yi）n+Rn（△x+△yi）≈f（0）+（△x+△iy）=1+（△x+△iy） ㈤有關(guān)三維復數(shù)及多維復數(shù)

對于三維復數(shù)見有關(guān)《論三維復數(shù)的存在性》下面給出四維復數(shù)的表達式，N維的依此類推：z4=（a?+b?+c?+d?）?cosα+（a?+b?+c?+d?）?sinα（icosβ+jsinβcosγ+lsinβsinγ）