彭健

一元二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是初中過(guò)渡到高中的銜接點(diǎn)，則它在高中數(shù)學(xué)中也具有一定地位. 那如何將知識(shí)之間的聯(lián)系與認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)變結(jié)合起來(lái)呢？

一、一元二次函數(shù)與一元二次方程

一元二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容 ，是初中、高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接點(diǎn)，是中考中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考察內(nèi)容之一，要全面掌握一元二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)，并能分析和解決有關(guān)一元二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，合理利用一元二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系是十分必要的.

首先，從其形式上來(lái)看：

一元二次函數(shù)y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）與一元二次方程0 = ax2 + bx + c（a ≠ 0）（其中a，b，c為常數(shù)）：

① 它們都是關(guān)于x的二次式，從上面我們可以看出，y = 0時(shí)，便是一個(gè)一元二次方程. 所以，我們可以認(rèn)為一元二次方程是一元二次函數(shù)的特殊形式，這是用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程.

② 條件上，都是在保證a ≠ 0的情況下，去認(rèn)識(shí)一元二次函數(shù)和一元二次方程. 如果a = 0時(shí)，再談便無(wú)意義.

③ 從其表達(dá)式上可知道，無(wú)論是一元二次函數(shù)y的值，還是一元二次方程的解x應(yīng)該都與系數(shù)a，b，c有關(guān).

其次，我們還可以從其內(nèi)涵上來(lái)看：

① 一元二次方程是求ax2 + bx + c = 0時(shí)x的某確定值，即方程的根. 實(shí)質(zhì)是用a，b，c來(lái)表示，如將x反代入表達(dá)式，則ax2 + bx + c值為0.

② 一元二次函數(shù)y = ax2 + bx + c是研究變量y隨自變量x的變化情況，反應(yīng)的是y的變化規(guī)律. 當(dāng)x變化時(shí)，y也隨著x以ax2 + bx + c變化. 而當(dāng)y = 0時(shí)，求出方程x2 + bx + c = 0的兩根x1，x2 . 而此時(shí)的x1，x2正是一元二次函數(shù)y = ax2 + bx + c與x軸的交點(diǎn).

最后，我們知道，無(wú)論是一元二次函數(shù)還是一元二次方程，其交點(diǎn)或根都與系數(shù)a，b，c有關(guān). 有交點(diǎn)就說(shuō)明方程ax2 + bx + c = 0有根. 那么，是不是所有的一元二次方程ax2 + bx + c = 0都有根或者說(shuō)所有的一元二次函數(shù)y = ax2 + bx + c都與x軸有交點(diǎn)呢？又是不是只要一元二次方程ax2 + bx + c = 0有根，一元二次函數(shù)y = ax2 + bx + c就與x軸有交點(diǎn)呢？

通過(guò)學(xué)習(xí)我們知道，并不是所有的一元二次方程都有實(shí)數(shù)根，也不是全部一元二次函數(shù)都與實(shí)數(shù)軸x軸有交點(diǎn). 既然這樣，那怎樣的一元二次方程才有實(shí)數(shù)根，又是什么樣的一元二次函數(shù)才與實(shí)數(shù)軸有交點(diǎn)呢？上面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，無(wú)論是方程的根，還是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)都應(yīng)該和其系數(shù)a、b、c有關(guān). 所以，現(xiàn)在我們應(yīng)該考慮，能否通過(guò)它們的系數(shù)關(guān)系來(lái)判斷一元二次方程有根或一元二次函數(shù)有交點(diǎn)的問(wèn)題. 有根，有幾個(gè)根；有交點(diǎn)，又有幾個(gè)交點(diǎn)；滿足有根或有交點(diǎn)時(shí)，系數(shù)之間是否呈現(xiàn)一定的關(guān)系和規(guī)律呢？

綜上，我們可以看到，無(wú)論a∈（-∞，+∞），且a ≠ 0時(shí)，①當(dāng)b2 - 4ac > 0時(shí)，一元二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且相應(yīng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)b2 - 4ac = 0時(shí)，一元二次函數(shù)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)和對(duì)應(yīng)方程有一對(duì)相等的根（即x1 = x2）；③當(dāng)b2 - 4ac < 0時(shí)，一元二次函數(shù)與x軸無(wú)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程無(wú)實(shí)數(shù)根. 亦說(shuō)明一元二次函數(shù)與一元二次方程間是有著密切聯(lián)系的. 它們都有一共同特征：就是一元二次函數(shù)與x軸有無(wú)交點(diǎn)和一元二次方程有無(wú)實(shí)數(shù)根都決定于b2 - 4ac與0的比較. 一元二次函數(shù)與x軸有無(wú)交點(diǎn)和一元二次方程有無(wú)根都與表達(dá)式b2 - 4ac有關(guān)，并把它作為判斷有無(wú)交點(diǎn)和有無(wú)根的依據(jù)，所以叫它為判別式，記為△[2]. （注：它只是一個(gè)記號(hào).）

二、用一元二次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程

例4 如圖-2，以40 m/s的速度將小球沿以地面成30°角的方向擊出時(shí)，球的路線將是一條拋物線，如果不計(jì)空氣阻力，球的飛行高度（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有關(guān)系h = 20t - 5t2.

（1）球飛行高度能否達(dá)到15 m？20 m呢？20.5 m呢？

（2） 若能，需多長(zhǎng)時(shí)間呢？

解 h = 20t - 5t2 = -5（t - 2）2 + 20

當(dāng)t = 2s時(shí)h = 20 m，是球飛行的最大高度.15 < 20 < 20.5，即球不能達(dá)到20.5 m；能達(dá)到15 m，當(dāng)h = 15，則t = 1 s或3 s.

此題實(shí)際上是求分別滿足20t - 5t2 = 15、20或20.5時(shí)，t是否存在實(shí)數(shù)解，但這要分別對(duì)這三個(gè)一元二次方程進(jìn)行討論，這是很煩瑣的. 如按以上的解法，就是充分運(yùn)用了函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而將問(wèn)題簡(jiǎn)單化、明了化.

通過(guò)本文研習(xí)，我們更近一步認(rèn)識(shí)了一元二次函數(shù)，更清楚地明白了它與一元二次方程間的密切關(guān)系，初步掌握了除因式分解、求根公式外的另一種求一元二次函數(shù)與軸交點(diǎn)

的方法——二分法求近似值.